高校数学を使用した中学数学の攻略法です。高校数学をやるきっかけになってほしいです。

難問　集合！！中学数学(計算編)


## はじめに

### 中学数学とは
中学数学とは高校数学に向けて勉強する数学です。私はそれを数学基礎と呼んでいます。もちろん、中学数学でつまずいたら、高校数学はできません。


### この本の紹介
この本は中学数学の計算を主にメインとしています。計算問題はグラフや図形問題を解くための基礎です。しっかり身につけましょう！！

###解き方
・プランA{基本}
一般的な解き方であり、学校の授業でやる解き方です。
・プランB{応用}
学校の授業でやった知識を使い、解く時間や、計算量を少なくする。
・プランC{高校数学}
中学数学に高校数学を取り入れることにより、最高の裏技となるのですが、理解できなくても大丈夫です。

はじめに

大問1(正負の計算)
(1)  3÷$\frac{-3 ^{2} }{8}$+{3-7×$(-2)^{2}$}×$(-0.6)^{3}$
(2)  $(-3)^{2}$÷$\frac{3}{7}$+$(-1)^{3}$×22÷$(-5)^{2}$
(3) $-3^{2}$+4÷(-$\frac{2}{3}$)÷(-$\frac{1}{3}$)+$(-3)^{2}$
(4) {$(- \frac{3}{4} )^{2}$÷$(- \frac{1}{2}  )^{3}$}÷{$\frac{ (-3)^{2} }{4}$÷$( -\frac{1}{2} )^{2}$}
(5) ($3.5^{2}$-$1.5^{2}$)×0.5-(0.6-$\frac{6}{5}$)÷$\frac{3}{5}$



正負の計算　問題

(1)$\frac{a+12b}{5}$+a-2b
(2)$4(5a-8b)-7(2a-3b)$
(3)$\frac{7ax-2b}{5}$=9 (b=の形)
(4)6(-2x+y)=-5z+17(yの形)
(5)$\frac{4x-7}{3}$-3×$\frac{x-4y}{5}$-$\frac{2x-5y}{6}$
(6)7x+2y=-x-5yのとき、$\frac{5x-8y}{4x+9y}$の値を求めよ

文字式　問題

タイムアタック　目標2分
展開せよ
(1)$(x+1)(x+3)$
(2)$(x-5)(x+3)$
(3)$(2x+3)(x-2)$
(4)$(x+2y-1)(x+2y+1)$
因数分解せよ
(1)$x^2-3x+2$
(2)$x^2-2xy-35y^2$
(3)$2x^2-3x-2$
(4)$x^2+9y^2-6xy-1$

展開・因数分解基礎　問題

因数分解せよ
(1)$x^2+2xy+y^2-5x-5y+6$
(2)$(x-3)(x+3)+x(x-7)+(3-x)(x+1)$
(3)$(x-2y)^2-8xy+4x^2$
(4)$(x^2-2x)^2-2(x^2-2x)-3$
(5)$3xy+x+3y+1$
(6)$x^2-2xy+y^2-2x+2y-3$
(7)$ab^2+b-b^3-a$
(8)$x^3-x^2-x+1$
(9)$x^2-xz+yz-y^2$

展開せよ
$(-xy^2)^3÷${$(-x^2y^3)^2÷(-\frac{2}{3}xy^2)$}÷$(-\frac{y^2}{x})^2$


展開・因数分解応用　問題

(1)$a$を正の整数とする。$m=\sqrt{270\times a}$が整数となるとき、最小　の整数となるとき、最小の$m$の値を求めよ。
(2)$(\frac{-1+\sqrt{5}}{5})^2+(\frac{-1-\sqrt{5}}{5})^2-\frac{-1+\sqrt{5}}{5}-\frac{-1-\sqrt{5}}{5}$を計算せよ。
(3)$\sqrt{5x}+\sqrt{2y}$を２乗すると自然数になるような、1けたの自然数$x,y$の組$(x,y)$は何組あるか。
(4)$x=3+\sqrt{5},y=3-\sqrt{5}$のとき、$x^2-2xy+y^2-5x+5y=\Box$である。
(5)$3\sqrt{6}$より大きく$5\sqrt{6}$より小さい自然数は全部で何個あるか？
(6)$\frac{(5\sqrt{2}+4\sqrt{3})^8}{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})^4}\times\frac{(5\sqrt{2}-4\sqrt{3})^8}{(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})^4}$を計算せよ。
(7)$x=\sqrt{7}+2,y=\sqrt{7}-2$のとき,$x^3y-xy^3=\Box$である。
(8)$\sqrt{108-9a}$が整数となるような自然数$a$の個数は何個あるか。
(9)$\frac{(2\sqrt{2}-3)^2}{\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}-12}{\sqrt{3}}+\frac{6-5\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$を計算せよ
(10)$(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}-\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)(-\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)$を計算せよ。
(11)$x=\sqrt{3}+1,y=\sqrt{3}-1$のとき、$x^2y-xy^2$の値を求めよ。
(12)$(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})^2-8(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})+16(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$を計算せよ。

