$$\newcommand{BA}[0]{\begin{align*}}
\newcommand{BC}[0]{\begin{cases}}
\newcommand{BE}[0]{\begin{equation}}
\newcommand{bl}[0]{\boldsymbol}
\newcommand{BM}[0]{\begin{matrix}}
\newcommand{D}[0]{\displaystyle}
\newcommand{EA}[0]{\end{align*}}
\newcommand{EC}[0]{\end{cases}}
\newcommand{EE}[0]{\end{equation}}
\newcommand{EM}[0]{\end{matrix}}
\newcommand{h}[0]{\boldsymbol{h}}
\newcommand{k}[0]{\boldsymbol{k}}
\newcommand{L}[0]{\left}
\newcommand{l}[0]{\boldsymbol{l}}
\newcommand{m}[0]{\boldsymbol{m}}
\newcommand{n}[0]{\boldsymbol{n}}
\newcommand{R}[0]{\right}
\newcommand{vep}[0]{\varepsilon}
$$
1. 積分変換と係数の決定
$\displaystyle \beta_n=\frac{\binom{2n}{n}}{4^n},\qquad h_n=2n\beta_n,\qquad s_n=4n+1,\qquad q_n=4n-1,\qquad g_n=\sum_{m=0}^n\beta_m^3\beta_{n-m}^{}$
とおきます。$P_n(x),\,Q_n(x)$はそれぞれ第一種、第二種$\rm Legendre$多項式です。実数変数の恒等式は特記しない限り$0< x<1$で与えます。
$\D\BA \kappa(z)&={}_2F_1\!\left[\BM\frac12,\frac12\\1\EM;z\right]\\ \mu(z)&={}_3F_2\!\left[\BM\frac12,\frac12,\frac12\\1,1\EM;z\right] \EA$
$\displaystyle \begin{aligned} (Mf)(x)&=\frac2\pi\int_0^1 \frac{f\big(t\sqrt{1-x^2}\big)}{\sqrt{1-t^2}}\,dt\\ (Nf)(x)&=\int_{\sqrt{1-x^2}}^1 \frac{f(u)}{\sqrt{u^2-1+x^2}}\,du \end{aligned}$
$\displaystyle \begin{aligned}\\ K=NM \end{aligned}$
$\displaystyle \begin{aligned}\\ \Phi_2(x)=\frac{2}{\pi}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad \Phi_{p+1}=M\Phi_p\qquad(p\ge2)\end{aligned}$
今回、次の八つの関数の$\textrm{Fourier-Legendre}$展開を求めます：
$\displaystyle \begin{aligned} F_3(x)&=\kappa(x^2), & F_4&=N\Phi_3,\\ F_5(x)&=\sum_{n=1}^\infty\frac{g_{n-1}}{h_n}x^{2n-1}, & F_6&=N\Phi_5,\\ F_7&=KF_5, & F_8&=N\Phi_7,\\ F_9&=KF_7, & \widetilde F_7&=K\Phi_5. \end{aligned}$
次数が$p-3$以下の偶多項式$\Pi$に対して
$\displaystyle (S_p[\Pi])(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{p(n-1)}q_n}{h_n^p}P_{2n-1}(x) \sum_{m=0}^{n-1}(-1)^{pm} s_m\beta_m^p\Pi(s_m)$
とします。微分作用素$L$を
$\displaystyle (Lf)(x)=-\frac{d}{dx}(1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)$
で定めると、偶数冪の単項式上で$LM=ML,\,LN=NL$で
$\displaystyle MP_{2m}=(-1)^m\beta_mP_{2m},\qquad NP_{2m}=(-1)^m\beta_mQ_{2m},\qquad KP_{2m}=\beta_m^2Q_{2m}$
$(1)$
を得ます。第二式は、
$\displaystyle \begin{gathered} \frac{f\big(\sqrt{1-t}\big)}{\sqrt{1-t}}=\sum_{n=0}^\infty\varphi_nt^n \quad\Longrightarrow\quad Nf(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\varphi_{n-1}}{h_n}x^{2n-1}\end{gathered}$
$(2)$
から従います。
$\hspace{5pt}$$f$を$(-1,1)$上の偶関数とし、ヒルベルト変換を
$\displaystyle (Hf)(x)=\frac12\operatorname{PV}\int_{-1}^1\frac{f(t)}{x-t}\,dt$
と書きます。$HP_j=Q_j$です。$M$と$N$の関係は
$\displaystyle N=HM,\qquad K=HM^2$
です。一般の$L^2(0,1)$の関数には$\D\|Mf\|_2^{}\le\|f\|_2^{},\,\,\|Hf\|_2^{}\le\frac{\pi}{2}\|f\|_2^{}$と多項式の稠密性を用います。$L_x,\,L_t$の添字は作用させる変数を表し、
$\displaystyle L_x\operatorname{PV}\frac1{x-t} =L_t\operatorname{PV}\frac1{x-t},\qquad H(Lu)=L(Hu)$
が成り立ちます。第二式では$u$の台を$[-1,1]$とします。
$\hspace{5pt}$次に、展開係数を微分方程式から求めます。微分作用素を
$\displaystyle T_1f=xf,\qquad T_{p+1}=\frac12(LT_p-T_pL) \qquad(p\ge1)$
で定めると、
$\displaystyle T_pP_k= \frac{(k+1)^pP_{k+1}-(-k)^pP_{k-1}}{2k+1} \qquad(k\ge0)$
$(3)$
を得ます。$P_{-1}(x)=0$です。同式は$k\ge1$の$Q_k$でも成り立ちます。また、多項式への作用と形式随伴からそれぞれ
$\displaystyle T_{p+2}=\frac12(LT_p+T_pL),\qquad T_p^*=(-1)^{p-1}T_p$
となります。$\D T_pf=\sum_{j=0}^{p-1}t_{p,j}(x)f^{(j)}(x)$と書けば、$t_{1,0}=x$で
$\displaystyle \begin{aligned} t_{p+1,j}={}&(x^2-1)t'_{p,j-1}-(j-1)xt_{p,j-1}+\frac{x^2-1}{2}t''_{p,j}+xt'_{p,j}-\frac{j(j+1)}2t_{p,j}. \end{aligned}$
部分積分の境界項を
$\displaystyle G_p(f,V;x)= \sum_{j=1}^{p-1}\sum_{k=0}^{j-1}(-1)^k f^{(j-1-k)}(x)\bigl(t_{p,j}(x)V(x)\bigr)^{(k)}$
と書くと
$\displaystyle \int_a^b\L(VT_pf-(-1)^{p-1}fT_pV\R)\,dx =\Big[G_p(f,V;x)\Big]_a^b.$
また、$3\le p\le9$ とし、$F\in L^2(0,1)\cap C^{p-1}(0,1)$が$T_pF=0$を満たすとき、
$\BA\D G_p(F,P_{2n};0)=0,\qquad G_p(F,P_{2n};1)=(-1)^p\,\Pi(s_n) \qquad(n\ge0) \EA$
が成り立つとき、$F=S_p[\Pi]$です。偶関数では、$p=3$なら$0$であり、$p=7$では
$\displaystyle G_7(F,P_{2n};0) =2P_{2n}(0)F(0)\lambda(\lambda+1)+7F''(0)-F^{(4)}(0)), \qquad\lambda=2n(2n+1)$
です。
2. 楕円積分を用いる表示
$\hspace{5pt}$$\D\Phi_3(x)=(M\Phi_2)(x)=\frac{2}{\pi}\kappa(1-x^2)$です。$M$の対称性と
$\displaystyle \int_0^1\frac{P_{2n}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\frac\pi2\beta_n^2$
から
$\displaystyle \Phi_p(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^{pn}s_n\beta_n^pP_{2n}(x) \qquad(p\ge3)$
です。$\Phi_p(-x)=\Phi_p(x)$とした$(-1,1)$上で$T_p\Phi_p=0$です。$0< x<1$では$t_{p,p-1}(x)\ne0$なので、$\Phi_p$は解析的です。楕円積分による表示は
$\displaystyle \Phi_4(x)=\frac2\pi \kappa\!\left(\frac{1-x}{2}\right) \kappa\!\left(\frac{1+x}{2}\right),\qquad \mu(1-x^2)=\kappa\!\left(\frac{1-x}{2}\right)^2$
です。第一式を示すには、$\D\kappa\L(\frac{1\pm x}{2}\R)$が$\D((1-x^2)y')'-\frac{y}{4}=0$の独立な二解であり、その積が
$\displaystyle T_4f=(1-x^2)^2f'''-6x(1-x^2)f''+(7x^2-3)f'+xf=0$
の独立な三解となることを用います。$f^{(3)}$に掛かる係数は$1$なので、$\Phi_4$は原点近くで偶数冪の級数で表され、二解の積と平方和の線形結合です。平方和は$x=1$で$(\log(1-x))^2$を含みますが、$\Phi_4=M\Phi_3$で有界でない項は$\D-\frac{2}{\pi^2}\log(1-x^2)$だけです。これにより積表示とその係数が定まります。
$\displaystyle A:=\frac\pi{\D\Gamma(\tfrac34)^4}=\mu(1)=\kappa\L(\frac{1}{2}\R)^2,\qquad \kappa''\!\L(\frac{1}{2}\R)=\kappa\!\L(\frac{1}{2}\R),\qquad \kappa\!\L(\frac{1}{2}\R)\kappa'\!\L(\frac{1}{2}\R)=\frac2\pi.$
$\hspace{5pt}$次の関数
$\displaystyle R(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}q_n}{h_n^7}P_{2n-1}(x)$
