反復積分とその級数表示の関係について

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こんにちは、itouです。

反復積分

反復積分とは、例えば次のような積分をさします。
$\begin{matrix} \int_{0}^{1} \underset{k_{a} - 1 個}{\underset{⏟}{A (t) d t ◦ \dots ◦ A (t) d t}} ◦ B (t) d t ◦ \underset{k_{a - 1} - 1 個}{\underset{⏟}{A (t) d t ◦ \dots A (t) d t}} ◦ B (t) d t ◦ \dots ◦ \underset{k_{1} - 1 個}{\underset{⏟}{A (t) d t ◦ \dots A (t) d t}} ◦ B (t) d t \end{matrix}$
ここで積分は一番右から実行し、 $B (t)$ を $t$ で積分して $A (t)$ を乗じて $t$ で積分して $A (t)$ を乗じて $t$ で積分して…… $B (t)$ を $t$ で積分して $A (t)$ を乗じて……というように、名前の通り積分を反復していきます。
今回は反復積分の級数表示を得る上での簡単な方法を考えてみたという記事です。

反復積分と級数表示

反復積分の級数表示を得るには、積分を級数展開しながら実行していけばよいです。このとき、
一回の反復積分、 $ε (t) d t$ という操作は（直前の） $t$ の式に対し、 $t$ の指数を変化させ、係数になにかを乗じる、という変化を起こします。これを表にすると、以下のようになります。
（ $M$ は操作前の $t$ の指数、 $m_{i}$ は0以上の整数を渡る変数です。また、 $a$ は定数とします。）

$ε (t) d t ◦$	$M$ の変化	係数に乗じられる式
$\frac{d t}{t^{a}} ◦$	$M \to M - a + 1$	$\frac{1}{M - a + 1}$
上で $a = 1$ のとき	$M \to M$	$\frac{1}{M}$
上で $a = 0$ のとき	$M \to M$	$\frac{1}{M + 1}$
$\frac{t^{a} d t}{1 - t} ◦$	$M \to M + m_{i} + a + 1$	$\frac{1}{M + m_{i} + a + 1}$
上で $a = - 1$ のとき	$M \to M + m_{i}$	$\frac{1}{M + m_{i}}$
上で $a = 0$ のとき	$M \to M + m_{i} + 1$	$\frac{1}{M + m_{i} + 1}$

分かりにくいと思うので説明します。
$\begin{matrix} \int_{0}^{1} \underset{k - 1 個}{\underset{⏟}{\frac{d t}{t} ◦ \dots ◦ \frac{d t}{t}}} ◦ \frac{d t}{1 - t} \end{matrix}$
を考えます。まずはじめは $M = 0$ なので、 $\frac{d t}{1 - t}$ によって

$\begin{matrix} \begin{aligned} (t の指数) & ： 0 \to m_{1} + 1 \\ (係数) & ： 1 \to \frac{1}{m_{1} + 1} \end{aligned} \end{matrix}$
となります。つぎに $\frac{d t}{t} ◦$ によって、
$\begin{matrix} \begin{aligned} (t の指数) & ： m_{1} + 1 \to m_{1} + 1 \\ (係数) & ： \frac{1}{m_{1} + 1} \to \frac{1}{(m_{1} + 1)^{2}} \end{aligned} \end{matrix}$
となります。さらにもう一度 $\frac{d t}{t} ◦$ を作用して、
$\begin{matrix} \begin{aligned} (t の指数) & ： m_{1} + 1 \to m_{1} + 1 \\ (係数) & ： \frac{1}{(m_{1} + 1)^{2}} \to \frac{1}{(m_{1} + 1)^{3}} \end{aligned} \end{matrix}$
これを繰り返すと結局、正味のtの指数と係数は、
$\begin{matrix} \begin{aligned} (正味の t の指数) & ： 0 \to m_{1} + 1 \\ (係数) & ： 1 \to \frac{1}{(m_{1} + 1)^{k}} \end{aligned} \end{matrix}$
となります。 $m_{1}$ は０以上を渡るので、
$\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{0}^{1} \underset{k - 1 個}{\underset{⏟}{\frac{d t}{t} ◦ \dots ◦ \frac{d t}{t}}} ◦ \frac{d t}{1 - t} & = \sum_{m_{1} = 0}^{\infty} \frac{1}{(m_{1} + 1)^{k}} \\ = \sum_{n_{1} > 0}^{\infty} \frac{1}{n_{1}^{k}} \end{aligned} \end{matrix}$
ふつうに反復積分を級数展開する手続きを、 $t$ の指数と係数とで分けて考えただけです。

