平方根・ルート　解答

(1)$a$を正の整数とする。$m=\sqrt{270\times a}$が整数となるとき、最小　の整数となるとき、最小の$m$の値を求めよ。
(2)$(\frac{-1+\sqrt{5}}{5})^2+(\frac{-1-\sqrt{5}}{5})^2-\frac{-1+\sqrt{5}}{5}-\frac{-1-\sqrt{5}}{5}$を計算せよ。
(3)$\sqrt{5x}+\sqrt{2y}$を２乗すると自然数になるような、1けたの自然数$x,y$の組$(x,y)$は何組あるか。
(4)$x=3+\sqrt{5},y=3-\sqrt{5}$のとき、$x^2-2xy+y^2-5x+5y=\Box$である。
(5)$3\sqrt{6}$より大きく$5\sqrt{6}$より小さい自然数は全部で何個あるか？
(6)$\frac{(5\sqrt{2}+4\sqrt{3})^8}{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})^4}\times\frac{(5\sqrt{2}-4\sqrt{3})^8}{(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})^4}$を計算せよ。
(7)$x=\sqrt{7}+2,y=\sqrt{7}-2$のとき,$x^3y-xy^3=\Box$である。
(8)$\sqrt{108-9a}$が整数となるような自然数$a$の個数は何個あるか。
(9)$\frac{(2\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}{\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}-12}{\sqrt{3}}+\frac{6-5\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$を計算せよ
(10)$(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}-\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)(-\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)$を計算せよ。
(11)$x=\sqrt{3}+1,y=\sqrt{3}-1$のとき、$x^2y-xy^2$の値を求めよ。
(12)$(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})^2-8(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})+16(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$を計算せよ。

解答
(1)$a$を正の整数とする。$m=\sqrt{270\times a}$が整数となるとき、最小　の整数となるとき、最小の$m$の値を求めよ。
$m=\sqrt{270}\times\sqrt{a}=3\sqrt{30}\times\sqrt{a}$
よって、ルートを取るために、$\sqrt{30}\times\sqrt{a}=k$($k$を整数とする)
よって、$a=30$
答え　$a=30$
(2)$(\frac{-1+\sqrt{5}}{5})^2+(\frac{-1-\sqrt{5}}{5})^2-\frac{-1+\sqrt{5}}{5}-\frac{-1-\sqrt{5}}{5}=$$(\frac{6-2\sqrt{5}}{25})+(\frac{6+2\sqrt{5}}{25})-(\frac{-1+\sqrt{5}}{5}+\frac{-1-\sqrt{5}}{5})=$$\frac{12}{25}-(-\frac{2}{5})=$$\frac{22}{25}$
答え　$\frac{22}{25}$
(3)$\sqrt{5x}+\sqrt{2y}$を２乗すると自然数になるような、1けたの自然数$x,y$の組$(x,y)$は何組あるか。
$(\sqrt{5x}+\sqrt{2y})^2=$$5x+2y+2\sqrt{10xy}$
よって考えるのは、$\sqrt{10xy}$である。
よって$10xy=100,400,900・・・$
よって、$(x,y)=(2,5)(5,2)(8,5)(5,8)$
また、$10xy=900$は$5\times18$なので$900$以降は不適である。
答え　4組
(4)$x=3+\sqrt{5},y=3-\sqrt{5}$のとき、$x^2-2xy+y^2-5x+5y=\Box$
プランA{基本}
$x^2-2xy+y^2-5x+5y$に$x=3+\sqrt{5},y=3-\sqrt{5}$を代入すると、
$(3+\sqrt{5})^2+(3-\sqrt{5})^2-2(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})-5(3+\sqrt{5})+5(3-\sqrt{5})=$$(14+6\sqrt{5})+(14-6\sqrt{5})-2\times4-10\sqrt{5}=$$28-8-10\sqrt{5}=$$20-10\sqrt{5}$
答え　$20-10\sqrt{5}$
プランB{応用}
$x^2-2xy+y^2-5x+5y=$$(x-y)^2-5(x-y)=$$(x-y)(x-y-5)$
$x-y=$$(3+\sqrt{5})-(3-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$
$x-y-5=$$2\sqrt{5}-5$
よって、$(x-y)(x-y-5)=$$2\sqrt{5}\times(2\sqrt{5}-5)=$$20-10\sqrt{5}$
答え　$20-10\sqrt{5}$
$\Box$ポイント
文字式をみたときはじめに考えることは因数分解して、いくら簡単にすることである。
(5)$3\sqrt{6}$より大きく$5\sqrt{6}$より小さい自然数は全部で何個あるか？
求める自然数を$n$とする。
$(3\sqrt{6})^2=54$
$(5\sqrt{6})^2=150$
よって、$54\leqq n^2\leqq150$より,
$n=64,81,100,121,144$である
答え　5個
