一般相対性理論に必要なテンソルを大学1年生でもわかるように書いてみた[リーマン曲率テンソル編]

点$\text{A}$の十分近くに点$\text{B}$をとる。

$l_{\text{AB}}=\theta_{\text{AB}} \, r$より$\chi=\frac{1}{r}$を得る。

$a$に十分近い実数$b \, (a \ne b)$を取り、$(f(a),g(a))$を点$\text{A},(f(b),g(b))$を点$\text{B}$とする。

$f$の$t$による$1$階微分を$\dot{f},2$階微分を$\ddot{f}$で表す。

また、$\boldsymbol{x}(t)=(f(t),g(t)), \, \boldsymbol{v}(t)=(\dot{f}(t),\dot{g}(t)), \, \boldsymbol{a}(t)=(\ddot{f}(t),\ddot{g}(t))$

とおく。

一次近似により$\boldsymbol{v}(b) \sim \boldsymbol{v}(a)+(b-a)\boldsymbol{a}(a)$が得られる。

$\boldsymbol{v}(a)$と$\boldsymbol{v}(b)$がなす三角形の面積$S$は

\begin{eqnarray} S&=&\frac{1}{2}|\boldsymbol{v}(a)||\boldsymbol{v}(b)|\sin \theta_{\text{AB}} \\ &=&\frac{1}{2}\text{det}(\boldsymbol{v}(a),\boldsymbol{v}(b)-\boldsymbol{v}(a)) \\ &\sim& \frac{1}{2}\text{det}(\boldsymbol{v}(a),(b-a)\boldsymbol{a}(a)) \\ &=& \frac{1}{2}(b-a)\text{det}(\boldsymbol{v}(a),\boldsymbol{a}(a)). \end{eqnarray}

よって

\begin{eqnarray} \sin \theta_{\text{AB}} \sim \frac{(b-a)\text{det}(\boldsymbol{v}(a),\boldsymbol{a}(a))}{|\boldsymbol{v}(a)||\boldsymbol{v}(b)|}. \end{eqnarray}

一方、

\begin{eqnarray} l_{\text{AB}}=\int^b_a |\boldsymbol{v}(t)| \mathrm{d}t \end{eqnarray}

より一次近似から

\begin{eqnarray} l_{\text{AB}} \sim (b-a)|\boldsymbol{v}(a)| \end{eqnarray}

を得る。$\sin \theta \sim \theta$より

\begin{eqnarray} \chi&=&\lim_{b \rightarrow a}\frac{\theta_{\mathrm{AB}}}{l_{\mathrm{AB}}} \\ &=& \lim_{b \rightarrow a}\frac{\sin \theta_{\mathrm{AB}}}{l_{\mathrm{AB}}} \\ &=& \lim_{b \rightarrow a} \frac{(b-a)\text{det}(\boldsymbol{v}(a),\boldsymbol{a}(a))}{|\boldsymbol{v}(a)||\boldsymbol{v}(b)|(b-a)|\boldsymbol{v}(a)|} \\ &=& \frac{\text{det}(\boldsymbol{v}(a),\boldsymbol{a}(a))}{|\boldsymbol{v}(a)|^3}. \end{eqnarray}

1. $t$で微分して、$\boldsymbol{v}(t)=(-R \sin t, R \cos t).$
2. $\boldsymbol{v}(t)$をさらに$t$で微分して、$\boldsymbol{a}(t)=(-R \cos t, -R \sin t).$
3. 曲率の式より
   \begin{eqnarray} \chi(t)&=&\frac{\text{det}(\boldsymbol{v}(t),\boldsymbol{a}(t))}{|\boldsymbol{v}(t)|^3} \\ &=& \frac{1}{R}. \end{eqnarray}
4. $\boldsymbol{v}(t)$と直交する単位ベクトルを1つ選べば
   \begin{eqnarray} \boldsymbol{n}(t)&=& ( \cos t, \sin t). \end{eqnarray}
5. $\boldsymbol{n}(t)$をさらに$t$で微分し
   \begin{eqnarray} \dot{\boldsymbol{n}}(t)&=& ( -\sin t, \cos t). \end{eqnarray}
6. $\frac{1}{R}$となり曲率$\chi(t)$と一致する。

$C$の$t$での外向きの単位法線ベクトルを$\boldsymbol{n}(t),$接線ベクトルを$\boldsymbol{v}(t)$とする。

このとき、曲率$\chi(t)$を

\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{n}(t)}{\mathrm{d}t}=\chi(t)\boldsymbol{v}(t) \end{eqnarray}

