1の位が7の平方数が存在しない証明

これを証明する.

証明

$$n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{10}^k{a}_k\text{(ただし}{a}_k\text{を自然数とし }0\le a_k<10\text{とする)}$$
と置く.
ならば$n^2$は
$$n^2=a_0^2+10(2a_1{a}_0)+{10}^2(2a_0{a}_2+a_1^2)\cdots$$
となる.
$1$の桁は$a_0^2$の$1$の桁なので、
$a_0^2$の$1$の位が$7$ではないことを証明すればよい.

$a_0$は$1$桁の自然数なので

$$\begin{array}{r}{1}^1=1\\ 2^2=4\\ 3^3=9\\ 4^4=16\\ 5^5=25\\ 6^6=36\\ 7^7=49\\ 8^8=64\\ 9^9=81\end{array}$$
より$1$の位が$7$の$10$までの平方数が存在しないので
$n^2$の一の位は$7$ではないことがわかる.