平方根・ルート　問題

(1)$(x-1)(3x+8)=$$x^2+x-2$
(2)$(2x-3)^2-4(3x-2)-1=0$
(3)$\begin{numcases}{}2x+\frac{4y-5}{3}=\frac{19}{3}\\
\frac{2x-5}{2}-0.2y=-1.1
\end{numcases}$
(4)$\begin{numcases}{}3x-4y=18\\ax+5y=-7\end{numcases}$
$\begin{numcases}{}3ax-by=18\\2x-5y=19\end{numcases}$
(5)$x^2-ax-5a+1=0$の一つの解が$x=-3$のとき、$a=\Box$、他の解は$x=\Box$である。
(6)$\begin{numcases}{}\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=2\\\frac{x+y}{2}-\frac{x-3y}{5}=9
\end{numcases}$
(7)$2(x-1)^2=(x-3)^2-1$
(8)$(x-1)(2x+1)-2=0$
(9)$(\frac{1}{2}x-2)^2-13(\frac{1}{2}x-2)-30=0$
難関
(10)$\begin{numcases}{}0.1(0.4x-0.2y+8)=\frac{4}{5}\\
\frac{5x-3(y-1)}{2}=3
\end{numcases}$
(11)$x^2-10x+22=0$の2つの解を$a,b(a<b)$とする。このとき、$b^2-a^2$の値を求めよ。
(12)二次方程式$x^2-(2a-3)x+a^2-3a-10=10$が$x=-1$と3の倍数を解に持つとき、$a$の値を求めよ。
(13)$x^2-3x-2=0$の2つの解を$p,q$とするとき、$\frac{p^2+q^2-4}{pq}=$$\Box$である。




方程式　問題

大問1(正負の計算)
(1)  3÷$\frac{-3 ^{2} }{8}$+{3-7×$(-2)^{2}$}×$(-0.6)^{3}$
(2)  $(-3)^{2}$÷$\frac{3}{7}$+$(-1)^{3}$×22÷$(-5)^{2}$
(3) $-3^{2}$+4÷(-$\frac{2}{3}$)÷(-$\frac{1}{3}$)+$(-3)^{2}$
(4) {$(- \frac{3}{4} )^{2}$÷$(- \frac{1}{2}  )^{3}$}÷{$\frac{ (-3)^{2} }{4}$÷$( -\frac{1}{2} )^{2}$}
(5) ($3.5^{2}$-$1.5^{2}$)×0.5-(0.6-$\frac{6}{5}$)÷$\frac{3}{5}$


解説
大問1
(1)3×(-$\frac{8}{9}$)+(3-7×4)×$( \frac{3}{5} )^{3}$=-$\frac{8}{3}$+(-25)×(-$\frac{27}{125}$)=-$\frac{8}{3}$+$\frac{27}{5}$=-$\frac{40}{15}$+$\frac{81}{15}$=$\frac{41}{15}$
答え　　$\frac{41}{15}$
(2)$(-3)^{2}$×$\frac{7}{3}$+$(-1)^3$×22×$\frac{1}{25}$=9×$\frac{7}{3}$+(-1)×22×$\frac{1}{25}$=21-$\frac{22}{25}$=$\frac{25×21-22}{25}$=$\frac{503}{25}$
答え　$\frac{503}{25}$
(3)$-3^2$+4×(-$\frac{3}{2}$)×(-3)+$(-3)^2$=-9+(-6)×(-3)+9=18
答え　18
ポイント
・$(-a)^2$=$a^2$
・$-a^2$=$-a^2$
これは、−を()内に含んでいるか、含まないかが注目すべき点である。まず、$(-a)^2$の場合−が()の中にあるので、−ごと2乗される。つまり、
$(-a)^2$=(-a)×(-a)=$a^2$となる。
$-a^2$の場合2乗がかかるのがaだけなので、$-a^2$=$-a^2$である。
(4){$(- \frac{3}{4} )^{2}$÷$(- \frac{1}{2}  )^{3}$}÷{$\frac{ (-3)^{2} }{4}$÷$(- \frac{1}{2} )^{2}$}=($\frac{9}{16}$÷-$\frac{1}{8}$)÷($\frac{9}{4}$÷$\frac{1}{4}$)=$\frac{9}{2}$÷9=
-$\frac{1}{2}$
答え　-$\frac{1}{2}$
(5)個人的に少数より分数の方が楽である！！つまり、
($3.5^{2}$-$1.5^{2}$)×0.5-(0.6-$\frac{6}{5}$)÷$\frac{3}{5}$={($\frac{7}{2})^2$-($\frac{3}{2})^2$}×$\frac{1}{2}$-($\frac{3}{5}$-$\frac{6}{5}$)×$\frac{3}{5}$=($\frac{49}{4}$-$\frac{9}{4}$)×$\frac{1}{2}$-(-$\frac{3}{5}$)×$\frac{5}{3}$=10-(-1)=5+1=6
答え　6