で定義する。

1. 外向きの単位法線ベクトルは$\boldsymbol{n}(\theta,\varphi)=( \sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta)$で与えられる。
   これを$\theta$で偏微分して$\partial_\theta \boldsymbol{n}(\theta,\varphi)=(\cos \theta \cos \varphi, \cos \theta \sin \varphi,-\sin \theta)$を得る。
   一方、$\boldsymbol{v}(\theta)=(R\cos \theta \cos \varphi, R\cos \theta \sin \varphi,-R\sin \theta)$であるから$\chi(\theta)=\frac{1}{R}$を得る。
2. (1)と同様に、$\chi(\varphi)=\frac{1}{R}$を得る。

外向きの単位法線ベクトルは$\boldsymbol{n}(\theta,\varphi)=( \sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta)$で与えられる。

\begin{eqnarray} \frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial \theta}×\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial \varphi}&=&\begin{pmatrix} \cos \theta \cos \varphi \\ \cos \theta \sin \varphi \\ -\sin \theta \end{pmatrix}×\begin{pmatrix} -\sin \theta \sin \varphi \\ \sin \theta \cos \varphi \\ 0 \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} \sin^2 \theta \cos \varphi \\ \sin^2 \theta \sin \varphi \\ \sin \theta \cos \theta \end{pmatrix}, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial \theta}×\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial \varphi}&=&\begin{pmatrix} R\cos \theta \cos \varphi \\ R\cos \theta \sin \varphi \\ -R\sin \theta \end{pmatrix}×\begin{pmatrix} -R\sin \theta \sin \varphi \\ R\sin \theta \cos \varphi \\ 0 \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} R^2 \sin^2 \theta \cos \varphi \\ R^2 \sin^2 \theta \sin \varphi \\ R^2 \sin \theta \cos \theta \end{pmatrix} \end{eqnarray}

より$\chi(\theta, \varphi)=\frac{1}{R^2}$を得る。

$\mathbb{R}^3$上の曲面$\boldsymbol{S}(u^1,u^2)$のガウス曲率$\chi(u^1,u^2)$を

\begin{eqnarray} \det \left(\boldsymbol{n} \cdot \frac{\partial^2 \boldsymbol{S}}{\partial u^i \partial u^j} \right)=\chi(u^1,u^2) \det \left(\frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^i} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^j} \right) \end{eqnarray}

で定義してもよい。ここに、$(i,j)=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$であり$\det$でその$2×2$行列の行列式を表す。

接続係数は計量によって表されるから、偏微分してガウス曲率を接続係数と計量に結びつける式を導出することが目標である。

$\mathbb{R}^3$上で考えると、法線ベクトルと接ベクトルが直交していることから内積の偏微分より

\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial u^j}\left( \boldsymbol{n} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^i} \right) &=& 0 \\ &=& \frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^j} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^i}+\boldsymbol{n}\cdot \frac{\partial^2 \boldsymbol{S}}{\partial u^i \partial u^j}. \end{eqnarray}

よって

\begin{eqnarray} \boldsymbol{n}\cdot \frac{\partial^2 \boldsymbol{S}}{\partial u^i \partial u^j}=-\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^j} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^i}=h_{ij} \end{eqnarray}

を得る。(新しく$h_{ij}$とおいた。)

ここで、$\boldsymbol{n}$の微分は接平面に含まれるから2つの接ベクトルの線形結合で表せるはずである。新しく係数$A^j_i$を用意して

\begin{eqnarray} \frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^i}=A^j_i\frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^j} \end{eqnarray}

とおく。両辺$\boldsymbol{S}$の微分で内積をとると

\begin{eqnarray} \frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^i}\cdot \frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^j}=A^k_i\frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^k}\cdot \frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^j} &\iff& -h_{ji}=A^k_ig_{kj} \\ &\iff& -h_{ji}g^{jl}=A^k_ig_{kj}g^{jl}=A^k_i\delta^l_k=A^l_i \\ \end{eqnarray}

を得る。ゆえに$A^j_i=-h_{ki}g^{kj}$で

\begin{eqnarray} \frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^i}=-h_{ki}g^{kj}\frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^j} \end{eqnarray}

