一変数関数積の微分公式の導出

一般に2つの関数$f_{1}(x),\ f_{2}(x)$の積の微分公式として次のものがあります。

$\displaystyle \frac{d}{dx}{f_{1}(x) \cdot f_{2}(x)} = \frac{df_{1}}{dx} \cdot f_{2}(x) + f_{1}(x) \cdot \frac{df_{2}}{dx}$ $\cdots$⓪

この公式は導関数の定義式より導かれます。では、これが一般に$n$個の関数の積である場合ではどのように表せるでしょうか。ここではそれを導出していきます。

簡単のため$n$個の関数の積を次のように表すこととします。

$\displaystyle \mathcal{F}_{n} \equiv \prod_{k=1}^{n}f_{k}(x) = f_{1}(x) \cdot f_{2}(x) \cdot\ \cdots \ \cdot f_{n}(x)$

$n=1$の時は単に$\dif{\mathcal{F}_{1}}{x} = \dif{f_{1}}{x}$ $\cdots$①で、$n=2$のときは⓪ですね。
では$n=3$ではどうなるでしょうか。

$\displaystyle \mathcal{F}_{3} = f_{1}(x)f_{2}(x)f_{3}(x)$

ですので⓪を用いることを考えて$F(x) \equiv f_{2}(x)f_{3}(x)$とすると

$\displaystyle \frac{d}{dx}\mathcal{F}_{3} = \frac{d}{dx}f_{1}(x)F(x)$

$\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dif{f_{1}}{x}F(x) + f_{1}(x)\dif{F}{x}$

ここで$\displaystyle \dif{F}{x} = \dif{f_{2}}{x}f_{3}(x) + f_{2}(x)\dif{f_{3}}{x}$ゆえ

$ \therefore \displaystyle \dif{\mathcal{F}_{3}}{x} = \dif{f_{1}}{x}f_{2}(x)f_{3}(x) + f_1(x)(\dif{f_{2}}{x}f_{3}(x) + f_{2}(x)\dif{f_{3}}{x})$

$\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \dif{f_{1}}{x}f_{2}(x)f_{3}(x) + f_1(x)\dif{f_{2}}{x}f_{3}(x) + f_{1}(x)f_{2}(x)\dif{f_{3}}{x}$

さて、⓪とこの結果を考察すると次のことが成り立つのではないかと予想できます。

$\displaystyle \dif{\mathcal{F}_{n}}{x} = \dif{f_{1}}{x} f_{2}(x)f_{3}(x) \cdots f_{n}(x) + f_{1}(x)\dif{f_{2}}{x} f_{3}(x) \cdots f_{n}(x) + $

$\displaystyle \cdots + f_{1}(x)f_{2}(x)f_{3}(x) \cdots f_{k-1}(x)\dif{f_{k}}{x}f_{k+1}(x) \cdots f_{n}(x) + \cdots + f_{1}(x)f_{2}(x)f_{3}(x) \cdots f_{n-1}(x)\dif{f_{n}}{x}$

$\displaystyle \therefore \dif{\mathcal{F}_{n}}{x} = \prod_{q=1, q \neq 1}^{n}(f_{q}(x)) \dif{f_{1}}{x} + \prod_{q=1, q \neq 2}^{n}(f_{q}(x)) \dif{f_{2}}{x} + \cdots + \prod_{q=1, q \neq n}^{n}(f_{q}(x)) \dif{f_{n}}{x}$

$\displaystyle \therefore \dif{\mathcal{F}_{n}}{x} = \sum_{p=1}^{n}\prod_{q=1, q \neq p}^{n}(f_{q}(x))\frac{df_{p}}{dx}$ $\cdots$②

したがってこれが成り立つことを仮定し、数学的帰納法より示します。

$n=1$のときは①より成立します。

$n=k+1$のとき、②の左辺は

$\displaystyle \dif{\mathcal{F}_{k+1}}{x} = \ldif{x}\prod_{i=1}^{k+1}f_{i}(x)$

$\displaystyle\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ldif{x}(\prod_{i=1}^{k}(f_{i}(x))\ \cdot f_{k+1}(x))$

$\displaystyle\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \dif{\mathcal{F}_{k}}{x}f_{k+1}(x) + \mathcal{F}_{k}(x)\dif{f_{k+1}}{x}$

$\displaystyle\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (\sum_{p=1}^{k}\prod_{q=1, q \neq p}^{k}(f_{q}(x))\frac{df_{p}}{dx}) \cdot f_{k+1}(x) + \prod_{i=1}^{k}(f_{i}(x)) \cdot \dif{f_{k+1}}{x}$

$\displaystyle\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum_{p=1}^{k+1}\prod_{q=1, q \neq p}^{k+1}(f_{q}(x))\frac{df_{p}}{dx}$

これは右辺と一致するので、示すべき命題は数学的帰納法より示され、以下の公式が導かれました。

より一般的にはライプニッツの公式を用いれば$n$次導関数の公式が得られそうです。