を定めます。$\Phi_5$と$R$の原点で必要な値は、次の式で与えられます：
$\displaystyle \begin{aligned} \alpha_0&=\Phi_5(0)=\sum_{n=0}^\infty s_n\beta_n^6\\ \alpha_2&=\Phi_5''(0+)=\frac{\alpha_0}{2}-\frac4{\pi^3} -\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{s_n(s_n^2+1)}4\beta_n^6-\frac{16}{\pi^3}\right)\\ r_1&=R'(0+)=\sum_{n=1}^\infty\frac{q_n}{h_n^6}\\ r_3&=R'''(0+)=\frac52r_1+\frac{\pi^3}{16} +\frac14\sum_{n=1}^\infty \left(\pi^3-\frac{q_n(q_n^2+1)}{h_n^6}\right) \end{aligned}$
$(4)$
また、
$\displaystyle J[X](x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{h_{n+1}} \sum_{k=0}^n\beta_k^2\beta_{n-k}^{}X_k^{}$
と書き、$u_n^{(0)},u_n^{(1)},v_n$を次の有限和で定めます：
$\displaystyle \begin{aligned} u_n^{(0)}&=\alpha_0-\sum_{m=1}^n\frac{\beta_{n-m}}{h_m^3} \sum_{k=0}^{m-1} \left(\frac{\alpha_0}{2}(s_k^2+1)-\alpha_2\right)\beta_k^4\\ u_n^{(1)}&=A-\frac12\sum_{m=1}^n\frac{\beta_{n-m}}{h_m^2} \sum_{k=0}^{m-1}\left(As_k+\frac4{\pi^2A}\right)\beta_k^3\\ v_n&=r_1-\sum_{m=1}^n\frac{\beta_{n-m}}{h_m^3} \sum_{k=0}^{m-1}\L(\!\left(\frac{r_1}{2}(s_k^2+5)-r_3\right)\beta_k^4 +\beta_k^3\sum_{j=0}^{k-1} \frac{\beta_{k-1-j}}{(2j+1)^2\beta_j}\right) \end{aligned}$
以下、添字$n-1,n,n+1$を含む等式の範囲は、特記しなければ$n\ge1$とします。
定理 2.$\hspace{5pt}$$0< x<1$ において$\displaystyle\BA\\ F_6(x)=J[u^{(1)}](x),\qquad F_7(x)=\sum_{n=0}^\infty\beta_nx^{2n} \sum_{m=1}^n\frac{\beta_{n-m}g_{m-1}}{h_m^2}\EA$
$\displaystyle \hspace{20pt}\Phi_5(x)=\sum_{n=0}^\infty\beta_nu_n^{(0)}x^{2n} -\frac4{\pi^2}F_5(x) =\frac2\pi\sum_{n=0}^\infty\beta_n^2u_n^{(1)}(1-x^2)^n$
$(5)$
$\displaystyle \begin{aligned}\\ F_5(x)&=S_5[\Pi_5](x),& \Pi_5(s)&=\frac A4(s^2+1)-\frac2{\pi^2A},\\ F_6(x)&=S_6[\Pi_6](x),& \Pi_6(s)&=\frac{\alpha_0}{4}(s^2-1)+\alpha_2,\\ R(x)&=J[v](x)-\frac{\pi^4}{16}F_7(x). \end{aligned}$
です。 証明．$\Phi_5$の一次の項は$|x|$との比較で定まります。
$\displaystyle \int_0^1xP_{2n}(x)\,dx =\frac{(-1)^{n-1}\beta_n}{(2n-1)(2n+2)},\qquad (2n-1)(2n+2)\beta_n^4=\frac4{\pi^2}+O(n^{-2})$
より、$\D\Phi_5+\frac{4}{\pi^2}|x|$の級数は区間内部で二回項別微分できます。偶関数なので$\D\Phi_5'(0+)=-\frac{4}{\pi^2}$ であり、値と二階微分は$(4)$式の第一式と第二式になります。
$T_5f=0$に$\D f=\sum d_jx^j$を代入すると
$\displaystyle j(j+1)^2(j+2)d_{j+2}-j^2(2j^2+3)d_j+(j-1)^4d_{j-2}=0 \qquad(j\ge1),\quad d_{-1}=0.$
したがって$d_{2n}=\beta_nu_n^{(0)}$では
$\displaystyle \hspace{20pt}(2n+1)^3u_{n+1}^{(0)}-2n(8n^2+3)u_n^{(0)}+(2n-1)^3u_{n-1}^{(0)}=0,\quad u_0^{(0)}=\alpha_0,\quad u_1^{(0)}=\alpha_2$
$(6)$
です。一方で、$\D\theta=z\,\frac{d}{dz}$として、$\D\theta^3\mu=z\L(\theta+\frac{1}{2}\R)^3\mu$から
$\displaystyle (2n+2)^3g_{n+1}-(2n+1)(8n^2+8n+5)g_n+(2n)^3g_{n-1}=0,\qquad g_0=1,\quad g_1=\frac58$
これより$d_{2n+1}$は$F_5$の$x^{2n+1}$の係数の定数倍です。$T_5$の原点での決定方程式の根は$0,\,1,\,1,\,2$で、冪級数で表される三解と$\log x$を含む一解があります。前者は$d_0,\,d_1,\,d_2$で定まります。後者は$F_5\log x$に冪級数を加えて求められます。$T_5(F_5\log x)$に負の冪が現れないため、加える冪級数の係数も先の$d_j$の式で順に決まります。$\log x$を含む解は二階まで連続微分できないので現れず、$\Phi_5(0),\,\Phi_5^{\prime}(0+),\,\Phi_5^{\prime\prime}(0+)$から$(5)$式の第一式を得ます。
$\hspace{5pt}$$\D\kappa\!\L(\frac12\R),\,\D\kappa'\!\L(\frac12\R),\,\D\kappa''\!\L(\frac12\R)$の値を用いると
$\displaystyle \Phi_4(x)=\frac{2A}{\pi} +\left(\frac A{2\pi}-\frac2{\pi^3A}\right)x^2+O(x^4).$
$Mx^{2n}=\beta_n(1-x^2)^n$を用いれば$\Phi_5$は$x=1$で正則であり、
$\displaystyle \Phi_5(1)=\frac{2A}{\pi},\qquad \Phi_5'(1)=-\frac A{2\pi}+\frac2{\pi^3A}.$
$\D\Phi_5=\frac2\pi\sum_{n=0}^\infty\beta_n^2u_n^{(1)}(1-x^2)^n$を方程式に代入すると
$\displaystyle\hspace{20pt} (2n+1)^2u_{n+1}^{(1)}-(8n^2+1)u_n^{(1)}+(2n-1)^2u_{n-1}^{(1)}=0,\qquad u_0^{(1)}=A,\qquad u_1^{(1)}=\frac A2-\frac2{\pi^2A}.$
$(7)$
以後の$u_n^{(1)}$は、この$u_0^{(1)},u_1^{(1)}$から一意に決まります。また、$\D\Phi_5'(0+)=-\frac{4}{\pi^2}$を境界項に含めて部分積分すると
$\displaystyle \int_0^1((L+1)\Phi_5)P_{2n}\,dx =(-1)^n\!\left(\frac{s_n^2+3}{4}\beta_n^5-\frac4{\pi^2}\beta_n\right).$
右辺に$s_nP_{2n}(x)$を掛けて和を取れば$((L+1)\Phi_5)(x)$を得ます。ここに$x=1$を代入すると
$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty(-1)^ns_n\!\left(\frac{s_n^2+3}{4}\beta_n^5-\frac4{\pi^2}\beta_n\right)=\frac A\pi+\frac4{\pi^3A}$
を得ます。
$\hspace{5pt}$$(6)$式、$(7)$式と有限和の一致を示します。$\D B=\frac{1}{\sqrt{1-z}}$とし、
$\displaystyle \begin{aligned} V_2&=(2\theta-1)^2-z(8\theta^2+1)+z^2(2\theta+1)^2\\ V_3&=(2\theta-1)^3-z(16\theta^3+6\theta)+z^2(2\theta+1)^3 \end{aligned}$
とします。任意の関数$f$に対して
$\displaystyle V_j(Bf)=\sqrt{1-z}\,\big[(2\theta-1)^j-2^jz\theta^j\big]f \qquad(j=2,3).$
有限和の内側の和について差分を取ると
$\displaystyle V_3\sum u_n^{(0)}z^n=-\alpha_0+\alpha_2z,\qquad V_2\sum u_n^{(1)}z^n =A-\frac12\left(A+\frac4{\pi^2A}\right)z.$
これらの$z^n$の係数を比較すると、$n=0,\,1$も含めて$(6)$式、$(7)$式と一致します。
$\hspace{5pt}$積分公式から
$\displaystyle F_5(x)=\int_{\sqrt{1-x^2}}^1 \frac{\mu(1-u^2)}{\sqrt{u^2-1+x^2}}\,du,\qquad F_6(x)=\int_{\sqrt{1-x^2}}^1 \frac{\Phi_5(u)}{\sqrt{u^2-1+x^2}}\,du.$
第二式と$(2)$式、$(5)$式により$\D F_6=\frac{2}{\pi}J[u^{(1)}]$となります。また$\D F_6=H\Phi_6$より
$\displaystyle F_6(x)=\sum_{n=0}^\infty s_n\beta_n^6Q_{2n}(x).$
各項に$T_6$を作用させると、$(3)$式によって項が打ち消し合い、$T_6F_6=0$を得ます。端点での境界項は
$\displaystyle \mu(1-u^2)=A-\frac2\pi u+ \left(\frac A4+\frac1{\pi^2A}\right)u^2+O(u^3)$
から求まります。$y=1-x$に関する$\log y,\,y\log y$の係数は
$\displaystyle F_5:\quad-\frac A2,\quad-\frac A8-\frac1{2\pi^2A},\qquad F_6:\quad-\frac{\alpha_0}{2},\quad-\frac{\alpha_2}{4}.$
これを$G_p$に代入し、$\lambda=k(k+1)$と置くと
$\displaystyle -G_5(F_5,P_k;1)=A\!\L(\lambda+\frac12\R)-\frac2{\pi^2A},\qquad G_6(F_6,P_k;1)=\alpha_0\lambda+\alpha_2.$
