方程式　問題・答え

(1)$(x-1)(3x+8)=$$x^2+x-2$
(2)$(2x-3)^2-4(3x-2)-1=0$
(3)$\begin{numcases}{}2x+\frac{4y-5}{3}=\frac{19}{3}\\ \frac{2x-5}{2}-0.2y=-1.1 \end{numcases}$
(4)$\begin{numcases}{}3x-4y=18\\ax+5y=-7\end{numcases}$
$\begin{numcases}{}3ax-by=18\\2x-5y=19\end{numcases}$
$x,y,a,,b$の値を求めよ。
(5)$x^2-ax-5a+1=0$の一つの解が$x=-3$のとき、$a=\Box$、他の解は$x=\Box$である。
(6)$\begin{numcases}{}\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=2\\\frac{x+y}{2}-\frac{x-3y}{5}=9 \end{numcases}$
(7)$2(x-1)^2=(x-3)^2-1$
(8)$(x-1)(2x+1)-2=0$
(9)$(\frac{1}{2}x-2)^2-13(\frac{1}{2}x-2)-30=0$
難関
(10)$\begin{numcases}{}0.1(0.4x-0.2y+8)=\frac{4}{5}\\ \frac{5x-3(y-1)}{2}=3 \end{numcases}$
(11)$x^2-10x+22=0$の2つの解を$a,b(a< b)$とする。このとき、$b^2-a^2$の値を求めよ。
(12)二次方程式$x^2-(2a-3)x+a^2-3a-10=0$が$x=-1$と3の倍数を解に持つとき、$a$の値を求めよ。
(13)$x^2-3x-2=0$の2つの解を$p,q$とするとき、$\frac{p^2+q^2-4}{pq}=$$\Box$である。

解説
(1)$(x-1)(3x+8)=$$x^2+x-2\Rightarrow$$3x^2+5x-8=x^2+x-2\Rightarrow$$2x^2+4x-6=0\Rightarrow$$2(x^2+2x-3)=0\Rightarrow2(x-1)(x+3)=0$
よって$x=1,-3$
(2)$(2x-3)^2-4(3x-2)-1=0\Rightarrow(4x^2-12x+9)-(12x-8)-1=0\Rightarrow4x^2-24x+17=0$
よって$x=3\pm\sqrt5$
(3)$\begin{numcases}{}2x+\frac{4y-5}{3}=\frac{19}{3}\\ \frac{2x-5}{2}-0.2y=-1.1 \end{numcases}\Rightarrow$$\begin{numcases}{}3\times(2x+\frac{4y-5}{3})=3\times\frac{19}{3}\\10\times(\frac{2x-5}{2}-0.2y)=10\times(-1.1)\end{numcases}\Rightarrow$
$\begin{numcases}{}6x+4y-5=19\\ 10x-25-2y=-11 \end{numcases}$$\Rightarrow$$\begin{numcases}{}6x+4y=24\\ 10x-2y=14 \end{numcases}$
下の式を$\times2$をする
+$\begin{numcases}{}6x+4y=24\\ 20x-4y=28 \end{numcases}$
よって、$26x=52\Rightarrow x=2$
$6x+4y=24$に$x=2$を代入すると、$12+4y=24\Rightarrow 4y=12\Rightarrow y=3$
答え　$x=2,y=3$
(4)$\begin{numcases}{}3x-4y=18\\ax+5y=-7\end{numcases}$
$\begin{numcases}{}3ax-by=18\\2x-5y=19\end{numcases}$の式が並べられているときまずはじめに$x,y$だけが含まれる式を連立する。
$\begin{numcases}{}3x-4y=18\\2x-5y=19\end{numcases}\Rightarrow$$\begin{numcases}{}2\times(3x-4y)=18\times2\\3\times(2x-5y)=19\times3\end{numcases}\Rightarrow$$\begin{numcases}{}6x-8y=36\\6x-15y=57\end{numcases}$
上下で引くと、$7y=-21\Rightarrow y=-3$
$2x-5y=19$に$y=-3$を代入すると、$2x+15=19\Rightarrow x=2$
よって$x=2,y=-3$
ここから、$a,b$について考える.