作用の合成

上の例で、 $\underset{k - 1 個}{\underset{⏟}{\frac{d t}{t} ◦ \dots ◦ \frac{d t}{t}}} ◦ \frac{d t}{1 - t} ◦$ という一連の操作は、操作前の $t$ の指数を $M$ 、係数を $C_{M}$ として、

$\begin{matrix} \begin{aligned} (正味の t の指数) & ： M \to M + m_{i} + 1 \\ (係数) & ： C_{M} \to C_{M} \frac{1}{(M + m_{i} + 1)^{k}} \end{aligned} \end{matrix}$
に対応することが確認できました。同様に、複数の積分を合成した作用を表にしてみます。以下、 $(x)_{n}$ はポッホハマー記号です。

操作	正味の $M$ の変化	係数に乗じられる式
$\underset{k - 1 個}{\underset{⏟}{\frac{d t}{t} ◦ \dots ◦ \frac{d t}{t}}} ◦ \frac{d t}{1 - t} ◦$	$M \to M + m_{i} + 1$	$\frac{1}{(M + m_{i} + 1)^{k}}$
$\underset{k 個}{\underset{⏟}{\frac{d t}{t} ◦ \dots ◦ \frac{d t}{t}}} ◦$	$M \to M$	$\frac{1}{M^{k}}$
$\underset{k 個}{\underset{⏟}{d t ◦ \dots ◦ d t}} ◦$	$M \to M + k$	$\frac{1}{(M + 1) (M + 2) \dots (M + k)} = \frac{1}{(M + 1)_{k}}$
$\underset{k 個}{\underset{⏟}{d t ◦ \dots ◦ d t}} ◦ \frac{d t}{t^{a}}$	$M \to M - a + 1 + k$	$\frac{1}{(M - a + 1) (M - a + 2) \dots (M - a + 1 + k)}$
上で $k = a - 1$ のとき	$M \to M$	$\frac{1}{(M - a + 1) (M - a + 2) \dots (M)} = \frac{(M - a)!}{M!}$
$\underset{k - 1 個}{\underset{⏟}{d t ◦ \dots ◦ d t}} ◦ \frac{d t}{t^{k}} ◦ \frac{d t}{1 - t}$	$M \to M + m_{i} + 1$	$\frac{1}{M + m_{i} + 1} \frac{(M + m_{i} + 1 - k)!}{(M + m_{i} + 1)!}$
$\underset{l 個}{\underset{⏟}{\frac{d t}{t} ◦ \dots ◦ \frac{d t}{t}}} ◦ \underset{k - 1 個}{\underset{⏟}{\frac{d t}{t^{2}} ◦ \dots ◦ \frac{d t}{t^{2}}}} ◦ \frac{t^{k - 1} d t}{1 - t} ◦$	$M \to M + m_{i} + 1$	$\frac{1}{(M + m_{i} + 1)^{l} (M + m_{i} + 1)_{k}}$

これらを用いて実際に級数表示を得ます。反復積分の式は横に長く見にくくなってしまうので、次のように略記します。

記法

$\underset{k - 1 個}{\underset{⏟}{\frac{d t}{t} ◦ \dots ◦ \frac{d t}{t}}} ◦ \frac{d t}{1 - t} ◦$ を $S_{k} ◦$ とし,