前節の補題から$F_5,F_6$の$P_n$による表示を得ます。
$\hspace{5pt}$$R$の級数に$T_7$を作用させると、定数項$1$を除いて相殺されます。一方で、$\D E=\sum v_nz^n$に有限和の差分を用いると
$\displaystyle V_3E=-r_1+(r_3-2r_1)z-z^2 \sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{(2n+1)^2\beta_n}.$
すなわち
$\displaystyle\hspace{20pt} \begin{gathered} (2n+1)^3v_{n+1}-2n(8n^2+3)v_n+(2n-1)^3v_{n-1} =-\frac1{(2n-1)^2\beta_{n-1}},\\ v_0=r_1,\qquad v_1=r_3-2r_1. \end{gathered}$
$(8)$
$(8)$式は、$\D Y=\sum\beta_n^2v_nz^n$に対して
$\displaystyle \big[16\theta^2(\theta-1)^2(2\theta-1) -8z\theta^3(8\theta^2+3)+z^2(2\theta+1)^5\big]Y=-z^2B.$
$B$を掛けて係数を比較すると$T_7J[v]=1$を得ます。また、$K$の単項式に対する公式から$F_7$の係数表示が従います。$\D U(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{g_{n-1}z^n}{h_n^2}$とおけば、先に求めた$g_n$の式は
$\displaystyle \big[2(\theta-1)(2\theta-1)^2(2\theta-3)^2 -z(2\theta-1)^3(8\theta^2-8\theta+5)+32z^2\theta^5\big]U=0$
となり、これを$F_7$の係数表示に代入すれば$T_7F_7=0$を得ます。これらの係数比較には
$\displaystyle \begin{aligned} T_7x^j={}&(j+1)^6x^{j+1} -j^2(3j^4+13j^2+5)x^{j-1}+j(j-2)(j-1)^2(3j^2-6j+14)x^{j-3}-j(j-4)(j-3)(j-2)^2(j-1)x^{j-5} \end{aligned}$
を用います。同式によれば、原点で冪級数に表される解は$1,\,x,\,x^2,\,x^3,\,x^4$の係数で定まり、残る解は$\D\L(x^2+\frac{7}{12}x^4+\cdots\R)\log x$に冪級数を加えたものです。以上の六解は独立であり、六階方程式の任意の解はこれらの線形結合となります。原点で$R$から$T_7f=1$の解析的な解を引き、これらの解と比較します。
$\displaystyle \BA m_{2,n}&:=\int_0^1x^2P_{2n-1}(x)\,dx =\frac{(-1)^n\beta_n}{(n+1)(2n-1)(2n-3)}\\ m_{4,n}&:=\int_0^1x^4P_{2n-1}(x)\,dx =\frac{6(-1)^{n+1}\beta_n} {(n+1)(n+2)(2n-1)(2n-3)(2n-5)} \EA$
$\displaystyle \frac{(-1)^{n-1}}{h_n^7} =-\frac{\pi^4}{32}m_{2,n}-\frac{7\pi^4}{384}m_{4,n}+O\big(n^{-\frac{15}{2}}\big)$
$\D R(x)+\frac{\pi^4}{32}x|x|+\frac{7\pi^4}{384}x|x|^3$は原点を含む区間で五階まで連続微分可能なので
$\displaystyle R(x)=r_1x-\frac{\pi^4}{32}x^2 +\frac{r_3}{6}x^3-\frac{7\pi^4}{384}x^4+O(x^5) \qquad(x\downarrow0).$
$(4)$式の第三式、第四式もこの比較から従います。定数項は
$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=1}^N \frac{q_n\,4n(n-1)(2n+1)}{(n+1)(2n-1)(2n-3)} \beta_n^2=\frac{16(N+1)N(N-1)(2N+3)}{(2N-1)(2N+1)}\beta_{N+1}^2=\frac{8}\pi\L(N+\frac{1}{4}\R)+o(1) \end{aligned}$
から定まります。一方で、$\D F_7=\frac{x^2}{2}+\frac{7x^4}{24}+O(x^6),\,\,J[v]=r_1x+\frac{r_3}{6}x^3+O(x^5)$です。$\log x$を含む解は上の連続微分可能性によって除かれます。$R$と$\D J[v]-\frac{\pi^4}{16}F_7$ は、ともに$T_7f=1$を満たし、$1,\,x,\,x^2,\,x^3,\,x^4$の係数が等しく、解の一意性から最後の等式を得ます。
$\square$
$\hspace{5pt}$八乗には、次の二つの定数を用います：
$\displaystyle \begin{aligned} M_8=\sum_{n=0}^{\infty}s_n\beta_n^8,\qquad C_8=\frac{16}{\pi^4}-2\sum_{n=0}^{\infty}\L(\frac{s_n(s_n^2-1)(s_n^2+3)}{16}\beta_n^8 -\frac{16s_n}{\pi^4}\R) \end{aligned}$
定理 3.$\hspace{5pt}$$0< x<1$ に対して$\displaystyle \begin{aligned}\\ \kappa(x^2)&=S_3[\Pi_3](x)\\ F_4(x)&=\frac12\!\L(\kappa\left(\frac{1+x}{2}\right)^2- \kappa\left(\frac{1-x}{2}\right)^2\R)=S_4[\Pi_4](x)\\ F_8(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}s_n\beta_n^8Q_{2n}(x) =S_8[\Pi_8](x), \end{aligned}$
ただし$\displaystyle\BA\\ \Pi_3(s)=\frac2\pi,\qquad \Pi_4(s)=\frac4{\pi^2},\qquad \Pi_8(s)=\frac{M_8}{8}(s^2-1)(s^2+3) +\frac4{\pi^4}(s^2-1)+C_8.\EA$
また、$\displaystyle\BA\\ F_4(x)=\frac2\pi\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\beta_n} \sum_{k=0}^n\beta_k^2\beta_{n-k}.\EA$
証明．三乗では超幾何微分方程式から
$\displaystyle T_3f=-\frac{d}{dx}x(1-x^2)\frac{d}{dx}f+xf,\qquad T_3\kappa(x^2)=0.$
$y=1-x$とおくと、
$\displaystyle \kappa(x^2)=-\frac1\pi\log y+O(1),\qquad G_3(\kappa(x^2),P_{2n};0)=0,\qquad -G_3(\kappa(x^2),P_{2n};1)=\frac2\pi.$
補題 1より$\D\Pi_3=\frac2\pi$です。四乗の楕円積分表示を$f$と書きます。先に示した二つの楕円積分の積に対する方程式より$T_4f=0$であり、
$\displaystyle f(0)=f''(0)=0,\qquad f'(0)=\frac2\pi.$
一方で、$(1)$式より$\D F_4=\sum_{n=0}^\infty s_n\beta_n^4Q_{2n}$であり、$(3)$式の隣接項は相殺するので$T_4F_4=0$です。$(2)$式と$\D \Phi_3(u)=\frac2\pi\kappa(1-u^2)$ は、定理の冪級数を与えます。したがって$F_4(0)=f(0),\,\,F_4'(0)=f'(0),\,\,F_4''(0)=f''(0)$で、 $F_4=f$を得ます。さらに
$\displaystyle F_4(1-y)=\frac{\log^2y}{2\pi^2}+O(|\log y|),\qquad G_4(\log^2y,P_{2n};1)=8.$
$\log y$と解析的部分の境界項は$0$なので$\D\Pi_4=\frac{4}{\pi^2}$です。
$\hspace{5pt}$八乗についても$(1)$式と$(3)$式より、$Q_{2n}$展開と$T_8F_8=0$を得ます。$T_6f$で$f^{(5)}$に掛かる係数は原点で$0$でないので、$\Phi_6$は原点で解析的です。したがって$\Phi_7=M\Phi_6$は$x=1$で解析的であり、$(2)$式により$F_8$は原点で解析的な奇関数です。よって原点の境界項は$0$です。
$\displaystyle (-1)^n\beta_n^7-\frac8{\pi^4}\int_0^1u^2\log u\,P_{2n}(u)\,du =O\big(n^{-\frac{11}{2}}\big).$
なので$\D\Phi_7(u)-\frac{8}{\pi^4}u^2\log|u|$は原点を含む区間で三階まで連続微分できます。$T_7f=0$の解のうち、三つは$u$の偶数冪、二つは奇数冪で表されます。残る解は$\D\L(u^2+\frac{7}{12}u^4+\cdots\R)\log u$に$u$の偶数冪の級数を加えたものです。$u<0$での値を$u>0$と等しくして三階まで連続微分できる関数には$|u|,\,|u|^3$の項がないから、ある解析関数$\varphi$により
$\displaystyle \Phi_7(u)=\varphi(u^2)+\frac8{\pi^4}\left(u^2+\frac7{12}u^4+\cdots\right)\log u,\qquad \varphi(0)=\Phi_7(0)=M_8.$
$\delta=1-x^2$とします。$u=\sqrt\delta\,v$とおき、$N[u^\alpha]$のうち$\delta=0$で冪級数に表されない項は
$\displaystyle \frac{\sqrt\pi\,\Gamma\!\L(-\frac\alpha2\R)}{2\Gamma\!\L(\frac{1-\alpha}{2}\R)}\,\delta^{\frac\alpha2}.$
まず$\Re\alpha<0$で計算し、解析接続して$\alpha=0,\,2$の極を相殺すると、$N1$の対数項は$\D-\frac12\log\delta$、$N[u^2\log u]$の$\log^2\delta$の係数は$\D-\frac\delta{16}$となります。$\delta=2y-y^2$より、解析関数$\varphi_0,\,\varphi_1,\,\varphi_2$を用いて
$\displaystyle F_8(1-y)=-\frac{M_8}{2}\log y-\frac{y}{\pi^4}\log^2y +\varphi_0(y)+y\varphi_1(y)\log y+y^2\varphi_2(y)\log^2y.$
$\lambda=k(k+1)$ とします。$t_{p,j}$を定める式と$\D P_k(1-y)=1-\frac12\lambda y+\frac{1}{16}\lambda(\lambda-2)y^2+\cdots$を用いれば