$\begin{numcases}{}ax+5y=-7\\3ax-by=18\end{numcases}$
$x=2,y=-3$を代入すると、$\begin{numcases}{}2a-15=-7\\6a+3b=18\end{numcases}$
より、$2a-15=-7\Rightarrow 2a=8\Rightarrow a=4$
$a=4$を$6a+3b=18$に代入すると、$24+3b=18\Rightarrow 3b=-6\Rightarrow b=-2$
答え　$x=2,y=-3,a=4,b=-2$
(5)$x^2-ax-5a+1=0$の一つの解が$x=-3$のとき、$a=\Box$、他の解は$x=\Box$である。
$x=-3$を代入すると、$(-3)^2-(-3)a-5a+1=0\Rightarrow 9-2a+1=0\Rightarrow -2a=-10\Rightarrow a=5$
また、$x^2-ax-5a+1=0$に$a=5$を代入すると、$x^2-5x-24=0\Rightarrow(x-8)(x+3)=0$
よって、$x=8,-3$
答え　$a=5,x=8$
(6)$\begin{numcases}{}\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=2\\\frac{x+y}{2}-\frac{x-3y}{5}=9 \end{numcases}\Rightarrow$$\begin{numcases}{}6\times(\frac{x}{2}-\frac{y}{3})=2\times6\\10\times(\frac{x+y}{2}-\frac{x-3y}{5})=9\times10\end{numcases}\Rightarrow$$\begin{numcases}{}3x-2y=12\\5(x+y)-2(x-3y)=90\end{numcases}\Rightarrow$$\begin{numcases}{}3x-2y=12\\3x+11y=90\end{numcases}$
上下の式を引くと、$13y=78$
よって$y=6$
$3x-2y=12$に$y=6$を代入して、$3x-12=12\Rightarrow3x=24$
よって、$x=8$
答え　$x=8,y=6$
(7)$2(x-1)^2=(x-3)^2-1\Rightarrow2(x^2-2x+1)=(x^2-6x+9)-1\Rightarrow$$2x^2-4x+2=x^2-6x+8\Rightarrow$$x^2+2x-6=0$
解の公式より、$x=-1\pm\sqrt7$
答え　$x=-1\pm\sqrt7$
(8)$(x-1)(2x+1)-2=0\Rightarrow$$2x^2-x-1-2=0\Rightarrow$$2x^2-x-3=0\Rightarrow$$(2x-3)(x+1)=0$
よって、$x=-1,\frac{3}{2}$
答え　$x=-1,\frac{3}{2}$
(9)$(\frac{1}{2}x-2)^2-13(\frac{1}{2}x-2)-30=0\Rightarrow$$(\frac{1}{4}x^2-2x+4)-\frac{13}{2}x+26-30=0\Rightarrow$$\frac{1}{4}x^2-\frac{17}{2}x=0\Rightarrow$$\frac{1}{4}x(x-34)=0$
よって、$x=0,34$
(10)$\begin{numcases}{}0.1(0.4x-0.2y+8)=\frac{4}{5}\\ \frac{5x-3(y-1)}{2}=3 \end{numcases}\Rightarrow$$\begin{numcases}{}50\times0.1(0.4x-0.2y+8)=50\times\frac{4}{5}\\2\times\frac{5x-3(y-1)}{2}=2\times3\end{numcases}\Rightarrow$$\begin{numcases}{}2x-y+40=40\\5x-3(y-1)=6\end{numcases}\Rightarrow$$\begin{numcases}{}2x-y=0\\5x-3y=3\end{numcases}$
プランA{基本}
$2x-y=0$を$\times3$して、$6x-3y=0$にして連立
$\begin{numcases}{}6x-3y=0\\5x-3y=3\end{numcases}\Rightarrow$
上下の式をそれぞれ引いて$x=-3$