$\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{0}^{1} \underset{k_{a} - 1 個}{\underset{⏟}{\frac{d t}{t} ◦ \dots ◦ \frac{d t}{t}}} ◦ \frac{d t}{1 - t} ◦ \underset{k_{a - 1} - 1 個}{\underset{⏟}{\frac{d t}{t} ◦ \dots \frac{d t}{t}}} ◦ \frac{d t}{1 - t} ◦ \dots ◦ \underset{k_{1} - 1 個}{\underset{⏟}{\frac{d t}{t} ◦ \dots \frac{d t}{t}}} ◦ \frac{d t}{1 - t} \\ = \int_{0}^{1} S_{k_{a}} ◦ S_{k_{a - 1}} ◦ \dots \dots ◦ S_{k_{1}} \end{aligned} \end{matrix}$

というようにかく.

例

$S_{k} ◦ = \underset{k - 1 個}{\underset{⏟}{\frac{d t}{t} ◦ \dots ◦ \frac{d t}{t}}} ◦ \frac{d t}{1 - t} ◦$ とすると、表より、
$\begin{matrix} \begin{aligned} = \int_{0}^{1} S_{k_{a}} ◦ S_{k_{a - 1}} ◦ \dots \dots ◦ S_{k_{1}} \\ = \sum_{m_{1}, m_{2}, \dots \dots m_{a} = 0}^{\infty} \frac{1}{(m_{1} + 1)^{k_{1}} (m_{1} + m_{2} + 2)^{k_{1}} \dots \dots (m_{1} + m_{2} + \dots \dots m_{a} + a)^{k_{1}}} \\ = \sum_{0 < m_{1} < m_{2} \dots \dots < m_{a}} \frac{1}{m_{1}^{k_{1}} m_{2}^{k_{2}} \dots m_{a}^{k_{a}}} \end{aligned} \end{matrix}$

MZVの級数表示ですね。正味の $M$ の変化が $M \to M + m_{i} + 1$ であるような操作を用いると、このように $0 < m_{1} < m_{2} \dots \dots < m_{a}$ を渡る和として書くことができます。

例

$S_{k} ◦ = \underset{k - 1 個}{\underset{⏟}{d t ◦ \dots ◦ d t}} ◦ \frac{d t}{t^{k}} ◦ \frac{d t}{1 - t} ◦$ とすると、表より、
$\begin{matrix} \begin{aligned} = \int_{0}^{1} S_{k_{a}} ◦ S_{k_{a - 1}} ◦ \dots \dots ◦ S_{k_{1}} \\ = \sum_{0 < m_{1} < m_{2} \dots \dots < m_{a}} \frac{1}{m_{1}} \frac{(m_{1} - k)!}{(m_{1})!} \frac{1}{m_{2}} \frac{(m_{2} - k)!}{(m_{2})!} \dots \dots \frac{1}{m_{a}} \frac{(m_{a} - k)!}{(m_{a})!} \end{aligned} \end{matrix}$

例

$S_{k, l} ◦ = \underset{l 個}{\underset{⏟}{\frac{d t}{t} ◦ \dots ◦ \frac{d t}{t}}} ◦ \underset{k - 1 個}{\underset{⏟}{\frac{d t}{t^{2}} ◦ \dots ◦ \frac{d t}{t^{2}}}} ◦ \frac{t^{k - 1} d t}{1 - t} ◦$ とすると、表より、
$\begin{matrix} \begin{aligned} = \int_{0}^{1} S_{k_{a}, l_{a}} ◦ S_{k_{a - 1}, l_{a - 1}} ◦ \dots \dots ◦ S_{k_{1}, l_{1}} \\ = \sum_{0 < m_{1} < m_{2} \dots \dots < m_{a}} \frac{1}{(m_{1})_{k_{1}} m_{1}^{l_{1}} (m_{2})_{k_{2}} m_{2}^{l_{2}} \dots (m_{a})_{k_{a}} m_{a}^{l_{a}}} \end{aligned} \end{matrix}$