が得られる。

一方で、ベクトル$\boldsymbol{a}$の$\boldsymbol{n}$方向の成分は$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n}$であるから$\mathbb{R}^3$上では

\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 \boldsymbol{S}}{\partial u^i \partial u^j}&=&\Gamma^k_{ij}\frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^k}+\left( \boldsymbol{n}\cdot \frac{\partial^2 \boldsymbol{S}}{\partial u^i \partial u^j} \right)\boldsymbol{n} \\ &=& \Gamma^k_{ij}\frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^k}+h_{ij}\boldsymbol{n} \end{eqnarray}

を得る。これをまた偏微分すれば、積の偏微分より

\begin{eqnarray} \frac{\partial^3 \boldsymbol{S}}{\partial u^i \partial u^j \partial u^k}&=&\frac{\partial \Gamma^l_{ij}}{\partial u^k}\frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^l}+\Gamma^l_{ij}\frac{\partial^2 \boldsymbol{S}}{\partial u^k \partial u^l}+\frac{\partial h_{ij}}{\partial u^k}\boldsymbol{n}+h_{ij}\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^k} \\ &=& \frac{\partial \Gamma^l_{ij}}{\partial u^k}\frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^l}+\Gamma^l_{ij}\left( \Gamma^m_{kl}\frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^m}+h_{ij}\boldsymbol{n} \right)+\frac{\partial h_{ij}}{\partial u^k}\boldsymbol{n}+h_{ij}\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^k} \\ &=& \frac{\partial \Gamma^l_{ij}}{\partial u^k}\frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^l}+\Gamma^l_{ij}\left( \Gamma^m_{kl}\frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^m}+h_{ij}\boldsymbol{n} \right)+\frac{\partial h_{ij}}{\partial u^k}\boldsymbol{n}-h_{ij}h_{lk}g^{lm}\frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^m} \\ &=& \frac{\partial \Gamma^m_{ij}}{\partial u^k}\frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^m}+\Gamma^l_{ij}\left( \Gamma^m_{kl}\frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^m}+h_{ij}\boldsymbol{n} \right)+\frac{\partial h_{ij}}{\partial u^k}\boldsymbol{n}-h_{ij}h_{lk}g^{lm}\frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^m} \\ &=& \left( \frac{\partial \Gamma^m_{ij}}{\partial u^k}+\Gamma^l_{ij}\Gamma^m_{kl}-h_{ij}h_{lk}g^{lm} \right)\frac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^m}+\left( \Gamma^l_{ij}h_{ij}+\frac{\partial h_{ij}}{\partial u^k} \right)\boldsymbol{n}. \end{eqnarray}

ここで$i,j,k$は交換可能であるから、$\dfrac{\partial \boldsymbol{S}}{\partial u^m}$の係数を比較して等式を得ることができる。

$j,k$を入れ替えると、

\begin{eqnarray} &&\frac{\partial \Gamma^m_{ij}}{\partial u^k}+\Gamma^l_{ij}\Gamma^m_{kl}-h_{ij}h_{lk}g^{lm}=\frac{\partial \Gamma^m_{ik}}{\partial u^j}+\Gamma^l_{ik}\Gamma^m_{jl}-h_{ik}h_{lj}g^{lm} \\ &&\iff (h_{ij}h_{lk}-h_{ik}h_{lj})g^{lm}= \frac{\partial \Gamma^m_{ij}}{\partial u^k}-\frac{\partial \Gamma^m_{ik}}{\partial u^j}+\Gamma^l_{ij}\Gamma^m_{kl}-\Gamma^l_{ik}\Gamma^m_{jl} =R^m_{ikj}. \end{eqnarray}

新しく$R^m_{ikj}$とおいた。

$l=1,2$は媒介変数で消えることに注意して、

\begin{eqnarray} (h_{ij}h_{lk}-h_{ik}h_{lj})g^{lm}g_{mn}&=&(h_{ij}h_{lk}-h_{ik}h_{lj})\delta^l_n \\ &=&h_{ij}h_{nk}-h_{ik}h_{nj} \\ &=&R^m_{ikj}g_{mn}. \end{eqnarray}

$i,j,n,k$は自由変数であり$(i,j,n,k)=(1,1,2,2)$とすれば

\begin{eqnarray} h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}=R^m_{121}g_{m2} \end{eqnarray}

