令和6年度神戸大理学部数学科3年次編入第3問

問題は, 神戸大数学科のウェブサイト の 令和 6 年度編入試（PDF-file） を参照してください。

令和6年度神戸大理学部数学科3年次編入第3問の解答

$(1)\quad$ （$x=e^{t}$と合成関数の微分を用いると）
\begin{align*} \dfrac{dv}{dt}=\dfrac{du}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}=e^{t}\dfrac{du}{dx}, \end{align*}
\begin{align*} \dfrac{d^{2}v}{dt^{2}}&=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dv}{dt}\right)=\dfrac{d}{dt}\left(e^{t}\dfrac{du}{dx}\right)=e^{t}\dfrac{du}{dx}+e^{t}\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{du}{dx}\right)\\ &=e^{t}\dfrac{du}{dx}+e^{t}\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{du}{dx}\right)\dfrac{dx}{dt} =e^{t}\dfrac{du}{dx}+e^{t}\cdot\dfrac{d^{2}u}{dx^{2}}\cdot e^{t} =e^{t}\dfrac{du}{dx}+e^{2t}\dfrac{d^{2}u}{dx^{2}}. \end{align*}
この2式と$x=e^{t}\quad (t>0)$を与えられた$u$が満たす微分方程式に代入すると
\begin{align*} \dfrac{d^{2}v}{dt^{2}}+(a-1)\dfrac{dv}{dt}+bv=0, t>0 \end{align*}
を得る。
$(2)\quad$ (1)より

1. $\dfrac{d^{2}u}{dx^{2}}+\dfrac{\rho+1}{x}\dfrac{du}{dx}+\dfrac{\rho-1}{x^{2}}u=0, x>1$
   は, $v(t)=u(e^{t})\quad (t>1)$と置き換えることにより
2. $\dfrac{d^{2}v}{dt^{2}}+\rho\dfrac{dv}{dt}+(\rho-1)v=0, t>0 $

と書き換えられる。(ⅰ)の固有方程式$X^{2}+\rho{x}+\rho-1=0$を解くと$x=-\rho+1, -1$である。$\rho>2$から, $-\rho+1\neq{-1}$なので, (ⅱ)の解$v$は, ある実数$A_{0}, A_{1}$を用いて
\begin{align*} v(t)=A_{0}e^{(-\rho+1)t}+A_{1}e^{-t}\quad (t>1) \end{align*}
と表される。よって, (ⅰ)を満たす$u$は, ある実数$A_{0}, A_{1}$を用いて
\begin{align*} u(x)=A_{0}x^{-(\rho-1)}+A_{1}x^{-1}\quad (x>0) \end{align*}
と表される。
$(3)\quad$ $v(1)=c$から
\begin{align*} A_{1}+A_{2}=c \end{align*}
が得られる。また
\begin{align*} \int_{1}^{\infty}|u(x)|^{2}xdx=\int_{1}^{\infty}(A_{0}^{2}x^{-2\rho+3}+2|A_{0}A_{1}|x^{-2\rho+1}+A_{1}^{2}x^{-1})dx\infty \end{align*}
を満たすには, $-2\rho+3<-1, -2\rho+1<-1$であるから
\begin{align*} \int_{1}^{\infty}A_{1}^{2}x^{-1}dx<\infty, \end{align*}
つまり
\begin{align*} A_{1}=0 \end{align*}
が必要十分である。
以上の議論から, $A_{1}=0, A_{2}=c$で求める解は
\begin{align*} u(x)=cx^{-(\rho-1)}\quad (x>1). \end{align*}