1の位が7の平方数が存在しない証明

これを証明する.

証明

$$n = \sum_{k=0}^{\infty}10^{k}a_k \text{(ただし$a_k$を自然数とし $ 0 \leq a_k \lt 10 $とする)} $$
と置く.
ならば$n^2$は
$$ n^2 = a_0^2+10(2a_1a_0) + 10^2(2a_0a_2+a_1^2 ) \cdots $$
となる.
$1$の桁は$ a_0^2 $の$1$の桁なので、
$ a_0^2 $の$1$の位が$7$ではないことを証明すればよい.

$a_0$は$1$桁の自然数なので

\begin{eqnarray} 1^1 = 1\\ 2^2=4\\ 3^3=9\\ 4^4=16\\ 5^5=25\\ 6^6=36\\ 7^7=49\\ 8^8=64\\ 9^9=81\\ \end{eqnarray}
より$1$の位が$7$の$10$までの平方数が存在しないので
$n^2$の一の位は$7$ではないことがわかる.