Hirsch 微分トポロジーの問題1.2.11 単純閉曲線、1.2.12 球面のベクトル束
$\mathbb R^2$の$S^1$と同相な部分集合$K$は$C^0$級部分多様体、つまり局所平坦である。
この問題にはヒントがあって、それが「Schoenfliesの定理を必要とする」という文言である。
平面上の単純閉曲線$K$に対して、ある同相写像$H:\mathbb R^2\to \mathbb R^2$で、$H(S^1)=K$を満たすものが存在する。
いわゆるJordan閉曲線定理の拡張になっている定理ですね。
これを使えと言われているので、遠慮なく使っていきます。使い所も分かりやすいですね。
条件より定理を適用して、$H:\mathbb R^2\to \mathbb R^2$を得る。
また、$S^1$は$\mathbb R^2$の$C^0$級部分多様体なので、各点に対してその局所座標により第二成分が$0$となるようなチャートが存在する。
いま、各点$p\in K$に対して$H$により$S^1$の部分多様体を与える各チャート$\phi$を引き戻して、チャート$\phi\circ H^{-1}$を与える。
これはやはり第二成分が0となるようなチャートであるから、したがってこれにより$K$は$C^0$級部分多様体となる。
任意の$n\geq 0$に対し、次の微分同相がある。
$(TS^n)× \mathbb R \approx S^n × \mathbb R^{n+1}$
これにもヒントがあって、それが、自然な同型$T_xS^n\oplus \mathbb R\approx \mathbb R^{n+1}$が存在するというものです。
気持ち的には自明のような気がする。
![!FORMULA[22][482579439][0]](https://firebasestorage.googleapis.com/v0/b/mathlog-361213.appspot.com/o/uploads%2Fmathdown%2FXrQVSSKj7efELU9E83L8.jpeg?alt=media)
$T_xS^n\oplus \mathbb R\approx \mathbb R^{n+1}$
$\phi:(TS^n)× \mathbb R \approx S^n × \mathbb R^{n+1}$を、$\phi((x,v),t)=(x,v+tx)$で与える。
また、$\psi:S^n × \mathbb R^{n+1}\to (TS^n)× \mathbb R$を、$\psi(x,y)=((x,y-(y・x)x),y・x)$で与える。((・)は標準内積で、Schmidtの直交化法により“平面”と“縦軸”に要素を分解している。)
このとき、明らかに$\psi$は$\phi$の逆写像であり、どちらも滑らかなので、これにより微分同相$(TS^n)× \mathbb R \approx S^n × \mathbb R^{n+1}$を得る。