正負の計算　問題・解説

(1)$\frac{a+12b}{5}$+a-2b
(2)$4(5a-8b)-7(2a-3b)$
(3)$\frac{7ax-2b}{5}$=9 (b=の形)
(4)6(-2x+y)=-5z+17(yの形)
(5)$\frac{4x-7}{3}$-3×$\frac{x-4y}{5}$-$\frac{2x-5y}{6}$
(6)7x+2y=-x-5yのとき、$\frac{5x-8y}{4x+9y}$の値を求めよ

解説
(1)$\frac{a+12b}{5}$+a-2b=$\frac{a+12b}{5}$+$\frac{5(a-2b)}{5}$=$\frac{a+12b+5a-10b}{5}$=$\frac{6a+2b}{5}$
答え　$\frac{6a+2b}{5}$($\frac{6}{5}a$+$\frac{2}{5}b$)
(2)4(5a-8b)-7(2a-3b)=(20a-32b)-(14a-21b)=20a-32b-14a+21b=6a-11b
答え　6a-11b
(3)$\frac{7ax-2b}{5}$=9 (b=の形)
両辺を×5すると、$7ax-2b$=45
$-2b$を右辺に、45を左辺に移動$7ax-45=2b$
よって、$b=\frac{7ax-45}{2}$
答え　$b=\frac{7ax-45}{2}$
(4)$6(-2x+y)=-5z+17$(yの形)
展開をして、$-12x+6y=-5z+17$
$-12x$を右辺に移動させて、$6y=12x-5z+17$
両辺を6で割ると、
$y=\frac{12x-5z+17}{6}$($y=2x-\frac{5z-17}{6}$)
(5)$\frac{4x-7}{3}$-3×$\frac{x-4y}{5}$-$\frac{2x-5y}{6}$$=\frac{4x-7y}{3}-\frac{3(x-4y)}{5}$$-\frac{2x-5y}{6}=$$\frac{10(4x-7y)-18(x-4y)-5(2x-5y)}{30}=$$\frac{40x-70y-18x+72y-10x+25y}{30}=$$\frac{12x+27y}{30}=$$\frac{4x+9y}{10}$
答え　$\frac{4x+9y}{10}$($\frac{2}{5}x$+$\frac{9}{10}y$)
(6)$7x+2y=-x-5y$のとき、$\frac{5x-8y}{4x+9y}$の値を求めよ
$x$を左辺へ移行し、$y$は右辺に移動することで$7x+x=-5y-2y$
つまり、$8x=-7y$
よって、$x=-\frac{7}{8}y$
これを$\frac{5x-8y}{4x+9y}$の$x$代入すると、
$\frac{5x-8y}{4x+9y}=$$\frac{5(-\frac{7}{8}y)-8y}{4(-\frac{7}{8}y)+9y}=$$\frac{-\frac{35}{8}y-8y}{-\frac{7}{2}y+9y}=$$\frac{-\frac{99}{8}y}{\frac{11}{2}y}=$$(-\frac{99}{8}y)×(\frac{2}{11}y)=$$-\frac{9}{4}$
答え　$-\frac{9}{4}$

文字式　問題・解答

タイムアタック　目標2分
展開せよ
(1)$(x+1)(x+3)$
(2)$(x-5)(x+3)$
(3)$(2x+3)(x-2)$
(4)$(x+2y-1)(x+2y+1)$
因数分解せよ
(1)$x^2-3x+2$
(2)$x^2-2xy-35y^2$
(3)$2x^2-3x-2$
(4)$x^2+9y^2-6xy-1$

解答
(1)$(x+1)(x+3)=$$x^2+x+3x+3=$$x^2+4x+3$
答え　$x^2+4x+3$
(2)$(x-5)(x+3)=$$x^2-5x+3x-15=$$x^2-2x-15$
答え　$x^2-2x-15$
(3)$(2x+3)(x-2)=$$2x^2+3x-4x-6=$$2x^2-x-6$
答え　$2x^2-x-6$
(4)$(x+2y-1)(x+2y+1)=${$(x+2y)-1$}{$(x+2y)+1$}$=$$(x+2y)^2-1^2=$$x^2+4xy+4y^2-1$($x^2+4y^2+4x-1$)
答え　$x^2+4xy+4y^2-1$($x^2+4y^2+4x-1$)
因数分解
(1)$x^2-3x+2=$$(x-1)(x-2)$
答え　$(x-1)(x-2)$
(2)$x^2-2xy-35y^2=$$(x-7y)(x+5y)$
答え　$(x-7y)(x+5y)$
(3)$2x^2-3x-2=$$(2x+1)(x-2)$
答え　$(2x+1)(x-2)$
(4)$x^2+9y^2-6xy-1=$$(x^2-6xy+9y^2)-1=$$(x-3y)^2-1=$$(x-3y+1)(x-3y-1)$
答え　$(x-3y+1)(x-3y-1)$

