積分漸化式

$n=0,1,2,\cdots$に対し$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を次のように定義する。

$\displaystyle a_n=\frac{1}{π} \int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (1+\sin x)^n dx $
$b_n=a_{n+1}-a_n$

この時次の問いに答えよ

(1)$a_n$を$n$を用いて表せ。
(2)$b_n$を$n$を用いて表せ。
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2^k} {}_{2k} \mathrm{ C }_{k+1} $を$n$を用いて表せ。

解答
(1)
$\displaystyle I_n= \int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (1+ \sin x)^n dx $とすると

$\displaystyle I_n= \int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (1+ \sin x)(1+ \sin x)^{n-1} dx$
$\quad\displaystyle=\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (1+ \sin x)^{n-1} dx+ \int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sin x(1+ \sin x)^{n-1} dx$

ここで$\displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sin x(1+ \sin x)^{n-1} dx=J_{n-1}$とすれば

$I_n=I_{n-1}+J_{n-1}\cdots$①

また$J_{n-1}$を部分積分することで

$\displaystyle J_{n-1}$
$\displaystyle =[-\cos x(1+\sin x)^{n-1}]_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}-\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} -\cos x\{(1+\sin x)^{n-1}\}’dx$
$\displaystyle =(n-1)\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^2 x(1+\sin x)^{n-2} dx$
$\displaystyle =(n-1)\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}(1-\sin^2 x)(1+\sin x)^{n-2} dx$
$\displaystyle =(n-1)\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}(1-\sin x)(1+\sin x)(1+\sin x)^{n-2} dx$
$\displaystyle =(n-1)\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}(1-\sin x)(1+\sin)^{n-1} dx$
$\displaystyle =(n-1)(I_{n-1}-J_{n-1})\cdots$②

②より$\displaystyle J_{n-1}=\frac{n-1}{n}I_{n-1}\cdots$③

①に③を代入することで

$\displaystyle I_n=\frac{2n-1}{n}I_{n-1}\cdots$④

④を繰り返し用いることで

$\displaystyle I_n=\frac{2n-1}{n}\cdot\frac{2n-3}{n-1}\cdots\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{1}\cdot I_0$

ここで$\displaystyle I_0=\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} dx=π$より

$\displaystyle I_n=\frac{(2n-1)!!}{n!}π$
$\displaystyle\quad=\frac{(2n-1)!}{2^{n-1}(n-1)!n!}π$
$\displaystyle\quad=\frac{1}{2^{n-1}} {}_{2n-1} \mathrm{ C }_{n-1}π$

$\displaystyle a_n=\frac{1}{π}I_n$より

$\displaystyle a_n=\frac{1}{2^{n-1}} {}_{2n-1} \mathrm{ C }_{n-1}$

(2)
$b_n=a_{n+1}-a_n$より

$\displaystyle b_n=\frac{1}{2^n} {}_{2n} \mathrm{ C }_{n+1} $

(3)
(2)より
$\displaystyle S_n= \sum_{k=0}^{n} b_k $
$\quad\displaystyle =(a_{n+1}-a_n)+(a_n-a_{n-1})+\cdots+(a_1-a_0)$
$\quad\displaystyle =a_{n+1}-a_0$
$\quad\displaystyle =\frac{1}{2^n} {}_{2n+1} \mathrm{ C }_{n} -1$