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Murahara-Sakataの和公式

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$x, y$ からなる非可換多項式環を $H := Q ⟨ x, y ⟩, H^{0} := Q + y H x$ とする. Hoffman代数による多重ゼータ値の定式化
$\begin{array}{r} ζ (y x^{k_{1} - 1} \dots y x^{k_{r} - 1}) := ζ (k_{1}, \dots, k_{r}) := \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} \end{array}$
を用いる. $dep (k)$ でインデックス $k$ の深さとする. 導分関係式は以下のように表される.

導分関係式; Ihara-Kaneko-Zagier(2006)

$H [[u]]$ 上の同型写像 $Δ$ を
$\begin{array}{r} Δ (x) := \frac{1}{1 - y u} x, Δ (y) := \frac{y}{1 - y u} (1 - (x + y) u) \end{array}$
によって定義するとき, 任意の $w \in H^{0}$ に対して,
$\begin{array}{r} ζ (Δ (w)) = ζ (w) \end{array}$
が成り立つ.

この記事では, 導分関係式を用いることによって, 以下の定理を示す.

Murahara-Sakata(2018)

正整数 $r \leq n$ とインデックス $k = (k_{1}, \dots, k_{r})$ に対して,
$\begin{aligned} \sum_{\begin{array}{c} 0 < e_{1}, \dots, e_{r} \\ e_{1} + \dots + e_{r} = n \end{array}} ζ ({1}^{e_{1} - 1}, k_{1} + 1, \dots, {1}^{e_{r} - 1}, k_{r} + 1) \\ = \sum_{k ⪯ l} (- 1)^{dep (l) - r} \sum_{\begin{array}{c} 0 < e_{1}, \dots, e_{dep (l)} \\ e_{1} + \dots + e_{dep (l)} = n \end{array}} ζ (l_{1} + e_{1}, \dots, l_{dep (l)} + e_{dep (l)}) \end{aligned}$
が成り立つ. ただし, $\sum_{k ⪯ l}$ は $k$ を縮約インデックスに持つインデックス $l$ 全体の和を表す.

準同型写像 $β : H \to H [[u]]$ を
$\begin{array}{r} β (x) := x - y \frac{x u}{1 - x u}, β (y) := y \frac{x u}{1 - x u} \end{array}$
とすると,
$\begin{aligned} (Δ \circ β) (x) = x, (Δ \circ β) (y) & = \frac{y u}{1 - y u} x \end{aligned}$

よって, 導分関係式より $w = y x^{k_{1} - 1} \dots y x^{k_{r} - 1}$ として, $ζ ((Δ \circ β) (w)) = ζ (β (w))$ であり,
$\begin{aligned} ζ ((Δ \circ β) (w)) & = ζ (\frac{y u}{1 - y u} x^{k_{1}} \dots \frac{y u}{1 - y u} x^{k_{r}}) \\ ζ (β (w)) & = ζ (y \frac{x u}{1 - x u} {(x - y \frac{x u}{1 - x u})}^{k_{1} - 1} \dots y \frac{x u}{1 - x u} {(x - y \frac{x u}{1 - x u})}^{k_{r} - 1}) \\ = \sum_{k ⪯ l} (- 1)^{dep (l) - r} ζ (y \frac{x u}{1 - x u} x^{l_{1} - 1} \dots y \frac{x u}{1 - x u} x^{l_{dep (l) - 1}}) \end{aligned}$
であるから,
$\begin{array}{r} ζ (\frac{y u}{1 - y u} x^{k_{1}} \dots \frac{y u}{1 - y u} x^{k_{r}}) = \sum_{k ⪯ l} (- 1)^{dep (l) - r} ζ (y \frac{x u}{1 - x u} x^{l_{1} - 1} \dots y \frac{x u}{1 - x u} x^{l_{dep (l) - 1}}) \end{array}$
の両辺の $u^{n}$ の係数を比較して定理を得る.

Murahara-Sakataの和公式における右辺に現れるインデックスは全ての成分が2以上である. このようなインデックスは高さ最大のインデックスと呼ばれている. Murahara-Sakataの論文においては, 同様の方針で有限(対称)多重ゼータ値における類似も示されている.

特に $r = 1$ とすることによって, 以下のKaneko-Sakataによる和公式を得る.

正整数 $a, b$ に対して,
$\begin{aligned} ζ ({1}^{a - 1}, b + 1) & = \sum_{0 < r} (- 1)^{r - 1} \sum_{\begin{array}{c} 0 < a_{1}, \dots, a_{r}, a_{1} + \dots + a_{r} = a \\ 0 < b_{1}, \dots, b_{r}, b_{1} + \dots + b_{r} = b \end{array}} ζ (a_{1} + b_{1}, \dots, a_{r} + b_{r}) \end{aligned}$
が成り立つ.