令和6年度神戸大理学部数学科3年次編入第3問

問題は, 神戸大数学科のウェブサイト の 令和 6 年度編入試（PDF-file） を参照してください。

令和6年度神戸大理学部数学科3年次編入第3問の解答

$(1)$ （$x=e^t$と合成関数の微分を用いると）
$$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{dv}{dt}}={\displaystyle \frac{du}{dx}}\cdot {\displaystyle \frac{dx}{dt}}=e^t{\displaystyle \frac{du}{dx}},\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{d^{2}v}{d{t}^2}}& ={\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\displaystyle \frac{dv}{dt}}\right)={\displaystyle \frac{d}{dt}}\left(e^t{\displaystyle \frac{du}{dx}}\right)=e^t{\displaystyle \frac{du}{dx}}+e^t{\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\displaystyle \frac{du}{dx}}\right)\\ & =e^t{\displaystyle \frac{du}{dx}}+e^t{\displaystyle \frac{d}{dx}}\left({\displaystyle \frac{du}{dx}}\right){\displaystyle \frac{dx}{dt}}=e^t{\displaystyle \frac{du}{dx}}+e^t\cdot {\displaystyle \frac{d^{2}u}{d{x}^2}}\cdot e^t=e^t{\displaystyle \frac{du}{dx}}+e^{2t}{\displaystyle \frac{d^{2}u}{d{x}^2}}.\end{array}$$
この2式と$x=e^t(t>0)$を与えられた$u$が満たす微分方程式に代入すると
$$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{d^{2}v}{d{t}^2}}+(a-1){\displaystyle \frac{dv}{dt}}+bv=0,t>0\end{array}$$
を得る。
$(2)$ (1)より

1. ${\displaystyle \frac{d^{2}u}{d{x}^2}}+{\displaystyle \frac{\rho +1}{x}}{\displaystyle \frac{du}{dx}}+{\displaystyle \frac{\rho -1}{x^2}}u=0,x>1$
   は, $v(t)=u(e^t)(t>1)$と置き換えることにより
2. ${\displaystyle \frac{d^{2}v}{d{t}^2}}+\rho {\displaystyle \frac{dv}{dt}}+(\rho -1)v=0,t>0$

と書き換えられる。(ⅰ)の固有方程式$X^2+\rho x+\rho -1=0$を解くと$x=-\rho +1,-1$である。$\rho >2$から, $-\rho +1\ne -1$なので, (ⅱ)の解$v$は, ある実数$A_0,A_1$を用いて
$$\begin{array}{r}v(t)=A_0{e}^{(-\rho +1)t}+A_1{e}^{-t}(t>1)\end{array}$$
と表される。よって, (ⅰ)を満たす$u$は, ある実数$A_0,A_1$を用いて
$$\begin{array}{r}u(x)=A_0{x}^{-(\rho -1)}+A_1{x}^{-1}(x>0)\end{array}$$
と表される。
$(3)$ $v(1)=c$から
$$\begin{array}{r}{A}_1+A_2=c\end{array}$$
が得られる。また
$$\begin{array}{r}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}|u(x){|}^{2}xdx={\int }_1^{\mathrm{\infty }}(A_0^2{x}^{-2\rho +3}+2|A_0{A}_1|x^{-2\rho +1}+A_1^2{x}^{-1})dx\mathrm{\infty }\end{array}$$
を満たすには, $-2\rho +3<-1,-2\rho +1<-1$であるから
$$\begin{array}{r}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}{A}_1^2{x}^{-1}dx<\mathrm{\infty },\end{array}$$
つまり
$$\begin{array}{r}{A}_1=0\end{array}$$
が必要十分である。
以上の議論から, $A_1=0,A_2=c$で求める解は
$$\begin{array}{r}u(x)=c{x}^{-(\rho -1)}(x>1).\end{array}$$