展開・因数分解基礎　問題・解説

因数分解せよ
(1)$x^2+2xy+y^2-5x-5y+6$
(2)$(x-3)(x+3)+x(x-7)+(3-x)(x+1)$
(3)$(x-2y)^2-8xy+4x^2$
(4)$(x^2-2x)^2-2(x^2-2x)-3$
(5)$3xy+x+3y+1$
(6)$x^2-2xy+y^2-2x+2y-3$
(7)$ab^2+b-b^3-a$
(8)$x^3-x^2-x+1$
(9)$x^2-xz+yz-y^2$

展開せよ
$(-xy^2)^3÷${$(-x^2y^3)^2÷(-\frac{2}{3}xy^2)$}÷$(-\frac{y^2}{x})^2$

解説
(1)$x^2+2xy+y^2-5x-5y+6=$$(x^2+2xy+y^2)-5x+5y+6=$$(x+y)^2-5x+5y+6=$$(x+y)^2-5(x+y)+6=$$(x+y-3)(x+y-2)$
答え　$(x+y-3)(x+y-2)$
(2)$(x-3)(x+3)+x(x-7)+(3-x)(x+1)=$$(x^2-9)+(x^2-7x)+(-x^2+2x+3)=$$x^2-5x-6=$$(x+1)(x-6)$
答え　$(x+1)(x-6)$
(3)$(x-2y)^2-8xy+4x^2=$$(x-2y)^2+4x(x-2y)=$$(x-2y)(x-2y+4x)=$$(x-2y)(5x-2y)$
答え　$(x-2y)(5x-2y)$
別解
$(x-2y)^2-8xy+4x^2=$$x^2-4xy+4y^2-8xy+4x^2=$$5x^2-12xy+4y^2=$$(5x-2y)(x-2y)$
(4)$(x^2-2x)^2-2(x^2-2x)-3=$$(x^2-2x-3)(x^2-2x+1)=$$(x-3)(x+1)(x-1)^2$
答え　$(x-3)(x+1)(x-1)^2$
(5)$3xy+x+3y+1=$$x(3y+1)+3y+1=$$(3y+1)(x+1)$
答え　$(3y+1)(x+1)$
(6)$x^2-2xy+y^2-2x+2y-3=$$(x^2-2xy+y^2)-2(x-y)=$$(x-y)^2-2(x-y)=$$(x-y)(x-y-2)$
(7)$ab^2+b-b^3-a=$$a(b^2-1)-b(b^2-1)=$$(a-b)(b^2-1)=$$(a-b)(b-1)(b+1)$
答え　$(a-b)(b-1)(b+1)$
(8)$x^3-x^2-x+1=$$x^2(x-1)-(x-1)=$$(x-1)(x^2-1)=$$(x-1)^2(x+1)$
答え　$(x-1)^2(x+1)$
(9)$x^2-xz+yz-y^2=$$(x^2-y^2)-z(x-y)=$$(x-y)(x+y)-z(x-y)=$$(x-y)(x+y-z)$
答え　$(x-y)(x+y-z)$

展開・因数分解応用　問題・解説

(1)$a$を正の整数とする。$m=\sqrt{270\times a}$が整数となるとき、最小　の整数となるとき、最小の$m$の値を求めよ。
(2)$(\frac{-1+\sqrt{5}}{5})^2+(\frac{-1-\sqrt{5}}{5})^2-\frac{-1+\sqrt{5}}{5}-\frac{-1-\sqrt{5}}{5}$を計算せよ。
(3)$\sqrt{5x}+\sqrt{2y}$を２乗すると自然数になるような、1けたの自然数$x,y$の組$(x,y)$は何組あるか。
(4)$x=3+\sqrt{5},y=3-\sqrt{5}$のとき、$x^2-2xy+y^2-5x+5y=\Box$である。
(5)$3\sqrt{6}$より大きく$5\sqrt{6}$より小さい自然数は全部で何個あるか？
(6)$\frac{(5\sqrt{2}+4\sqrt{3})^8}{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})^4}\times\frac{(5\sqrt{2}-4\sqrt{3})^8}{(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})^4}$を計算せよ。
(7)$x=\sqrt{7}+2,y=\sqrt{7}-2$のとき,$x^3y-xy^3=\Box$である。
(8)$\sqrt{108-9a}$が整数となるような自然数$a$の個数は何個あるか。
(9)$\frac{(2\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}{\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}-12}{\sqrt{3}}+\frac{6-5\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$を計算せよ
(10)$(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}-\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)(-\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)$を計算せよ。
(11)$x=\sqrt{3}+1,y=\sqrt{3}-1$のとき、$x^2y-xy^2$の値を求めよ。
(12)$(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})^2-8(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})+16(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$を計算せよ。