を得る。式の意味を思い出せば、

\begin{eqnarray} h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}=\det \left(\boldsymbol{n} \cdot \frac{\partial^2 \boldsymbol{S}}{\partial u^i \partial u^j} \right) \end{eqnarray}

に他ならない。

ゆえにガウス曲率は計量だけで表すことができる。

$\nabla_l A^i$が$1$階反変$1$階共変テンソル場であることに注意する。

\begin{eqnarray} \nabla_kT^i_j=\frac{\partial T^i_j}{\partial u^k}+\Gamma^i_{kl}T^l_j-\Gamma^l_{kj}T^i_l \end{eqnarray}

より、

\begin{eqnarray} \nabla_k \nabla_l A^i&=&\nabla_k (\nabla_l A^i) \\ &=& \nabla_k \left( \frac{\partial A^i}{\partial u^l}+\Gamma^i_{lj}A^j \right) \\ &=& \frac{\partial}{\partial u^k} \left( \frac{\partial A^i}{\partial u^l}+\Gamma^i_{lj}A^j \right)+\Gamma^i_{km}\left( \frac{\partial A^m}{\partial u^l}+\Gamma^m_{lj}A^j \right)-\Gamma^m_{kl}\left( \frac{\partial A^i}{\partial u^m}+\Gamma^i_{mj}A^j \right) \\ &=& \frac{\partial^2 A^i}{\partial u^k \partial u^l}+\frac{\partial \Gamma^i_{lj}}{\partial u^k}A^j+\Gamma^i_{lj}\frac{\partial A^j}{\partial u^k}+\Gamma^i_{km}\frac{\partial A^m}{\partial u^l}+\Gamma^i_{km}\Gamma^m_{lj}A^j-\Gamma^m_{kl}\frac{\partial A^i}{\partial u^m}-\Gamma^m_{kl}\Gamma^i_{mj}A^j \end{eqnarray}

$k,l$を入れ替えて引けば、

\begin{eqnarray} \nabla_k \nabla_l A^i-\nabla_l \nabla_k A^i&=&\left(\frac{\partial^2 A^i}{\partial u^k \partial u^l}+\frac{\partial \Gamma^i_{lj}}{\partial u^k}A^j+\Gamma^i_{lj}\frac{\partial A^j}{\partial u^k}+\Gamma^i_{km}\frac{\partial A^m}{\partial u^l}+\Gamma^i_{km}\Gamma^m_{lj}A^j-\Gamma^m_{kl}\frac{\partial A^i}{\partial u^m}-\Gamma^m_{kl}\Gamma^i_{mj}A^j\right) \\ &&-\left(\frac{\partial^2 A^i}{\partial u^l \partial u^k}+\frac{\partial \Gamma^i_{kj}}{\partial u^l}A^j+\Gamma^i_{kj}\frac{\partial A^j}{\partial u^l}+\Gamma^i_{lm}\frac{\partial A^m}{\partial u^k}+\Gamma^i_{lm}\Gamma^m_{kj}A^j-\Gamma^m_{lk}\frac{\partial A^i}{\partial u^m}-\Gamma^m_{lk}\Gamma^i_{mj}A^j\right) \\ &=& \left( \frac{\partial \Gamma^i_{lj}}{\partial u^k}-\frac{\partial \Gamma^i_{kj}}{\partial u^l}+\Gamma^i_{km}\Gamma^m_{ij}-\Gamma^i_{lm}\Gamma^m_{ij} \right)A^j \\ &=& R^i_{jkl}A^j. \end{eqnarray}

計量と接続係数をすべて求めておく。

\begin{eqnarray} g_{ij}=\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial u^i} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial u^j} \end{eqnarray}

と$g_{ik}g^{kj}=\delta^j_i$より

\begin{eqnarray} &&g_{\theta \theta}=a^2, g_{\theta \varphi}=g_{\varphi \theta}=0,g_{\varphi \varphi}=a^2\sin^2 \theta, \\ &&g^{\theta \theta}=1/a^2, g^{\theta \varphi}=g^{\varphi \theta}=0,g^{\varphi \varphi}=1/(a^2\sin^2 \theta). \end{eqnarray}

これより接続係数も得られる。よって

1. $R^\varphi_{\theta \varphi \theta}=1$
2. $R_{\theta \varphi \theta \varphi}=a^2\sin^2 \theta$
3. $R_{\theta \theta}=1$
4. $R=\dfrac{2}{a^2}.$