感想

というわけで反復積分を級数表示にする方法でした。……もともとはシャッフル積と調和積をもつ、ＭＺＶ以外の対象を見つけようと思ってやり始めたのですが、上の結果をみるとなさそうな感じがします。正味の $M$ の変化が $M \to M + m_{i} + 1$ であるような操作で、かつシャッフルして形が保存されるようなものが他にないのではと。ここから思いつきの話なのですが、シャッフル積って分数階積分入りのシャッフル積分に対してもできるのでしょうか？
$k$ 回微分を（参考：まめけびさんのサイト）
$\begin{matrix} D^{k} (t^{n}) = \frac{Γ (n + 1)}{Γ (n - k + 1)} ・ t^{n - k} \end{matrix}$
とすると、 $k$ 階積分は
$\begin{matrix} D^{- k} (t^{n}) = \frac{Γ (n + 1)}{Γ (n + k + 1)} ・ t^{n + k} \end{matrix}$
として定義されます。
これを $\int f (t) (d t)^{k}$ というように書くことにします。例えば
$\begin{matrix} \int_{0}^{1} t^{n} \sqrt{d t} = \frac{Γ (n + 1)}{Γ (n + 3 / 2)} ・ t^{n + 1 / 2} \end{matrix}$
です。1/2階積分について操作の表を得ると、

$ε (t) \sqrt{d t} ◦$	$M$ の変化	係数に乗じられる式
$\frac{\sqrt{d t}}{t^{a}} ◦$	$M \to M - a + 1 / 2$	$\frac{Γ (M - a + 1)}{Γ (M - a + 3 / 2)}$
上で $a = 1 / 2$ のとき	$M \to M$	$\frac{Γ (M + 1 / 2)}{Γ (M + 1)}$
$\frac{t^{a} \sqrt{d t}}{1 - t} ◦$	$M \to M + m_{i} + a + 1 / 2$	$\frac{Γ (M + m_{i} + a + 1)}{Γ (M + m_{i} + a + 3 / 2)}$
上で $a = 1 / 2$ のとき	$M \to M + m_{i} + 1$	$\frac{Γ (M + m_{i} + 3 / 2)}{Γ (M + m_{i} + 2)}$

これを使うと、

$\begin{matrix} \begin{aligned} \int_{0}^{1} \underset{k_{a} - 1 個}{\underset{⏟}{\frac{\sqrt{d t}}{\sqrt{t}} ◦ \dots ◦ \frac{\sqrt{d t}}{\sqrt{t}}}} ◦ \frac{\sqrt{d t}}{1 - t} ◦ \underset{k_{a - 1} - 1 個}{\underset{⏟}{\frac{\sqrt{d t}}{\sqrt{t}} ◦ \dots \frac{\sqrt{d t}}{\sqrt{t}}}} ◦ \frac{\sqrt{d t}}{1 - t} ◦ \dots ◦ \underset{k_{1} - 1 個}{\underset{⏟}{\frac{\sqrt{d t}}{\sqrt{t}} ◦ \dots \frac{\sqrt{d t}}{\sqrt{t}}}} ◦ \frac{\sqrt{d t}}{1 - t} \\ = \sum_{0 < m_{1} < m_{2} \dots \dots < m_{a}} (\frac{Γ (m_{1} + 1 / 2)}{Γ (m_{1} + 1)})^{k_{1}} (\frac{Γ (m_{2} + 1 / 2)}{Γ (m_{2} + 1)})^{k_{2}} \dots (\frac{Γ (m_{a} + 1 / 2)}{Γ (m_{a} + 1)})^{k_{a}} \end{aligned} \end{matrix}$
を得ます。級数表示をみると調和積が入ることが分かりますが、シャッフル積は入るのでしょうか？