ほぼすべての自然数がコラッツ予想を満たす

まずは、コラッツ予想の演算子を簡略化したもの、　　
c(x)= x=奇数⇒(3x＋1)÷2 x=偶数⇒x÷2を定義します。 $ c^{n} $(x)=c(c(…(c(x)))←(cがn個)
するとc(x)はxが奇数・偶数によらず、奇数・偶数になる確率が、半々になりました。
そして、 $ c^{n} $(x)を2で割った余り=a(n.x)とします。
そしてa(0.x)～a(n-1.x)までの、0の個数=b(x)とします。
そうした場合,$ \frac{3}{2}^{n-b(x)} \frac{1}{2}^{b(x)} $<1つまりn$ \log_{3} $$ \frac{3}{2} $<b(x)⇔$ c^{n} $(x)<xを十分大きいほとんどのxが満たします。
そして、何割のxが$ \frac{3}{2}^{b(x)} $$ \frac{1}{2}^{n-b(x)} $<1を満たすかをnを使った式で表しましょう。
まずは、a(0.x),a(2.x)...a(n-1.x)という数列はx=1～$ 2^{n} $の中に、1回だけ現れます。
そう考えると、b(x)=uになる確率は、$ \frac{ {}_n \mathrm{ C }_u }{ 2^{n} } $(uは任意の定数)になります。
つまりx=1～$ 2^{n} $の中に$ c^{n} $(x)<xを満たすのは、$ \sum_{i=n \log_{3} \frac{3}{2} }^{n} $$ \frac{ {}_n \mathrm{ C }_i }{ 2^{n} } $=1-$ \sum_{i=0}^{n\log_{3} \frac{3}{2} } $$ \frac{ {}_n \mathrm{ C }_i }{ 2^{n} } $程ということになります。
そして、$ \lim_{n \to \infty} $$ \frac{ {}_n \mathrm{ C }_n\log_{3} \frac{3}{2} }{ 2^{n} } $÷$ \frac{ {}_n \mathrm{ C }_(n\log_{3} \frac{3}{2}-1) }{ 2^{n} } $=$ \frac{1-log_{3} \frac{3}{2}}{log_{3} \frac{3}{2}} $と$ \frac{1}{1-b} $=1+$ b^{1} $+$ b^{2} $+$ b^{3} $…を利用したら、
x=1～$ 2^{n} $の中に$ c^{n} $(x)<xを満たすのは、1-$ \sum_{i=0}^{n\log_{3} \frac{3}{2} } $$ \frac{ {}_n \mathrm{ C }_i }{ 2^{n} } $≈1-$ \frac{ {}_n \mathrm{ C }_(n\log_{3} \frac{3}{2}) }{ 2^{n}} $$ \frac{1-\log_{3} \frac{3}{2} }{1-2\log_{3} \frac{3}{2} } $程となりnを∞に近づけると,x=1～$ 2^{n} $の中の$ c^{n} $(x)<xを満たす自然数はほぼすべてになり、ほぼすべての自然数はコラッツ予想を満たすと考えられます。

要するに、$ c^{n} $(x)<xになるのは、1-$ \frac{ {}_n \mathrm{ C }_(n\log_{3} \frac{3}{2}) }{ 2^{n}} $$ \frac{1-\log_{3} \frac{3}{2} }{1-2\log_{3} \frac{3}{2} } $程であり、nを∞にした時,ほぼ100％であることである。なので、ほぼ全てのコラッツ数列の最小値は元の数よりも小さくなるということです。