解答
(1)$a$を正の整数とする。$m=\sqrt{270\times a}$が整数となるとき、最小　の整数となるとき、最小の$m$の値を求めよ。
$m=\sqrt{270}\times\sqrt{a}=3\sqrt{30}\times\sqrt{a}$
よって、ルートを取るために、$\sqrt{30}\times\sqrt{a}=k$($k$を整数とする)
よって、$a=30$
答え　$a=30$
(2)$(\frac{-1+\sqrt{5}}{5})^2+(\frac{-1-\sqrt{5}}{5})^2-\frac{-1+\sqrt{5}}{5}-\frac{-1-\sqrt{5}}{5}=$$(\frac{6-2\sqrt{5}}{25})+(\frac{6+2\sqrt{5}}{25})-(\frac{-1+\sqrt{5}}{5}+\frac{-1-\sqrt{5}}{5})=$$\frac{12}{25}-(-\frac{2}{5})=$$\frac{22}{25}$
答え　$\frac{22}{25}$
(3)$\sqrt{5x}+\sqrt{2y}$を２乗すると自然数になるような、1けたの自然数$x,y$の組$(x,y)$は何組あるか。
$(\sqrt{5x}+\sqrt{2y})^2=$$5x+2y+2\sqrt{10xy}$
よって考えるのは、$\sqrt{10xy}$である。
よって$10xy=100,400,900・・・$
よって、$(x,y)=(2,5)(5,2)(8,5)(5,8)$
また、$10xy=900$は$5\times18$なので$900$以降は不適である。
答え　4組
(4)$x=3+\sqrt{5},y=3-\sqrt{5}$のとき、$x^2-2xy+y^2-5x+5y=\Box$
プランA{基本}
$x^2-2xy+y^2-5x+5y$に$x=3+\sqrt{5},y=3-\sqrt{5}$を代入すると、
$(3+\sqrt{5})^2+(3-\sqrt{5})^2-2(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})-5(3+\sqrt{5})+5(3-\sqrt{5})=$$(14+6\sqrt{5})+(14-6\sqrt{5})-2\times4-10\sqrt{5}=$$28-8-10\sqrt{5}=$$20-10\sqrt{5}$
答え　$20-10\sqrt{5}$
プランB{応用}
$x^2-2xy+y^2-5x+5y=$$(x-y)^2-5(x-y)=$$(x-y)(x-y-5)$
$x-y=$$(3+\sqrt{5})-(3-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$
$x-y-5=$$2\sqrt{5}-5$
よって、$(x-y)(x-y-5)=$$2\sqrt{5}\times(2\sqrt{5}-5)=$$20-10\sqrt{5}$
答え　$20-10\sqrt{5}$
$\Box$ポイント
文字式をみたときはじめに考えることは因数分解して、いくら簡単にすることである。
(5)$3\sqrt{6}$より大きく$5\sqrt{6}$より小さい自然数は全部で何個あるか？
求める自然数を$n$とする。
$(3\sqrt{6})^2=54$
$(5\sqrt{6})^2=150$
よって、$54\leqq n^2\leqq150$より,
$n=64,81,100,121,144$である
答え　5個
(6)$\frac{(5\sqrt{2}+4\sqrt{3})^8}{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})^4}\times\frac{(5\sqrt{2}-4\sqrt{3})^8}{(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})^4}=$$\frac{(5\sqrt{2}+4\sqrt{3})^8\times(5\sqrt{2}-4\sqrt{3})^8}{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})^4\times(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})^4}=$$\frac{[(5\sqrt{2}+4\sqrt{3})(5\sqrt{2}-4\sqrt{3})]^8}{[(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})]^4}=\frac{2^8}{6^4}=$$\frac{4^4}{6^4}=$$\frac{16}{81}$
(7)$x=\sqrt{7}+2,y=\sqrt{7}-2$のとき,$x^3y-xy^3=\Box$である。
$x^3y-xy^3=xy(x^2-y^2)=$$xy(x-y)(x+y)$とする。
$xy=(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)=3$
$x-y=(\sqrt{7}+2)-(\sqrt{7}-2)=4$
$x+y=(\sqrt{7}+2)+(\sqrt{7}-2)=2\sqrt{7}$
よって、$xy(x-y)(x+y)=3\times4\times2\sqrt{7}=24\sqrt{7}$
答え　$24\sqrt{7}$
(8)$\sqrt{108-9a}$が整数となるような自然数$a$の個数は何個あるか。
$\sqrt{108-9a}$が整数になるには、$108-9a$が自然数の２乗になればよい。
プランA{基本}
$10^2=100\Rightarrow✕$
$9^2=81\Rightarrow a=3$
$8^2=64 \Rightarrow✕$
$7^2=49\Rightarrow✕$
$6^2=36\Rightarrow a=8$
$5^2=25\Rightarrow✕$
$4^2=16\Rightarrow✕$
$3^2=9\Rightarrow a=11$
$2^2=4\Rightarrow✕$
$1^2=1\Rightarrow✕$
答え　3個
プランB{応用}
$108=9\times12$
$\sqrt{108-9a}=$$3\sqrt{12-a}$
$0〜12$の間の自然数の中に２乗の自然数は$1,4,9$の3つである。
答え　$3$個
(9)$\frac{(2\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}{\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}-12}{\sqrt{3}}+\frac{6-5\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=$$\frac{\sqrt{3}(2\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}(3\sqrt{2}-12)}{\sqrt{6}}+\frac{6-5\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=$$\frac{\sqrt{3}(11-4\sqrt{6})-\sqrt{2}(3\sqrt{2}-12)+(6-5\sqrt{3})}{\sqrt{6}}=$$\frac{11\sqrt{3}-12\sqrt{2}-6+12\sqrt{2}+6-5\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=$$\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=3\sqrt{2}$
(10)$(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}-\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)(-\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)=$$[((\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}-\sqrt{2}+1))][(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)(-\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)]=$$(4+2\sqrt{3}-2)(2-4+2\sqrt{3})=$$(2+2\sqrt{3})(-2+2\sqrt{3})=$$12-4=8$
答え　$8$
(11)$x=\sqrt{3}+1,y=\sqrt{3}-1$のとき、$x^2y-xy^2$の値を求めよ。
$x^2y-xy^2=xy(x-y)$
$xy=(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=2$
$x-y=(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)=2$
$xy(x-y)=2\times2=4$
答え　$4$
(12)プランA{基本}
$(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})^2-8(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})+16(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=$$(93+24\sqrt{15})-8(27+4\sqrt{15})+16(8+2\sqrt{15})=5$
答え　$5$　　　　めんどくさい！！
プランB{応用}
$(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})^2-8(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})+16(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$
$4\sqrt{3}+3\sqrt{5}=x$
$\sqrt{3}+\sqrt{5}=y$
$(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})^2-8(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})+16(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=$$x^2-8xy+16y^2=$$(x-4y)^2=$$[(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})-4(\sqrt{3}+\sqrt{5})]^2=$$(-\sqrt{5})^2=5$
答え　$5$