$\displaystyle \begin{aligned} G_8(\log y,P_k-1;1)&=-4\lambda(\lambda+1),\\ G_8(y\log^2y,P_k-1;1)&=-16\lambda. \end{aligned}$
上記の$\varphi_0,\,\varphi_1,\,\varphi_2$を含む項を$G_8$に代入すると$0$となります。したがって
$\displaystyle \Pi_8(s)-\Pi_8(1)=2M_8\lambda(\lambda+1)+\frac{16}{\pi^4}\lambda,\qquad \lambda=\frac{s^2-1}{4}.$
残る定数項は、
$\displaystyle \Pi_8(1)=\int_0^1xF_8(x)\,dx =\int_0^1u\Phi_7(u)\,du =-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{s_n\beta_n^8}{(2n-1)(2n+2)}.$
$\D Z_n=\frac{64n^7\beta_n^8}{2n-1},\,\,\lambda_n=2n(2n+1)$とすれば
$\displaystyle Z_{n+1}-Z_n=s_n\!\L(\lambda_n(\lambda_n+1) -\frac1{2(2n-1)(2n+2)}\R)\beta_n^8.$
和を取ると
$\displaystyle \begin{aligned} -\sum_{n=0}^{N-1}\frac{s_n\beta_n^8}{(2n-1)(2n+2)}=2Z_N-\frac{32(2N^2-N)}{\pi^4}-2\sum_{n=0}^{N-1}\L(s_n\lambda_n(\lambda_n+1)\beta_n^8-\frac{16s_n}{\pi^4}\R). \end{aligned}$
ここで
$\displaystyle Z_N=\frac{32N^2-16N+8}{\pi^4}+O(N^{-1})$
だから、$N\to\infty$として$\Pi_8(1)=C_8$を得ます。
$\square$
3. 定数の決定
$\hspace{5pt}$七乗・九乗の式に必要な定数を、微分方程式を用いて求めます。奇数$p\ge3$に対して、$\D D=\frac{d}{dt}$として、
$\displaystyle B_p(y,z)=\sum_{j=0}^{p-1}(-1)^jy^{(j)}z^{(p-1-j)},\qquad B_p(y)=B_p(y,y),$
$\displaystyle D_p=e^{-\frac t4}D^pe^{-\frac t4}+e^{\frac t4}D^pe^{\frac t4},\qquad W_p[y]=B_p(e^{-\frac t4}y)+B_p(e^{\frac t4}y)$
と定めます。微分すると
$\displaystyle\hspace{20pt} (B_p(y))'=2yy^{(p)},\qquad (W_p[y])'=2yD_py$
$(9)$
です。また$D_p[y(-t)]=-(D_py)(-t)$で、$w(t)=u(t)-u(-t)$、$u_j=u^{(j)}(0)$に対して
$\displaystyle W_7[w](0)=-\L(u_1\!\L(32u_5+4u_3-\frac{3}{8}u_1\R)+2\L(2u_3+\frac38u_1\R)^2\R).$
まず
$\displaystyle \eta_0=\sum_{n=0}^\infty(-1)^ns_n\beta_n^7,\qquad \eta_1=\frac14\sum_{n=0}^\infty(-1)^ns_n(s_n^2+3)\beta_n^7$
とおきます。$\D\phi_p(z)=\sum_{n=0}^\infty\beta_n^pz^n$とし、負の実軸に沿って解析接続します。$\D\L[\theta^p-z\L(\theta+\frac12\R)^p\R]\phi_p=0$で、$u(t)=e^{\frac t4}\phi_p(-e^t)$は$D_pu=0$を満たします。
$\displaystyle \int_0^\infty x^{s-1}\phi_p(-x)\,dx =\frac{\Gamma(s)\Gamma\L(\frac12-s\R)^p}{\D\pi^{\frac p2}\Gamma\qty(1-s)^{p-1}},\qquad 0<\Re s<\tfrac12$
で、反転積分の積分路を$\D\Re s=\frac12+\epsilon,\,\,0<\epsilon<1$へ移すと、$t\to+\infty$で
$\displaystyle \phi_p(-e^t)=e^{-\frac t2}a(t)+O\big(e^{-\qty(\frac12+\epsilon)t}\big),\qquad a(t)=[z^{p-1}]m_p(z)e^{zt}$
$\displaystyle m_p(z)=\frac{\Gamma\!\qty(\frac12-z)\Gamma\qty(1+z)^p}{\pi^{\frac p2}\Gamma\qty(\frac12+z)^{p-1}}$
です。$a^{(p-1)}=\pi^{1-p}$ であり、反射公式により
$\displaystyle m_p(z)m_p(-z)=\pi^{2-2p}\frac{\qty(\pi z)^p\cos^{p-2}\pi z}{\sin^p\pi z}.$
$B_p(a)$は定数で、その値は右辺の$z^{p-1}$の係数です。これは$\D\frac{\cos^{p-2}z}{\sin^pz}=-\frac{1}{p-1}\qty(\tan^{1-p}z)'$の留数に比例するので$0$となります。$t\to-\infty$では$e^{-\frac t4}w(t)=1-a(-t)+o(1)$なので、$(9)$式を用いて、上記の式を$p-1$階微分して$t\to-\infty$とすると
$\displaystyle W_p[w]=B_p(a)-2a^{(p-1)}=-2\pi^{1-p}.$
$p=7$のとき$4u_1=\eta_0,\,\,16u_3+3u_1=\eta_1$です。したがって、正則点$z=-1$では
$\displaystyle \left.\frac{1}{16}(4\theta+1)\big((4\theta+1)^2-1\big)\big((4\theta+1)^2+3\big)\phi_7(z)\right|_{z=-1} =\frac{1}{2\eta_0}\L(\frac{64}{\pi^6}-\eta_1^2\R).$
これを用いて
$\displaystyle \widetilde\Pi_7(s)=\frac{\eta_0}{16}(s^2-1)(s^2+3) +\frac{\eta_1}{4}(s^2+3)+\frac{1}{2\eta_0}\L(\frac{64}{\pi^6}-\eta_1^2\R)$
とおくと、
$\displaystyle\hspace{20pt} \begin{aligned} J[u^{(0)}](x)-\frac4{\pi^2}F_7(x) &=\widetilde F_7(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^ns_n\beta_n^7Q_{2n}(x)\\ &=S_7[\widetilde\Pi_7](x) \end{aligned}$
$(10)$
が成り立ちます。初めの二つの等号は$(5)$式に$K$を作用させれば得られます。$(6)$式を$T_7J[u^{(0)}]$の各冪の係数に代入すると、すべて$0$になります。$T_7F_7=0$とあわせて$T_7\widetilde F_7=0$を得ます。また
$\displaystyle \widetilde F_7(0)=0,\qquad \widetilde F_7''(0+)=-\frac{4}{\pi^2},\qquad \widetilde F_7^{(4)}(0+)=-\frac{28}{\pi^2}$
となり、$G_7(\widetilde F_7,P_{2n};0)=0$を得ます。
$\hspace{5pt}$$\Phi_7=M^2\Phi_5$と$(1)$式から$\widetilde F_7=H\Phi_7$です。$(5)$式により$\Phi_5$の正の側の分枝は$[0,1]$の近傍で解析的であり、$M\Phi_5$は原点で解析的な偶関数、$\Phi_7$は$1$で解析的となります。主値積分の被積分関数から$\Phi_7(x)$を差し引くと、$\widetilde F_7$の$\log(1-x)$の係数は$\D-\frac{1}{2}\Phi_7(x)$と分かります。
ここで、$\Phi_7$の微分値を上記の級数で表すため、次の公式を用います：
$\displaystyle K_r(t)=\sum_{k=0}^\infty(2k+1)r^kP_k(t) =\frac{1-r^2}{\D(1-2rt+r^2)^{\frac32}},\qquad 0< r<1.$
$\D\int_{-1}^1K_r(t)\,dt=2$であり、任意の$\varepsilon>0$に対して$\D\int_{-1}^{1-\varepsilon}K_r(t)\,dt\to0\quad(r\uparrow1)$です。$f=\Phi_7$とし、$1$の近傍で$f$に一致する$g\in C^\infty[-1,1]$をとると、任意の多項式$q$に対して
$\displaystyle \begin{aligned} \frac12\int_{-1}^1 f(t)q(L_t)K_r(t)\,dt &=\frac12\int_{-1}^1K_r(t)q(L_t)g(t)\,dt+\frac12\int_{-1}^1(f-g)(t)q(L_t)K_r(t)\,dt\\ &\quad \longrightarrow (q(L)f)(1)\quad(r\uparrow1). \end{aligned}$
第二項では$f-g$が$1$の近傍で$0$であり、その外で$q(L)K_r=O(1-r)$となります。$q(\lambda)=1,\,\lambda+1,\,\lambda(\lambda+1)$の左辺は$\phi_7(-r^2)$の微分式です。$-1$が正則点であることから
$\displaystyle \Phi_7(1)=\eta_0,\qquad ((L+1)\Phi_7)(1)=\eta_1,\qquad (L(L+1)\Phi_7)(1)=\frac{1}{2\eta_0}\L(\frac{64}{\pi^6}-\eta_1^2\R).$
$\lambda=k(k+1)$とし、
$\displaystyle P_k^{(j)}(1)=\frac1{\D2^j j!}\prod_{h=0}^{j-1}\{\lambda-h(h+1)\}$
を$G_7$の有限和に代入します。$y=1-x$に関する対数項
$\displaystyle -\frac12\L(\Phi_7(1)-\Phi_7'(1)y+\frac12\Phi_7''(1)y^2\R)\log y$
の三項は、それぞれ$(\lambda+1)^2\Phi_7(1),\,\,2(\lambda+4)\Phi_7'(1),\,\,8\Phi_7''(1)$を$-G_7(\widetilde F_7,P_k;1)$に与えます。残る項を$G_7$に代入し、$x\uparrow1$では$0$です。$L\Phi_7(1)=2\Phi_7'(1),\,\,L(L+1)\Phi_7(1)=6\Phi_7'(1)+8\Phi_7''(1)$より、その和は
$\displaystyle \eta_0\lambda(\lambda+1)+\eta_1(\lambda+1) +\frac{1}{2\eta_0}\L(\frac{64}{\pi^6}-\eta_1^2\R).$
