頻出積分

$a>0$に対して
$$ \int\frac{1}{a^2+x^2}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C \quad(C\in\R)$$
が成り立つ。
また、それを平行移動したものについて
$$ \int\frac{1}{x^2+px+q}\,dx=\frac{2}{\sqrt{4q-p^2}}\arctan\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C \quad(4q-p^2>0,\,C\in\R)$$
が成り立つ。

$a>0$に対して、$x=a\tan\theta$と置換すると、$dx=a(\tan^2\theta+1)\,d\theta,\,\tan^2 \theta+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$より
$$ I_n=\int\frac{1}{(x^2+a^2)^n}\,dx=\frac{1}{a^{2n-1}}\int (\cos\theta)^{2n-2}\,d\theta+C \quad(C\in\R)$$
が成り立つ。また部分積分により$\{I_n\}$について漸化式が得られて
$$ I_{n+1}=\frac{x}{2a^2n(x^2+a^2)^{n}}+\frac{2n-1}{2a^2n}I_n\,(n\geq 1) $$
となる。
特に$n=2$のとき
$$ \int \frac{1}{(x^2+a^2)^2}\,dx=\frac{x}{2a^2(x^2+a^2)}+\frac{1}{2a^3}\arctan\frac{x}{a}+C\,(C\in\R) $$

$a>0$として
$$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\,dx = \ln(x+\sqrt{x^2+a^2})\,(C\in\R) $$
$$ \int \sqrt{x^2+a^2}\,dx = \frac{1}{2}\,\pr{x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})}\,(C\in\R) $$
$$ \int \frac{1}{\pr{x^2+a^2}^{\frac{3}{2}}}\,dx = \frac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}}\,(C\in\R) $$

関数が$\sin^2 x,\,\cos^2 x,\,\tan x$で構成されるとき、$t=\tan x$と置換する。
このとき
$$ dt=\frac{1}{\cos^2 x}\,dx=(\tan^2 x+1)\,dx=(t^2+1)\,dx $$
$$ \cos^2 x=\frac{1}{t^2+1},\,\sin^2 x=\frac{t^2}{t^2+1} $$
と表せるので
$$ \int f\pr{\sin^2 x,\,\cos^2 x,\,\tan x}\,dx=\int \frac{1}{t^2+1}f\pr{\frac{t^2}{t^2+1},\,\frac{1}{t^2+1},\,t}\,dt $$
となる。

関数が$\sin x,\,\cos x,\,\tan x$で構成されるとき、$t=\tan\dfrac{x}{2}$と置換する。
このとき
$$ dt=\frac{t^2+1}{2}\,dx $$
$$ \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\,\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\,\tan x=\frac{2t}{1-t^2} $$
となり
$$ \int f(\sin x,\,\cos x,\,\tan x)\,dx=\int \frac{2}{1+t^2}f\pr{\frac{2t}{1+t^2},\,\frac{1-t^2}{1+t^2},\,\frac{2t}{1-t^2}}\,dt $$

以下の関係式が成り立つ。
$$ \sinh^2 x-\cosh^2 x=-1,\,1-\tanh^2 x=\frac{1}{\cosh^2 x} $$
また
$$ \frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x,\,\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x $$
$$ \frac{d}{dx}\tanh x=\frac{1}{\cosh^2 x}=1-\tanh^2 x,\,\frac{d}{dx}\frac{1}{\tanh x}=-\frac{1}{\sinh^2 x} $$
が成り立つ。

・置換$t=\sqrt{x^2+1},\,x\geq 0$
$$ \int x f\pr{x,\,\sqrt{x^2+1}}\,dx=\int tf\pr{\sqrt{t^2-1},\,t}\,dt $$
・置換$x=\tan\theta\,\pr{-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}}$
$$ \int f\pr{x,\,\sqrt{x^2+1}}\,dx = \int \frac{1}{\cos^2\theta}f\pr{\tan\theta,\,\frac{1}{\cos\theta}}\,d\theta = \int (1+\tan^2\theta)f\pr{\tan\theta,\,\frac{1}{\cos\theta}}\,d\theta $$
・置換$x=\dfrac{1}{\tan\theta}\,\pr{-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}}$
$$ \int f\pr{x,\,\sqrt{x^2+1}}\,dx = \int -\frac{1}{\sin^2\theta}f\pr{\frac{1}{\tan\theta},\,\frac{1}{|\,\sin\theta\,|}}\,d\theta $$
・置換$x=\sinh t\,(t\in\R)$
$$ \int f\pr{x,\,\sqrt{x^2+1}}\,dx = \int (\cosh t)f(\sinh t,\,\cosh t)\,dt $$
・置換$x=\dfrac{1}{\sinh t}\,(t\in\R)$
$$ \int f\pr{x,\,\sqrt{x^2+1}}\,dx = \int -\dfrac{\cosh t}{\sinh^2 t}f\pr{\frac{1}{\sinh t},\,\dfrac{\cosh t}{|\,\sinh t\,|}}\,dt $$