平方根・ルート　解答

(1)$(x-1)(3x+8)=$$x^2+x-2$
(2)$(2x-3)^2-4(3x-2)-1=0$
(3)$\begin{numcases}{}2x+\frac{4y-5}{3}=\frac{19}{3}\\
\frac{2x-5}{2}-0.2y=-1.1
\end{numcases}$
(4)$\begin{numcases}{}3x-4y=18\\ax+5y=-7\end{numcases}$
$\begin{numcases}{}3ax-by=18\\2x-5y=19\end{numcases}$
$x,y,a,,b$の値を求めよ。
(5)$x^2-ax-5a+1=0$の一つの解が$x=-3$のとき、$a=\Box$、他の解は$x=\Box$である。
(6)$\begin{numcases}{}\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=2\\\frac{x+y}{2}-\frac{x-3y}{5}=9
\end{numcases}$
(7)$2(x-1)^2=(x-3)^2-1$
(8)$(x-1)(2x+1)-2=0$
(9)$(\frac{1}{2}x-2)^2-13(\frac{1}{2}x-2)-30=0$
難関
(10)$\begin{numcases}{}0.1(0.4x-0.2y+8)=\frac{4}{5}\\
\frac{5x-3(y-1)}{2}=3
\end{numcases}$
(11)$x^2-10x+22=0$の2つの解を$a,b(a<b)$とする。このとき、$b^2-a^2$の値を求めよ。
(12)二次方程式$x^2-(2a-3)x+a^2-3a-10=0$が$x=-1$と3の倍数を解に持つとき、$a$の値を求めよ。
(13)$x^2-3x-2=0$の2つの解を$p,q$とするとき、$\frac{p^2+q^2-4}{pq}=$$\Box$である。