$\D\lambda=\frac{s^2-1}{4}$を代入すれば$\widetilde\Pi_7(s)$となり、補題 1により$(10)$式を得ます。
$\hspace{5pt}$逆数の級数についても同じ二次形式を用います。定数を
$\displaystyle \delta_0=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}q_n}{h_n^7},\qquad \delta_1=\frac14\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}q_n(q_n^2+3)}{h_n^7},\qquad\delta_2=\frac{\pi^2}{4}+\frac1{16}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\L(\frac{q_n(q_n^2-1)(q_n^2+3)}{h_n^7} -\frac{\pi^2q_n(q_n^2+3)}{h_n^3}\R)$
とします。$\D\chi_p(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{h_n^p}$とし、負の実軸に沿って解析接続します。
$\displaystyle \L[\qty(\theta-\frac12)^p-z\,\theta^p\R]\chi_p=2^{-p}z$
です。したがって$u(t)=e^{-\frac t4}\chi_p(-e^t),\,\,w(t)=u(t)-u(-t)$に対して
$\displaystyle D_pu=-2^{-p}e^{\frac t4},\qquad \qty(W_p[w])'=-2^{1-p}w(t)\big(e^{\frac t4}+e^{-\frac t4}\big)$
です。
$\displaystyle \chi_p(-x)=-2^{-p}\int_{[0,1]^p}\frac{xX}{1+xX} \prod_{j=1}^p\frac{dx_j}{x_j\sqrt{1-x_j}},\qquad X=\prod_{j=1}^px_j$
で、その$\rm Mellin$変換は
$\displaystyle \widehat\chi_p(s):=\int_0^\infty x^{s-1}\chi_p(-x)\,dx=\frac{\pi^{1+\frac p2}}{\D 2^p\sin\pi s}\L(\frac{\Gamma(-s)}{\Gamma(\tfrac12-s)}\R)^p,\qquad -1<\Re s<0.$
$\D h(t)=-\underset{s=0}{\rm Res}\,\widehat\chi_p(s)e^{-st}$とおきます。積分路を$\Re s=\epsilon,\,\,0<\epsilon<1$へ移すと、$t\to+\infty$で、$\chi_p(-e^t)=h(t)+O(e^{-\epsilon t}),\,\,h^{(p)}=-2^{-p}$を得ます。反射公式により
$\displaystyle \widehat\chi_p(s)\,\widehat\chi_p(-s)=\frac{\pi^{p+2}\cos^p\pi s} {\D2^{2p}s^p\sin^{p+2}\pi s}.$
右辺の$s^{-p-1}$の係数は$\D\frac{\cos^pz}{\sin^{p+2}z}$の留数に比例します。この関数は$\D-\frac{1}{p-1}\qty(\tan^{-p-1}z)'$なので留数は$0$です。$[s^{-p-1}]\widehat\chi_p(s)=-2^{-p}$と合わせると$B_p(h)(0)=-2^{1-p}[s^0]\widehat\chi_p(s)$となります。
$\hspace{5pt}$$\D I_p=\int_0^1\frac{1}{x}\L(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\R)\chi_p(-x)\,dx$とおきます。$W_p[w](-T)=B_p(h)(T)+o(1)$ $(T\to\infty)$なので、二次形式の微分を$[-T,0]$で積分して、
$\displaystyle B_p(h)(T)=B_p(h)(0)-2^{1-p}\int_0^Th(t)\,dt,$
$\displaystyle [s^0]\widehat\chi_p(s)=\int_0^1\frac{\chi_p(-x)}{x}\,dx+\int_1^\infty\frac{\chi_p(-x)-h(\log x)}{x}\,dx$
を用いて多項式の積分を消去します。残る積分で$T\to\infty$とすると
$\displaystyle W_p[w](0)=2^{1-p}\L(\widehat\chi_p\!\qty(-\frac12)-2I_p\R)$
を得ます。$p=7$ では
$\displaystyle \widehat\chi_7\!\qty(-\frac12)=-\frac{\pi^8}{128},\qquad I_7=-2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}q_n}{\,2n(2n-1)h_n^7}.$
を用います。$z\to-1^+$とすると右辺は$-4$となり、$\delta_2$の定義における$\D\frac{\pi^2}{4}$を打ち消します。したがって$\D\delta_0=-4u_1,\,\delta_1=-16u_3-3u_1,\,\delta_2=-64u_5-8u_3+\frac34u_1$です。原点での$W_7[w]$の式から
$\displaystyle \delta_0\delta_2+\frac12\delta_1^2+ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}q_n}{2n(2n-1)h_n^7} =\frac{\pi^8}{512}.$
$\hspace{5pt}$最後に、前節で定めた$U(z)$について残る定数を求めます。
$\displaystyle \big(2(\theta-1)(2\theta-1)^2(2\theta-3)^2 -z(2\theta-1)^3(8\theta^2-8\theta+5)+32z^2\theta^5\big)U=0.$
$t=\log z,\,\,y=e^{-\frac t2}U(e^t)$とおくと
$\displaystyle \L(e^{-\frac t2}\!\qty(D^5-\frac12D^3+\frac1{16}D)e^{-\frac t2}-2D^5-\frac34D^3+e^{\frac t2}D^5e^{\frac t2}\R)y=0.$
$(9)$式と$U(z)=z+O(z^2)$を用いて$z\downarrow0$すなわち$t\to-\infty$とすると
$\displaystyle B_5\!\qty(\frac Uz)-\frac12B_3\!\qty(\frac Uz)+\frac{U^2}{16z^2}-2B_5\!\qty(\frac{U}{\sqrt{z}})-\frac34B_3\!\qty(\frac{U}{\sqrt z})+B_5(U)=\frac1{16}.$
次の二つの定数を用います：
$\displaystyle \sigma_0=\sum_{n=1}^\infty \frac{g_{n-1}}{h_n^2},\qquad \sigma_1=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{\pi A}{4}\beta_{n-1} -\frac{ng_{n-1}}{h_n^2}\right).$
$d=1-z$とします。
$\displaystyle \mu(1-d)=A-\frac2\pi d^{\frac12}+\left(\frac A4+\frac1{\pi^2A}\right)d+O\big(d^{\frac32}\big).$
で、
$\displaystyle \frac{g_{n-1}}{h_n^2}=\frac{\sqrt\pi}{\D4n^{\frac32}}\L(A+\L(A-\frac{1}{\pi^2A}\R)\frac{1}{2n}+O(n^{-2})\R).$
$\D\sigma_1=\lim_{z\uparrow1}\L(\frac{\pi A}{4}\frac{1}{\sqrt{1-z}}-U'(z)\R)$であり、$z=1$の近くでは
$\displaystyle U(z)=\sigma_0-\frac{\pi A}2d^{\frac12}+\sigma_1d +\left(\frac{\pi A}{24}-\frac1{6\pi A}\right)d^{\frac32} +U_2d^2+O\big(d^{\frac52}\big).$
微分作用素を$32$で割って$d^r$に作用させると、$d^{r-3},\,\,d^{r-2}$の係数は順に
$\displaystyle -\frac{r(r-1)(r-2)(2r-1)(2r-3)}4,\qquad \frac{r(r-1)(2r-1)(20r^2-50r+37)}8$
となり、$d^{r-1}$の係数は$r$を因子にもちます。$d^r$に続く冪を順に代入すると、次の係数を決める式が$0=0$になるのは、$r=0$に対する$d^{r+1},\,\,d^{r+2}$の係数と、$\D r=\frac12,\,1$に対する$d^{r+1}$の係数だけです。これは上記の第二式が$\D r=0,\,\frac12,\,1$で$0$となり、$d^{r-1}$の係数も$r=0$で$0$となるためです。それ以外は次の係数が一意に定まり、$1,\,\,d^{\frac12},\,\,d,\,\,d^{\frac32},d^2$から始まる五つの解を対数項なしにとれます。$U$の式を二次形式に代入し、$\D\qty(-\frac{\pi A}{2})^2+12\!\qty(-\frac{\pi A}{2})\!\!\qty(\frac{\pi A}{24}-\frac{1}{6\pi A})=1$を用て$d\downarrow0$とすると
$\displaystyle \frac{48U_2\sigma_0+4\sigma_0^2-4\sigma_0\sigma_1+4\sigma_1^2-1}{16} =\frac1{16}.$
よって、$d^2$の係数は
$\displaystyle 24U_2+2\sigma_0-2\sigma_1=\frac{1-2\sigma_1^2}{\sigma_0}$
で定まります。
4. 七乗と九乗の恒等式
$\hspace{5pt}$$F_7=KF_5,\,\,F_9=KF_7$ を展開する。前節で求めた$\sigma_0,\,\,\sigma_1,\,\,\delta_0,\,\delta_1,\,\delta_2$を用いて、
$\displaystyle \Pi_7(s)=\frac{\sigma_0}{8\pi}(s^2-1)(s^2+3) -\frac{\sigma_1}{\pi}(s^2+3) +\frac{2(1-2\sigma_1^2)}{\pi\sigma_0},$
$\displaystyle \tau_n=\frac2\pi\L(\sigma_0\delta_2-2\sigma_1\delta_1 +\frac{1-2\sigma_1^2}{\sigma_0}\delta_0\R)-\sum_{m=1}^{n}\frac{(-1)^{m-1}q_m\Pi_7(q_m)}{h_m^7}$
とおきます。さらに