よって、$2x-y=0$に$x=-3$を代入すると、$-6-y=0\Rightarrow y=-6$
よって、答え　$x=-3,y=-6$
プランB{裏技}
$2x-y=0\Rightarrow y=2x$
よって、$y=2x$を$5x-3y=3$に代入すると、
$5x-6x=3\Rightarrow$$-x=3\Rightarrow x=-3$
$y=2x$に$x=-3$を代入すると、$y=-6$
答え　$x=-3,y=-6$
(11)$x^2-10x+22=0$の2つの解を$a,b(a< b)$とする。このとき、$b^2-a^2$の値を求めよ。
プランA{基本}
解の公式より、
$x=5\pm\sqrt3$
よって、$a=5-\sqrt3,b=5+\sqrt3$
$a,b$を$b^2-a^2$に代入すると、
$b^2-a^2=$$(5+\sqrt3)^2-(5-\sqrt3)^2=$$(28+10\sqrt3)-(28-10\sqrt3)=$
$20\sqrt3$
プランB{応用}
$b^2-a^2=$$(b-a)(b+a)$より、
$b-a=(5+\sqrt3)-(5-\sqrt3)=2\sqrt3$
$b+a=(5+\sqrt3)+(5-\sqrt3)=10$
よって、$b^2-a^2=$$(b-a)(b+a)=2\sqrt3\times10=20\sqrt3$
答え　$20\sqrt3$
(12)二次方程式$x^2-(2a-3)x+a^2-3a-10=0$が$x=-1$と3の倍数を解に持つとき、$a$の値を求めよ
プランA{基本}
$x=-1$を代入すると、$(-1)^2-(2a-3)(-1)+a^2-3a-10=0\Rightarrow$$1+2a-3+a^2-3a-10=0\Rightarrow$$a^2-a-12=0\Rightarrow$$(a-4)(a+3)=0$
よって、$a=4,-3$
ここで注意！！
「3の倍数を解に持つ」・・・＊
これを忘れてはいけない。
(I)$a=4$のとき・・・$x^2-5x-6=0\Rightarrow$$(x-6)(x+1)=0$
よって、$x=6,-1$
よって、これは＊を満たすので、$a=4$のとき$x=6,-1$は成り立つ
(II)$a=-3$のとき・・・$x^2+9x+8=0\Rightarrow$$(x+8)(x+1)=0$
よって、$x=-1,-8$
また、これは＊の条件を満たさないので不適である
(I),(II)より、＊を満たすのは$a=4$のときである.
答え　$a=4$
プランB{応用}
$x^2-(2a-3)x+a^2-3a-10=0\Rightarrow$$(x-a+5)(x-a-2)=0$
よって、$x=a-5,a+2$
(I)$a-5=-1\Rightarrow a=4$のとき、$a+2=4+2=6$
よって＊が成り立つ.
(II)$a+2=-1\Rightarrow$$a=-3$のとき、$a-5=-3-5=-8$
よって＊が成り立たない
(I),(II)より、＊を満たすのは$a=4$のときである.
答え　$a=4$
(13)$x^2-3x-2=0$の2つの解を$p,q$とするとき、$\frac{p^2+q^2-4}{pq}=$$\Box$である。
$x^2-3x-2=0$
よって、$x=\frac{3\pm\sqrt17}{2}$
よって、$p=\frac{3-\sqrt17}{2},q=\frac{3+\sqrt17}{2}$
$pq=\frac{3-\sqrt17}{2}\times\frac{3+\sqrt17}{2}=$$-\frac{8}{4}=$$-2$
$p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=$$(\frac{3-\sqrt17}{2}+\frac{3+\sqrt17}{2})^2-2(-2)=9+4=13$
よって、$\frac{p^2+q^2-4}{pq}=$$\frac{13-4}{(-2)}=$$-\frac{9}{2}$
プランC{高校数学(数II)}
プラスα
$ax^2+bx+c=0$のときの解を$p,q$とする.
$p+q=-\frac{b}{a}$,$pq=\frac{c}{a}$
よって
$p+q=3,pq=-2$
$p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=3^2-2(-2)=13$
よって、
$\frac{p^2+q^2-4}{pq}=\frac{13-4}{-2}=-\frac{9}{2}$
答え　$-\frac{9}{2}$