解説
(1)$(x-1)(3x+8)=$$x^2+x-2\Rightarrow$$3x^2+5x-8=x^2+x-2\Rightarrow$$2x^2+4x-6=0\Rightarrow$$2(x^2+2x-3)=0\Rightarrow2(x-1)(x+3)=0$
よって$x=1,-3$
(2)$(2x-3)^2-4(3x-2)-1=0\Rightarrow(4x^2-12x+9)-(12x-8)-1=0\Rightarrow4x^2-24x+17=0$
よって$x=3\pm\sqrt5$
(3)$\begin{numcases}{}2x+\frac{4y-5}{3}=\frac{19}{3}\\
\frac{2x-5}{2}-0.2y=-1.1
\end{numcases}\Rightarrow$$\begin{numcases}{}3\times(2x+\frac{4y-5}{3})=3\times\frac{19}{3}\\10\times(\frac{2x-5}{2}-0.2y)=10\times(-1.1)\end{numcases}\Rightarrow$
$\begin{numcases}{}6x+4y-5=19\\
10x-25-2y=-11
\end{numcases}$$\Rightarrow$$\begin{numcases}{}6x+4y=24\\
10x-2y=14
\end{numcases}$
下の式を$\times2$をする
+$\begin{numcases}{}6x+4y=24\\
20x-4y=28
\end{numcases}$
よって、$26x=52\Rightarrow x=2$
$6x+4y=24$に$x=2$を代入すると、$12+4y=24\Rightarrow 4y=12\Rightarrow y=3$
答え　$x=2,y=3$
(4)$\begin{numcases}{}3x-4y=18\\ax+5y=-7\end{numcases}$
$\begin{numcases}{}3ax-by=18\\2x-5y=19\end{numcases}$の式が並べられているときまずはじめに$x,y$だけが含まれる式を連立する。
$\begin{numcases}{}3x-4y=18\\2x-5y=19\end{numcases}\Rightarrow$$\begin{numcases}{}2\times(3x-4y)=18\times2\\3\times(2x-5y)=19\times3\end{numcases}\Rightarrow$$\begin{numcases}{}6x-8y=36\\6x-15y=57\end{numcases}$
上下で引くと、$7y=-21\Rightarrow y=-3$
$2x-5y=19$に$y=-3$を代入すると、$2x+15=19\Rightarrow x=2$
よって$x=2,y=-3$
ここから、$a,b$について考える.
$\begin{numcases}{}ax+5y=-7\\3ax-by=18\end{numcases}$
$x=2,y=-3$を代入すると、$\begin{numcases}{}2a-15=-7\\6a+3b=18\end{numcases}$
より、$2a-15=-7\Rightarrow 2a=8\Rightarrow a=4$
$a=4$を$6a+3b=18$に代入すると、$24+3b=18\Rightarrow 3b=-6\Rightarrow b=-2$
答え　$x=2,y=-3,a=4,b=-2$
(5)$x^2-ax-5a+1=0$の一つの解が$x=-3$のとき、$a=\Box$、他の解は$x=\Box$である。
$x=-3$を代入すると、$(-3)^2-(-3)a-5a+1=0\Rightarrow 9-2a+1=0\Rightarrow -2a=-10\Rightarrow a=5$
また、$x^2-ax-5a+1=0$に$a=5$を代入すると、$x^2-5x-24=0\Rightarrow(x-8)(x+3)=0$
よって、$x=8,-3$
答え　$a=5,x=8$
(6)$\begin{numcases}{}\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=2\\\frac{x+y}{2}-\frac{x-3y}{5}=9
\end{numcases}\Rightarrow$$\begin{numcases}{}6\times(\frac{x}{2}-\frac{y}{3})=2\times6\\10\times(\frac{x+y}{2}-\frac{x-3y}{5})=9\times10\end{numcases}\Rightarrow$$\begin{numcases}{}3x-2y=12\\5(x+y)-2(x-3y)=90\end{numcases}\Rightarrow$$\begin{numcases}{}3x-2y=12\\3x+11y=90\end{numcases}$
上下の式を引くと、$13y=78$
よって$y=6$
$3x-2y=12$に$y=6$を代入して、$3x-12=12\Rightarrow3x=24$
よって、$x=8$
答え　$x=8,y=6$
(7)$2(x-1)^2=(x-3)^2-1\Rightarrow2(x^2-2x+1)=(x^2-6x+9)-1\Rightarrow$$2x^2-4x+2=x^2-6x+8\Rightarrow$$x^2+2x-6=0$
解の公式より、$x=-1\pm\sqrt7$
答え　$x=-1\pm\sqrt7$
(8)$(x-1)(2x+1)-2=0\Rightarrow$$2x^2-x-1-2=0\Rightarrow$$2x^2-x-3=0\Rightarrow$$(2x-3)(x+1)=0$
よって、$x=-1,\frac{3}{2}$
答え　$x=-1,\frac{3}{2}$
