Hirsch 微分トポロジーの問題1.2.1 、1.2.2 レトラクトによる部分多様体
$M,N$を$C^r$級多様体とする。写像$f:M\to N$が$C^r$級であるための必要十分条件は、固定されたEuclid空間の開部分集合$W$と、$W$からの任意の$C^r$級写像$g:W\to M$に対し$f\circ g:W\to N$が$C^r$級である事である。
$W$は最初に取って固定されているので、動かさないように注意。もし動かして良いなら、$W=M$として自明になる。
これはいわゆる、Euclid空間で成立するBomanの定理(Euclid空間の間の写像$F:\mathbb R^m\to \mathbb R^n$が$C^r$級であることの必要十分条件は、任意の$C^r$級関数$c:\mathbb R^k\to \mathbb R^m$に対して、$F\circ c$が$C^r$級である。)の多様体版と言えるものです。($k$は1でも成り立つので、任意の自然数に対しても当然成り立ちます。)
多様体の“局所的な性質”に関する問題は、Euclid空間での問題に大抵は置き換えられるので、今回もそれで示します。
($\Longrightarrow$)方向は、単に$C^r$級の合成のため自明。よって($\Longleftarrow$)方向を示す。
点$p\in M$を固定し、$p$を含むチャート$(U,\phi)$と$f(p)$を含むチャート$(V,\psi)$をとる。
$f$の、これらのチャートによる局所座標表示$\psi\circ f \circ \phi^{-1}$を$F$とおくと、$f$が$C^r$であることは$F$が$C^r$である事と定義より同値になる。
いま、任意の$C^r$級写像$g:W\subset \mathbb R^k\to \mathbb R^m$の、チャート$(U,\phi)$による表示$\phi\circ g$を$c$とおく。
このとき、$f\circ g$は$C^r$級なので、$\psi\circ f\circ g=F\circ c$は$C^r$級。
よってBomanの定理より$F$は$C^r$級。
したがって$f$は$C^r$級。
以下の回答について簡単な注意です。
Hirchの本では、多様体間の写像$f$に対する微分(接写像)を$Tf$で表現していますが、個人的には$df$で表現する方が馴染みがあるので、$df$で表現しています。
(圏論的に考えれば、$T$の方が自然と言われるとぐうの音も出ないんですが…。)
$M$を$C^r$級多様体($r\geq 1$)とし、$A\subset M$を連結部分集合とする。また、$C^r$級レトラクト$f:M\to A$(つまり$f|_A=id$)が存在すると仮定する。このとき、$A$は$C^r$級部分多様体である。
$A$上は定ランクなので、階数一定定理を使えば良い感じになりそうという直感だけはありますね…。
$A$は定義より閉連結集合である。
いま、各点$a\in A$に対してその微分$df_a:T_aM\to T_{f(a)}A(=T_aA)$は線型写像であり、$T_aA$への制限上では$f$が$id$(恒等変換)なので$df_a$も$id$(恒等変換)となる。
また$df_a$は、$T_aA$上への制限を考えると全射である事がわかる。
ここで、$\mathrm{Ker }(df_a)$について考える。
これは、$df_a$の$T_aA$での制限上では$id$である事から、$\mathrm{Ker}(df_a)\cap T_aA=\{0\}$である。
また、次元定理により、
$\dim T_aM=\dim \mathrm{Ker} (df_a)+\dim \mathrm{Im} (df_a)=\dim \mathrm{Ker} (df_a)+\dim T_aA$
であるから、これより$T_a M = T_a A \oplus \mathrm{Ker}(df_a)$が分かる。
よって、この分解と$A$の閉連結性と$f$の滑らかさから、$A$上で微分のランクが常に一定になる事が分かる。
故に、$f:M\to M(\supset A)$として階数一定定理(constant rank theorem)より、各点$p \in A$で、$p$の近傍$V \subset M$と$f(p)$の近傍$W \subset A$を選んで、局所座標$(v: V \to \mathbb R^m, w: W \to \mathbb R^k)$$(m = \dim M, k = \dim A)$
($w$は$M$の局所座標で、$\mathbb R^k$は$\mathbb R^m$の後ろの$m-k$個の大きさが0のもの)のもとで、合成写像 $\hat w = w \circ f \circ v^{-1}: v(V)
\to w(W)$が
$(x_1, …, x_k, y_1, …, y_{m-k}) \mapsto (x_1, …, x_k, 0, …, 0)$
の形になるようにできる。
つまり、$A$の各点に対してあるチャート$(W,w)$で、$A \cap W$は座標で ${y=0}$ のように表されていて、これは$A$が$C^r$級部分多様体であることの定義そのものになっている。
循環論法になっていないかが心配すぎて、数学エアプのエアプの部分が露呈している。
？？？:ポーシャッシャッ！！！これは、循環論法になっているポねえ…。