$\displaystyle \begin{aligned} \rho_0&=\sum_{n=0}^\infty(-1)^ns_n\beta_n^9\tau_n\\ \rho_1&=\sum_{n=0}^\infty\L(\frac{(-1)^ns_n(s_n^2+3)}4\beta_n^9\tau_n -\frac{2\sigma_0}{\pi}s_n\beta_n^2\R)\\ \rho_2&=\sum_{n=0}^\infty\L(\frac{(-1)^ns_n(s_n^2-1)(s_n^2+3)}{16}\beta_n^9\tau_n -\frac{s_n\beta_n^2}{2\pi} \bigl(\sigma_0(s_n^2-1)-8\sigma_1\bigr)\R) \end{aligned}$
とします。
定理 4.$\hspace{5pt}$$F_7=S_7[\Pi_7]$ であり、偶数次の展開は$\displaystyle\BA\\ \hspace{20pt} F_7(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^ns_n\beta_n^7\tau_nP_{2n}(x)\EA$
$(11)$
$\displaystyle \begin{aligned}\\ \Pi_9(s)={}&\frac{\rho_0}{64}(s^2-1)(s^2+3)(s^2+7) +\frac{\rho_1}{16}(s^2-1)(s^2+3)+\frac{\rho_2}{4}(s^2+3)+\frac{\rho_0}{2} -\frac{1}{\rho_0}\L(\frac{4}{\pi^2}+\rho_1\rho_2\R) \end{aligned}$
とおくと、$0< x<1$ において$\displaystyle \begin{aligned}\\ F_9(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{h_{n+1}} \sum_{m=0}^{n}\beta_m^2\beta_{n-m} \sum_{\ell=1}^{m}\frac{\beta_{m-\ell}g_{\ell-1}}{h_\ell^2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}q_n}{h_n^9}P_{2n-1}(x) \sum_{m=0}^{n-1}(-1)^ms_m\beta_m^9\Pi_9(s_m) \end{aligned}$
が成り立ちます。 証明．$T_7F_7=0$を用います。$U(z)$において$\delta=1-z$とすると、$F_7$は$\D\frac{U(z)}{\sqrt{1-z}}$に積分変換を作用させたものです。
$\displaystyle {}_2F_1\!\left[\begin{matrix}a,\tfrac12\\1\end{matrix};z\right] =\frac1\pi\int_0^1\frac{(1-zt)^{-a}}{\sqrt{t(1-t)}}\,dt \qquad(0< z<1)$
と、その微分方程式$\D z(1-z)y''+\L(1-\L(a+\frac{3}{2}\R)z\R)y'-\frac{a}{2}y=0$より、$\D a=\frac12,\,-\frac12,\,-\frac32$に対する対数項は
$\displaystyle \begin{aligned} {}_2F_1\!\left[\begin{matrix}\tfrac12,\tfrac12\\1\end{matrix};z\right] &: -\frac1\pi\left(1+\frac\delta4+\frac{9\delta^2}{64}\right)\log\delta,\\ {}_2F_1\!\left[\begin{matrix}-\tfrac12,\tfrac12\\1\end{matrix};z\right] &: -\frac1\pi\left(\frac\delta2+\frac{3\delta^2}{16}\right)\log\delta,\\ {}_2F_1\!\left[\begin{matrix}-\tfrac32,\tfrac12\\1\end{matrix};z\right] &: -\frac{3\delta^2}{8\pi}\log\delta. \end{aligned}$
したがって$y=1-x$とすると$F_7(1-y)$の対数項は
$\displaystyle -\frac1\pi\L(\sigma_0+ \left(\frac{\sigma_0}2+\sigma_1\right)y+ \left(\frac{5\sigma_0}{16}+\frac{\sigma_1}4+\frac{3U_2}2\right)y^2 +O(y^3)\R)\log y.$
これを$G_7$に代入して
$\displaystyle -G_7(F_7,V;1)=\frac2\pi\L(8\sigma_0V''(1)+(6\sigma_0-4\sigma_1)V'(1) +\left(\frac{1-2\sigma_1^2}{\sigma_0}-2\sigma_1\right)V(1)\R).$
負冪と対数の項は相殺します。また、$y^j$ $(j\ge0)$ならびに$y^j\log y$ $(j\ge3)$を$G_7$に入れた値は、$y\to0$で$0$となります。$V=P_k$に対して$\lambda=k(k+1)$とおけば$\D V'(1)=\frac\lambda2,\,\,V''(1)=\frac{\lambda(\lambda-2)}{8}$なので、右辺は$\Pi_7(2k+1)$に等しいです。原点での境界項は、偶関数$F_7$に対して
$\displaystyle -14F_7(0)V''(0)+2F_7(0)V^{(4)}(0) +\L(14F_7''(0)-2F_7^{(4)}(0)\R)V(0)$
となり、$\D F_7(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{7x^4}{24}+O(x^6)$より$0$です。補題 1は$F_7=S_7[\Pi_7]$を与えます。
$\hspace{5pt}$偶数次の係数$\D\widehat F_{7,n}=\int_0^1F_7(x)P_{2n}(x)\,dx$に対しては同じ部分積分により
$\displaystyle (2n)^7\widehat F_{7,n}+(2n-1)^7\widehat F_{7,n-1}=q_n\Pi_7(q_n)$
となります。$\widehat F_{7,n}=(-1)^n\beta_n^7\tau_n$とすれば、これは定義した有限和の漸化式です。初期値を確かめるため、
$\displaystyle z_j=\frac{q_{j+1}\Pi_7(q_{j+1})}{h_{j+1}^7},\qquad \Delta z_j=z_{j+1}-z_j$
とおきます。次の式を用います：
$\displaystyle \frac{7z_0-4z_1+z_2}{8} -\frac18\sum_{j=0}^\infty(-1)^j\Delta^3z_j.$
この式で$z_j$を$z_{j+1}$に置き換えた値を加えると$z_0$となります。また、通常の交代和が定まる場合には、三回の部分和の変形によりその和に等しいです。一方で、
$\displaystyle \frac{q_m(q_m^2+3)}{h_m^3} =\frac{4(2m-1)^3}{h_m^3}+\frac{4(2m+1)^3}{h_{m+1}^3}$
です。右辺に対して上記の操作を行うと、隣接項が消え、値は$4$となります。これを$\delta_2$の定義に代入すれば、$z_j$に対する表示の値は$\tau_0$に等しくなります。添字を$n$回ずらすと$\tau_n$の有限和を得ます。さらに $\D z_j(n)=\frac{q_{n+j+1}\Pi_7(q_{n+j+1})}{h_{n+j+1}^7}$とおくと、同じ操作の反復により
$\displaystyle\hspace{20pt} (-1)^n\tau_n=\sum_{j=0}^{M-1}\frac{(-1)^j\Delta^jz_0(n)}{\D2^{j+1}} +\frac{(-1)^M}{\D2^M}\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\Delta^Mz_k(n),\qquad M\ge3$
$(12)$
となります。$\Delta^Mz_k(n)=O\!\qty(\qty(n+k+1)^{\frac32-M})$であり、最後の和は$O\qty(\qty(n+1)^{\frac52-M})$です。一方で、$F_7$の$x=1$における対数項を二項消すには$\log(1-x^2)$と$(1-x^2)\log(1-x^2)$を用いればよいです。$\lambda=2n(2n+1),\,\,n>1$として
$\displaystyle \int_0^1\log(1-x^2)P_{2n}(x)\,dx=-\frac2\lambda,\qquad \int_0^1(1-x^2)\log(1-x^2)P_{2n}(x)\,dx =\frac8{\lambda(\lambda-6)}.$
この二つの対数項を引いた関数に$L^2$を作用させると可積分となります。二回の部分積分により、その関数と$P_{2n}$の積を$0$から$1$まで積分した値は$O(n^{-4})$となります。したがって$\widehat F_{7,n}$と$(12)$式に$(-1)^n\beta_n^7$を掛けた値は、ともに$O(n^{-4})$まで整数冪の漸近展開をもちます。両者の差は漸化式より$C(-1)^n\beta_n^7$ですが、これは$C\ne0$なら$(-1)^nn^{-\frac72}$に比例する項をもちます。したがって$C=0$であり、$(11)$式が得られます。
$\hspace{5pt}$以下では$\D c=\frac{1-2\sigma_1^2}{\sigma_0}$と略記します。$(12)$式より
$\displaystyle (-1)^n\beta_n^7\tau_n=\frac8\pi\L(\frac{\sigma_0}{s_n^2}-\frac{3\sigma_0+8\sigma_1}{s_n^4} +\frac{9\sigma_0+16\sigma_1+16c}{s_n^6}+O(s_n^{-8})\R).$
ここでは$M=10$とすれば、最後の和に$\beta_n^7$を掛けた誤差は$O(n^{-11})$です。$E_9=M^2F_7$とおくと、$(1)$式より
$\displaystyle E_9(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^ns_n\beta_n^9\tau_nP_{2n}(x),\qquad F_9=HE_9.$
次の四式では、$P_{2n}(x)$に掛かる係数はいずれも$O(n^{-2})$です：
$\displaystyle \begin{aligned} E_{9,0}&=E_9\\ E_{9,1}&=(L+1)E_9-\frac{4\sigma_0}{\pi^2}\psi\\ E_{9,2}&=L(L+1)E_9 -\frac{4\sigma_0L-8\sigma_1}{\pi^2}\psi\\ E_{9,3}&=L(L+1)(L+2)E_9 -\frac4{\pi^2}\L(\sigma_0L^2+2(\sigma_0-\sigma_1)L+c-4\sigma_1\R)\psi,\qquad \psi(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. \end{aligned}$
$\rho_3=E_{9,3}(1)$ とおくと、
$\displaystyle E_{9,j}(1)=\rho_j,\qquad |E_{9,j}(x)-E_{9,j}(t)|\le C\sqrt{|x-t|}\qquad(j=0,1,2,3)$