(9)$(\frac{1}{2}x-2)^2-13(\frac{1}{2}x-2)-30=0\Rightarrow$$(\frac{1}{4}x^2-2x+4)-\frac{13}{2}x+26-30=0\Rightarrow$$\frac{1}{4}x^2-\frac{17}{2}x=0\Rightarrow$$\frac{1}{4}x(x-34)=0$
よって、$x=0,34$
(10)$\begin{numcases}{}0.1(0.4x-0.2y+8)=\frac{4}{5}\\
\frac{5x-3(y-1)}{2}=3
\end{numcases}\Rightarrow$$\begin{numcases}{}50\times0.1(0.4x-0.2y+8)=50\times\frac{4}{5}\\2\times\frac{5x-3(y-1)}{2}=2\times3\end{numcases}\Rightarrow$$\begin{numcases}{}2x-y+40=40\\5x-3(y-1)=6\end{numcases}\Rightarrow$$\begin{numcases}{}2x-y=0\\5x-3y=3\end{numcases}$
プランA{基本}
$2x-y=0$を$\times3$して、$6x-3y=0$にして連立
$\begin{numcases}{}6x-3y=0\\5x-3y=3\end{numcases}\Rightarrow$
上下の式をそれぞれ引いて$x=-3$
よって、$2x-y=0$に$x=-3$を代入すると、$-6-y=0\Rightarrow y=-6$
よって、答え　$x=-3,y=-6$
プランB{裏技}
$2x-y=0\Rightarrow y=2x$
よって、$y=2x$を$5x-3y=3$に代入すると、
$5x-6x=3\Rightarrow$$-x=3\Rightarrow x=-3$
$y=2x$に$x=-3$を代入すると、$y=-6$
答え　$x=-3,y=-6$
(11)$x^2-10x+22=0$の2つの解を$a,b(a<b)$とする。このとき、$b^2-a^2$の値を求めよ。
プランA{基本}
解の公式より、
$x=5\pm\sqrt3$
よって、$a=5-\sqrt3,b=5+\sqrt3$
$a,b$を$b^2-a^2$に代入すると、
$b^2-a^2=$$(5+\sqrt3)^2-(5-\sqrt3)^2=$$(28+10\sqrt3)-(28-10\sqrt3)=$
$20\sqrt3$
プランB{応用}
$b^2-a^2=$$(b-a)(b+a)$より、
$b-a=(5+\sqrt3)-(5-\sqrt3)=2\sqrt3$
$b+a=(5+\sqrt3)+(5-\sqrt3)=10$
よって、$b^2-a^2=$$(b-a)(b+a)=2\sqrt3\times10=20\sqrt3$
答え　$20\sqrt3$
(12)二次方程式$x^2-(2a-3)x+a^2-3a-10=0$が$x=-1$と3の倍数を解に持つとき、$a$の値を求めよ
プランA{基本}
$x=-1$を代入すると、$(-1)^2-(2a-3)(-1)+a^2-3a-10=0\Rightarrow$$1+2a-3+a^2-3a-10=0\Rightarrow$$a^2-a-12=0\Rightarrow$$(a-4)(a+3)=0$
よって、$a=4,-3$
ここで注意！！
「3の倍数を解に持つ」・・・＊
これを忘れてはいけない。
(I)$a=4$のとき・・・$x^2-5x-6=0\Rightarrow$$(x-6)(x+1)=0$
よって、$x=6,-1$
よって、これは＊を満たすので、$a=4$のとき$x=6,-1$は成り立つ
(II)$a=-3$のとき・・・$x^2+9x+8=0\Rightarrow$$(x+8)(x+1)=0$
よって、$x=-1,-8$
また、これは＊の条件を満たさないので不適である
(I),(II)より、＊を満たすのは$a=4$のときである.
答え　$a=4$
プランB{応用}
$x^2-(2a-3)x+a^2-3a-10=0\Rightarrow$$(x-a+5)(x-a-2)=0$
よって、$x=a-5,a+2$
(I)$a-5=-1\Rightarrow a=4$のとき、$a+2=4+2=6$
よって＊が成り立つ.
(II)$a+2=-1\Rightarrow$$a=-3$のとき、$a-5=-3-5=-8$
よって＊が成り立たない
(I),(II)より、＊を満たすのは$a=4$のときである.
答え　$a=4$
(13)$x^2-3x-2=0$の2つの解を$p,q$とするとき、$\frac{p^2+q^2-4}{pq}=$$\Box$である。
$x^2-3x-2=0$
よって、$x=\frac{3\pm\sqrt17}{2}$
よって、$p=\frac{3-\sqrt17}{2},q=\frac{3+\sqrt17}{2}$
$pq=\frac{3-\sqrt17}{2}\times\frac{3+\sqrt17}{2}=$$-\frac{8}{4}=$$-2$
$p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=$$(\frac{3-\sqrt17}{2}+\frac{3+\sqrt17}{2})^2-2(-2)=9+4=13$
よって、$\frac{p^2+q^2-4}{pq}=$$\frac{13-4}{(-2)}=$$-\frac{9}{2}$
プランC{高校数学(数II)}
プラスα
$ax^2+bx+c=0$のときの解を$p,q$とする.
$p+q=-\frac{b}{a}$,$pq=\frac{c}{a}$
よって
$p+q=3,pq=-2$
$p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=3^2-2(-2)=13$
よって、
$\frac{p^2+q^2-4}{pq}=\frac{13-4}{-2}=-\frac{9}{2}$
答え　$-\frac{9}{2}$

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