Jacksonのterminating 8φ7 和公式から得られる有限和
はじめに
どうもこんにちは，🐟🍊みかん🍊🐟です。今回は，Jacksonのterminating $\q87$ 和公式から有限和拡張されたBailey--Daum和公式と$\q43\,q$-Dixonの和公式を得ます。この記事で用いる和公式を
$$
\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{n+1}}{q,q}=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d.aq/bcd;q)_n}
$$
とします。ただし，$a^2q^{1+n}=bcde$です。
$q$-Dixonの有限化
最初に提示したJackson和公式で
$$
b\mapsto\sqrt a, c\mapsto b, d\mapsto c, e\mapsto a\sqrt aq^{1+n}/bc
$$
とすれば，
\begin{align}
\Q65{a, -q\sqrt a, b, c, a^{3/2}q^{1+n}/bc, q^{-n}}{-\sqrt a, aq/b,aq/c, bcq^{-n}/\sqrt a, aq^{1+n}}q = \frac{ (aq,aq/bc,q\sqrt a/b,q\sqrt a/c;q)_n }{ (aq/b,aq/c,q\sqrt a,q\sqrt a/bc;q)_n}
\end{align}
となり，$n\to\infty$の極限で
\begin{align}
\frac{(q^{-n};q)_k}{(bcq^{-n}/\sqrt a;q)_k}\to\left(\frac{q\sqrt a}{bc}\right)^k, \frac{(a^{3/2}q^{1+n}/bc;q)_k}{(aq^{1+n};q)_k}\to 1
\end{align}
だから，Dixonの和公式の$q$類似，
$$
\Q43{a,-\sqrt aq,b,c}{-\sqrt a,aq/b,aq/c}{\frac{\sqrt aq}{bc}}=\frac{(aq,\sqrt aq/b,\sqrt aq/c,aq/bc)_\infty}{(\sqrt aq/bc,aq/b,aq/c,\sqrt aq)_\infty}
$$
を得ることができます。よって，
\begin{align} \Q65{a, -q\sqrt a, b, c, a^{3/2}q^{1+n}/bc, q^{-n}}{-\sqrt a, aq/b,aq/c, bcq^{-n}/\sqrt a, aq^{1+n}}q = \frac{ (aq,aq/bc,q\sqrt a/b,q\sqrt a/c;q)_n }{ (aq/b,aq/c,q\sqrt a,q\sqrt a/bc;q)_n} \end{align}
がわかりました。
Bailey-Daumの有限化
DixonからBailey-Daumを導くのと同じことをすればいいです。具体的には，$c=-\sqrt a$とすれば
$$ \Q43{a,b,-aq^{n+1}/b,q^{-n}}{aq/b,-bq^{-n},aq^{n+1}}q= \frac{ (-q,aq;q)_n(aq^2/b^2;q^2)_n}{ (-q/b,aq/b;q)_n(aq^2;q^2)_n }. $$
となることがわかります。$n\to\infty$での極限は，先とほぼ同じ議論によって
\begin{align}
\Q21{a,b}{aq/b}{-\frac qb}&=\frac{(-q;q)_\infty(aq,aq^2/b^2;q^2)_\infty}{(-q/b,aq/b;q)_\infty}\\
\end{align}
となるので，確かにBailey-Daumの和公式を復元することがわかります。