(6)$\frac{(5\sqrt{2}+4\sqrt{3})^8}{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})^4}\times\frac{(5\sqrt{2}-4\sqrt{3})^8}{(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})^4}=$$\frac{(5\sqrt{2}+4\sqrt{3})^8\times(5\sqrt{2}-4\sqrt{3})^8}{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})^4\times(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})^4}=$$\frac{[(5\sqrt{2}+4\sqrt{3})(5\sqrt{2}-4\sqrt{3})]^8}{[(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})]^4}=\frac{2^8}{6^4}=$$\frac{4^4}{6^4}=$$\frac{16}{81}$
(7)$x=\sqrt{7}+2,y=\sqrt{7}-2$のとき,$x^3y-xy^3=\Box$である。
$x^3y-xy^3=xy(x^2-y^2)=$$xy(x-y)(x+y)$とする。
$xy=(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)=3$
$x-y=(\sqrt{7}+2)-(\sqrt{7}-2)=4$
$x+y=(\sqrt{7}+2)+(\sqrt{7}-2)=2\sqrt{7}$
よって、$xy(x-y)(x+y)=3\times4\times2\sqrt{7}=24\sqrt{7}$
答え　$24\sqrt{7}$
(8)$\sqrt{108-9a}$が整数となるような自然数$a$の個数は何個あるか。
$\sqrt{108-9a}$が整数になるには、$108-9a$が自然数の２乗になればよい。
プランA{基本}
$10^2=100\Rightarrow✕$
$9^2=81\Rightarrow a=3$
$8^2=64 \Rightarrow✕$
$7^2=49\Rightarrow✕$
$6^2=36\Rightarrow a=8$
$5^2=25\Rightarrow✕$
$4^2=16\Rightarrow✕$
$3^2=9\Rightarrow a=11$
$2^2=4\Rightarrow✕$
$1^2=1\Rightarrow✕$
答え　3個
プランB{応用}
$108=9\times12$
$\sqrt{108-9a}=$$3\sqrt{12-a}$
$0〜12$の間の自然数の中に２乗の自然数は$1,4,9$の3つである。
答え　$3$個
(9)$\frac{(2\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}{\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}-12}{\sqrt{3}}+\frac{6-5\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=$$\frac{\sqrt{3}(2\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}(3\sqrt{2}-12)}{\sqrt{6}}+\frac{6-5\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=$$\frac{\sqrt{3}(11-4\sqrt{6})-\sqrt{2}(3\sqrt{2}-12)+(6-5\sqrt{3})}{\sqrt{6}}=$$\frac{11\sqrt{3}-12\sqrt{2}-6+12\sqrt{2}+6-5\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=$$\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=3\sqrt{2}$
(10)$(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}-\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)(-\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)=$$[((\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}-\sqrt{2}+1))][(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)(-\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)]=$$(4+2\sqrt{3}-2)(2-4+2\sqrt{3})=$$(2+2\sqrt{3})(-2+2\sqrt{3})=$$12-4=8$
答え　$8$
(11)$x=\sqrt{3}+1,y=\sqrt{3}-1$のとき、$x^2y-xy^2$の値を求めよ。
$x^2y-xy^2=xy(x-y)$
$xy=(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=2$
$x-y=(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)=2$
$xy(x-y)=2\times2=4$
答え　$4$
(12)プランA{基本}
$(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})^2-8(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})+16(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=$$(93+24\sqrt{15})-8(27+4\sqrt{15})+16(8+2\sqrt{15})=5$
答え　$5$　　　　めんどくさい！！
プランB{応用}
$(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})^2-8(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})+16(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$
$4\sqrt{3}+3\sqrt{5}=x$
$\sqrt{3}+\sqrt{5}=y$
$(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})^2-8(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})+16(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=$$x^2-8xy+16y^2=$$(x-4y)^2=$$[(4\sqrt{3}+3\sqrt{5})-4(\sqrt{3}+\sqrt{5})]^2=$$(-\sqrt{5})^2=5$
答え　$5$