です。とくに
$\displaystyle \rho_0=E_9(1)=\frac2\pi\int_0^1\frac{F_7(t)}{\sqrt{1-t^2}}\,dt.$
$F_7$の$\rm Taylor$係数は正なので、積分の値も正です。
$\hspace{5pt}$次に$T_9F_9=0$を示します。$\D F_9(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^ns_n\beta_n^9\tau_nQ_{2n}(x)$に$T_9$を作用させると、$\tau_n$の漸化式により
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty q_nh_n^2\Pi_7(q_n)Q_{2n-1}(x)$
が残りますが、この関数は開区間で$0$です。区間外で$0$とした$\psi$について
$\displaystyle \psi(x)=\frac\pi2\sum_{m=0}^\infty s_m\beta_m^2P_{2m}(x),\qquad \sum_{n=1}^\infty q_nh_n^2P_{2n-1}(x)=-\frac2\pi\psi'(x)$
が成り立ちます。一方で、$z\notin[-1,1]$ に対する
$\displaystyle \frac12\int_{-1}^1\frac{dt}{(z-t)\sqrt{1-t^2}} =\frac\pi{2\sqrt{z^2-1}}$
において$z=x\pm i\varepsilon,$ $\varepsilon\downarrow0$として二つの境界値を平均すれば$H\psi=0$を得ます。平方根は無限遠で$z$に漸近する分枝をとります。$H$と微分および$L$の交換式を用いると、残った和は
$\displaystyle -\frac4{\pi^2}\big(\sigma_0L(L+1)-2\sigma_1(L+1)+c\big)(H\psi)'=0 \qquad(0< x<1)$
となります。したがって$T_9F_9=0$です。
$\hspace{5pt}$$HL^j\psi=0$より、$HE_{9,j}$は対応する$L$の多項式を$F_9$に作用させたものに等しいです。上の評価を満たす$e=E_{9,j}$に対して、主値積分で$e(1)$を差し引くと$He$の$\log(1-x)$の係数は$-\D\frac{e(1)}{2}$となります。したがって$F_9(1-y)$の対数項は
$\displaystyle -\L(\frac{\rho_0}2+\frac{\rho_0-\rho_1}4y +\frac{3\rho_0-3\rho_1+\rho_2}{32}y^2 +\frac{21\rho_0-21\rho_1+11\rho_2-\rho_3}{576}y^3 +O(y^4)\R)\log y.$
対数の高次の冪は現れません。決定方程式は$16r^2(r-1)^2(r-2)^2(r-3)^2=0$で、解析的な関数$\varphi$に対して$T_9(\varphi\log y)-\log y\,T_9\varphi$は解析的です。最初の四つの係数を指定した解析解と、それに対数を掛けて解析項を加えた解が局所解空間を張ります。表示した四係数は、上記の四つの微分式の$\log y$の係数の定数項が順に$\D-\frac{\rho_j}{2}$となることから定まります。この対数項を$G_9$に代入すると
$\displaystyle \begin{aligned} -G_9(F_9,V;1)=\rho_0\big(48V'''(1)+88V''(1)+24V'(1)+V(1)\big)+\rho_1\big(8V''(1)+6V'(1)\big)+\rho_2\big(2V'(1)+V(1)\big)+\rho_3V(1). \end{aligned}$
負冪と対数の項は相殺されます。また、$y^j$ $(j\ge0)$ならびに$y^j\log y$ $(j\ge4)$を$G_9$に入れた値は、$y\to0$で零となります。$V=P_k,\,\,\lambda=k(k+1)$とすれば
$\displaystyle -G_9(F_9,P_k;1)=\rho_0\lambda(\lambda+1)(\lambda+2) +\rho_1\lambda(\lambda+1)+\rho_2(\lambda+1)+\rho_3+\rho_0.$
従って、残る定数$\rho_3$は、次の等式で消去できます：
$\displaystyle\hspace{20pt} 2\rho_0\rho_3+2\rho_1\rho_2+\rho_0^2=-\frac8{\pi^2}$
$(13)$
以下、これを証明します。$F_9$は原点で解析的な奇関数なので$G_9(F_9,P_{2n};0)=0$であり、補題 1が右辺の展開を与えます。左辺は単項式に対する$K$の作用から得られます。
$\displaystyle \begin{aligned} R_*(s)&=s\big(\sigma_0(s^2-1)(s^2+3)-8\sigma_1(s^2+3)+16c\big)\\ \omega_n(s)&=R_*(4n+3-4s)\L(\frac{\D\Gamma(n+1-s)}{\D\Gamma(n+\tfrac32-s)}\R)^7 \end{aligned}$
とおき、$\Re s<1$で
$\displaystyle \tau(s)=\frac{\D\pi^{\frac52}\cos\pi s}{8192}\L(7\omega_0(s)-4\omega_1(s)+\omega_2(s) -\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\Delta^3\omega_n(s)\R)$
を定めます。
$\displaystyle \begin{gathered} \tau(s+1)-\tau(s)=\frac{\D\pi^{\frac52}}{1024}R_*(4s+1)\cos\pi s \L(\frac{\D\Gamma(-s)}{\D\Gamma(\tfrac12-s)}\R)^7\qquad(\Re s<0),\\ \tau(-n)=\tau_n \end{gathered}$
です。
$\displaystyle \frac{\Gamma(n+1-s)}{\Gamma(n+\frac32-s)} =\frac1{\sqrt\pi}\int_0^1\frac{t^{n-s}}{\sqrt{1-t}}\,dt \qquad(\Re s<1)$
を用いると
$\displaystyle \tau(s)=\frac{\cos\pi s}{1024\pi} \int_{[0,1]^7}\prod_{j=1}^7\frac{x_j^{-s-1}\,dx_j}{\sqrt{1-x_j}} R_*\!\qty(4s+1-4X\frac{d}{dX})\frac{-X}{1+X},\qquad X=\prod_{j=1}^7x_j$
となります。
$\D f(z)=\sum_{n=0}^\infty\beta_n^9\tau_nz^n$ とおき、
$\displaystyle \begin{aligned} \widehat f(s)&=\frac{\D\Gamma(s)\Gamma(\tfrac12-s)^9} {\D\pi^{\frac92}\Gamma(1-s)^8}\tau(s)\\ &=\frac{\D\pi^{-\frac72}}{\tan\pi s}\L(\frac{\Gamma(\tfrac12-s)}{\Gamma(1-s)}\R)^9 \frac{\tau(s)}{\cos\pi s} \end{aligned}$
を考えます。$s=-n$における留数は$(-1)^n\beta_n^9\tau_n$なので、積分路を左へ移して
$\displaystyle f(-x)=\frac1{2\pi i}\int_{a-i\infty}^{a+i\infty}\widehat f(s)x^{-s}\,ds,\qquad 0< a<\frac12,\quad 0< x<1$
となります。また$\D\frac{\widehat f(s)}{\cos\pi s}$の逆変換は$|\arg z|<\pi$で$f(z)$に等しいです。$z=-x\pm i\varepsilon,$ $\varepsilon\downarrow0$として得た二つの境界値を平均を、$x>1$でも$f(-x)$と書きます。この平均では$x^{-s}$が$x^{-s\cos\pi s}$となります。$\D\tau\!\qty(\frac12)=0$なので、$\D s=\frac12$における$\widehat f$の極の位数は高々$8$です。積分路を$\D\Re s=\frac12+\epsilon$へ移すと
$\displaystyle f(-e^t)=e^{-\frac t2}b(t)+O(e^{-(\frac12+\epsilon)t}),\qquad t\to+\infty,\quad\deg b\le7,\quad0<\epsilon<\tfrac12$
となります。$b$は$\D-\underset{s=\frac12}{\rm Res}\,\widehat f(s)e^{-st}=e^{-\frac t2}b(t)$で定まる多項式です。$0\le j\le8$について、差の$j$階微分も$O\!\L(e^{-(\frac12+\epsilon)t}\R)$です。次式の$\epsilon=0$での値は、複素数$\epsilon\to0$の極限で定めます：
$\displaystyle \Psi_0(\epsilon)=-\frac{1024}{\D\pi^{\frac52}\sin\pi\epsilon}\L(\frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(\tfrac12-\epsilon)}\R)^7\tau\!\qty(\frac12+\epsilon).$
反射公式により
$\displaystyle\hspace{20pt} \widehat f\!\qty(\frac12+\epsilon)\widehat f\qty(\frac12-\epsilon) =\frac{\Psi_0(\epsilon)\Psi_0(-\epsilon)}{\D 2^{20}\pi^2\epsilon^{16}}$
$(14)$
となります。
$\hspace{5pt}$$\D|\epsilon|<\frac14,\,\,t<0$に対して
$\displaystyle \Xi_\epsilon(t)=e^{\frac t4}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\left(\frac{(\frac12-\epsilon)_n^{}}{(1-\epsilon)_n^{}}\right)^7 e^{(n-\epsilon)t}$
とおきます。$\D D_7\Xi_\epsilon=-\epsilon^7e^{-(\frac14+\epsilon)t}$なので、$\D y_j(t)=[\epsilon^j]\Xi_\epsilon(t)$ $(0\le j\le6)$は$D_7y=0$の解です。$\D e^{-\frac t4}y_j(t)\sim\frac{(-t)^j}{j!}$ $t\to-\infty$より独立であり、解の基底となります。この極限で$W_7$を評価すると、基底に関する行列は
$\displaystyle \mathsf G_{ij}=\begin{cases}(-1)^i&i+j=6\\0&i+j\ne6\end{cases}$
です。これを確かめるには、$\epsilon^7,\,\eta^7$を法として
$\displaystyle e^{-(\epsilon+\eta)t}\sum_{j=0}^6(-1)^j\epsilon^j\eta^{6-j} =\sum_{j=0}^6(-1)^j\epsilon^j\eta^{6-j}$
であることを用いればよいです。基本行列を$\mathsf V(t)=\L(y_j^{(i)}(t)\R)_{0\le i,j\le6}$とし、$y,\,y',\,\cdots,\,y^{(6)}$で表した$W_7$の行列を$\mathsf J$とすれば、$\mathsf V^T\mathsf J\mathsf V=\mathsf G=\mathsf G^{-1}$より$\mathsf V\mathsf G\mathsf V^T=\mathsf J^{-1}$です。$D_7y=0$における$y^{(7)}$の係数は$\D2\cosh\frac t2$なので、各解は$t=0$の近傍で解析的です。$\Xi_\epsilon$も上記の非斉次方程式によって$t=0$へ解析的に延長します。また
$\displaystyle \Psi_0(\epsilon)=\lim_{t\uparrow0}R_*(4D)\Xi_\epsilon(t)=\Bigl.R_*(4D)\Xi_\epsilon(t)\Bigr|_{t=0}.$
この際、$t<0$で微分した級数に次式を適用します：
$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty(-r)^nz_n=\frac{z_0}{1+r}-\frac{r\Delta z_0}{(1+r)^2} +\frac{r^2\Delta^2z_0}{(1+r)^3} -\frac{r^3}{(1+r)^3}\sum_{n=0}^\infty(-r)^n\Delta^3z_n,\qquad z_n=R_*(4n+1-4\epsilon)\L(\frac{(1-\epsilon)_n^{}}{(\frac12-\epsilon)_n^{}}\R)^7,\quad r=e^t$
$\D R_*(4D)\Xi_\epsilon(t)=e^{(\frac14-\epsilon)t}\sum_{n=0}^\infty (-r)^nz_n$であり、$t\uparrow0$では$e^{(\frac14-\epsilon)t},\,\,r$ともに$1$に近づきます。
$R_*(4D)$ は奇数階の微分だけを含みます。$t=0$では偶数階と奇数階の導関数を結ぶ$\mathsf J$の成分は$0$であり、一次・三次・五次の導関数に対応する部分は
$\displaystyle \mathsf J_{\rm odd}=\begin{pmatrix} -\frac{3}{128}&-\frac58&-2\\-\frac58&-2&0\\-2&0&0 \end{pmatrix},\qquad \mathsf J_{\rm odd}^{-1}=\begin{pmatrix} 0&0&-\frac12\\0&-\frac12&\frac{5}{32}\\-\frac12&\frac{5}{32}&-\frac{11}{256} \end{pmatrix}.$
したがって、係数ベクトル
$\displaystyle \mathbf r=\bigl(4(-3\sigma_0-24\sigma_1+16c),\,64(2\sigma_0-8\sigma_1),\,1024\sigma_0\bigr)$
を用いれば
$\displaystyle [\epsilon^6]\Psi_0(\epsilon)\Psi_0(-\epsilon) =\mathbf r\mathsf J_{\rm odd}^{-1}\mathbf r^T =-65536(\sigma_0c+2\sigma_1^2)=-65536.$
$b$の留数表示から、$0\le k\le7$について$\D b^{(k)}(0)=-(-1)^k[\epsilon^{-k-1}]\widehat f\qty(\frac12+\epsilon)$ なので、$(14)$式は
$\displaystyle B_9(b)=-[\epsilon^{-10}] \widehat f\qty(\frac12+\epsilon)\widehat f\qty(\frac12-\epsilon)=\frac1{16\pi^2}$
を与えます。
$\hspace{5pt}$$u(t)=e^{\frac t4}f(-e^t),\,\,w(t)=u(t)-u(-t)$とおきます。ここでは$\D\theta=x\,\frac d{dx}$とします。$\tau_n-\tau_{n-1}$の定義から
$\displaystyle \L[\theta^9+x\L(\theta+\frac12\R)^9\R]f(-x) =\frac{\theta^2R_*(4\theta-1)}{1024\pi}\kappa_*(x)$
です。ここで$\kappa_*(x)=\kappa(x)$ $(0< x<1)$とし、$x>1$では$\D\kappa_*(x)=\lim_{\varepsilon\downarrow0}\frac{\kappa(x+i\varepsilon)+\kappa(x-i\varepsilon)}{2}$とします。$\kappa$を定める積分を$\D\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{x}}$で分けると、後半の純虚数部分は相殺されます。前半で$\D\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\varphi$とおけば
$\displaystyle \kappa_*(x)=\frac2\pi\int_0^{\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{x}}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-x\sin^2\theta}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\kappa\!\qty(\frac1x).$
したがって$\D k(t)=e^{\frac t4}\kappa_*(e^t)$は偶関数であり、
$\displaystyle k''\sinh\frac t2+\frac12k'\cosh\frac t2+\frac1{16}k\sinh\frac t2=0$
を満たします。決定方程式$r^2=0$と係数の偶奇性から、原点近傍では、$k(t)$は$t^2$の冪級数と、$t^2$の冪級数に$\log|t|$を掛けた項との和となります。境界値を平均するため、両側で同じ冪級数を用います。冪と対数の境界値を超関数としてとれば、微分ならびに解析関数との乗算と交換できるので、方程式は超関数としても成立し、
$\displaystyle e^{-\frac t4}D^2e^{-\frac t4}k=e^{\frac t4}D^2e^{\frac t4}k$
が$t=0$をまたいでも成り立ちます。反転$t\mapsto-t$は両辺を交換するので、その共通の値は同反転に対して不変な超関数です。変数返還後の式は
$\displaystyle D_9u=\frac{R_*(4D)}{1024\pi}\,e^{-\frac t4}D^2e^{-\frac t4}k.$
括弧内が偶で$R_*$が奇多項式なので、右辺は奇です。$t\neq0$では通常の微分方程式として、$t=0$を含めては超関数として$D_9w=0$が実数全体で成り立ちます。$D_9$の最高階の係数は$\D2\cosh\frac{t}{2}\neq0$であり、$w$は解析的です。九階方程式の非斉次項は、有理型関数と解析関数に$\log|t|$を掛けた項との和です。原点で解析的かつ可逆な基本行列を用いて定数変化法を適用すると、積分する項もこの形をもちます。有理型関数の原始関数は有理型関数と定数倍の対数との和であり、解析関数に対数を掛けた項の積分にも対数の二乗は現れません。したがって$ u(t) = α(t) \log |t| + γ(t) $ $0<|t|≪1$と書けます。$\alpha(t)$は解析的、$\gamma(t)$は有理型という条件ですが、$f(−x)$の$x^n$係数が$ O(n^{-3}) $であるため$ u,\, u'$の左極限は有限であり、$γ $の極は存在しません。上下の境界値の平均を用いているため、$ α(t),\, γ(t) $は$t=0$両側で共通です。$ w(t) $が解析的であることから$\alpha(t)=\alpha(-t)$となります。
$\rho_j$を与える級数の各項に$e^{(n+1/4)t}$を掛け、$t<0$から$t\uparrow0$とすると
$\D\BA\rho_0&=\lim_{t\uparrow0}4Du,\\ \rho_1&=\lim_{t\uparrow0}\left((16D^3+3D)u-\frac{8\sigma_0}{\pi}Dk\right),\\ \rho_2&=\lim_{t\uparrow0}\left(\left(64D^5+8D^3-\frac34D\right)u-\frac{32\sigma_0}{\pi}D^3k+\frac{2(\sigma_0+8\sigma_1)}{\pi}Dk\right),\\ \rho_3&=\lim_{t\uparrow0}\left(\left(256D^7+144D^5+11D^3-\frac{21}{16}D\right)u-\frac{128\sigma_0}{\pi}D^5k-\frac{8(6\sigma_0-8\sigma_1)}{\pi}D^3k-\frac{16c-7\sigma_0-56\sigma_1}{2\pi}Dk\right).\EA$
$\D u-\frac w2$と$k$は偶関数で、その表示には偶数の整数冪と、それに$\log|t|$を掛けた項だけが現れます。上記の奇数階微分によって生じる項は奇数の整数冪とその対数倍です。有限な極限を持つ組合せでは負の冪が消え、残りは$t\uparrow0$で$0$となります。従って$\D\frac w2$だけが寄与します。$j=1,3,5,7$に対して$\D u_j=\frac{w^{(j)}(0)}{2}$とおけば
$\displaystyle \begin{aligned} \rho_0&=4u_1,& \rho_1&=16u_3+3u_1,\\ \rho_2&=64u_5+8u_3-\frac34u_1,& \rho_3&=256u_7+144u_5+11u_3-\frac{21}{16}u_1 \end{aligned}$
$D_9w=0$と$(9)$式により$W_9[w](t)$は定数です。$\D0<\epsilon<\frac12$を固定すると、$t\to-\infty$で
$\D\BA
e^{-\frac t4}w(t)=\tau_0-b(-t)+O(e^{\epsilon t}),\qquad e^{\frac t4}w(t)=O\big(e^{\frac t2}(1+|t|^7)\big)
\EA$
となります。これらの評価は$8$階まで微分した後も成り立ちます。$b^{(8)}=0$より$B_9(\tau_0-b)=B_9(b)$なので$\D W_9[w](0)=\lim_{t\to-\infty}W_9[w](t)=B_9(b)=\frac1{16\pi^2}.$
一方、$t=0$で$w$の偶数階微分は$0$です。上記四式を代入すると
$\D W_9[w](0)=-\frac{2\rho_0\rho_3+2\rho_1\rho_2+\rho_0^2}{128}.$
この二つの値を等置して$(13)$式を得ます。これを$-G_9(F_9,P_k;1)$に代入すると定理の$\Pi_9$となります。
$\square$
