一般相対性理論に必要なテンソルを大学1年生でもわかるように書いてみた[リーマン曲率テンソル編]

点$\text{A}$の十分近くに点$\text{B}$をとる。

$l_{\text{AB}}={\theta }_{\text{AB}}r$より$\chi =\frac{1}{r}$を得る。

$a$に十分近い実数$b(a\ne b)$を取り、$(f(a),g(a))$を点$\text{A},(f(b),g(b))$を点$\text{B}$とする。

$f$の$t$による$1$階微分を$\dot{f},2$階微分を$\ddot{f}$で表す。

また、$\mathit{x}(t)=(f(t),g(t)),\mathit{v}(t)=(\dot{f}(t),\dot{g}(t)),\mathit{a}(t)=(\ddot{f}(t),\ddot{g}(t))$

とおく。

一次近似により$\mathit{v}(b)\sim \mathit{v}(a)+(b-a)\mathit{a}(a)$が得られる。

$\mathit{v}(a)$と$\mathit{v}(b)$がなす三角形の面積$S$は

$$\begin{array}{rcl}S& =& \frac{1}{2}|\mathit{v}(a)||\mathit{v}(b)|\sin {\theta }_{\text{AB}}\\ & =& \frac{1}{2}\text{det}(\mathit{v}(a),\mathit{v}(b)-\mathit{v}(a))\\ & \sim & \frac{1}{2}\text{det}(\mathit{v}(a),(b-a)\mathit{a}(a))\\ & =& \frac{1}{2}(b-a)\text{det}(\mathit{v}(a),\mathit{a}(a)).\end{array}$$

よって

$$\begin{array}{r}\sin {\theta }_{\text{AB}}\sim \frac{(b-a)\text{det}(\mathit{v}(a),\mathit{a}(a))}{|\mathit{v}(a)||\mathit{v}(b)|}.\end{array}$$

一方、

$$\begin{array}{r}{l}_{\text{AB}}={\int }_a^b|\mathit{v}(t)|\mathrm{d}t\end{array}$$

より一次近似から

$$\begin{array}{r}{l}_{\text{AB}}\sim (b-a)|\mathit{v}(a)|\end{array}$$

を得る。$\sin \theta \sim \theta$より

$$\begin{array}{rcl}\chi & =& \underset{b\to a}{lim}\frac{{\theta }_{\mathrm{AB}}}{l_{\mathrm{AB}}}\\ & =& \underset{b\to a}{lim}\frac{\sin {\theta }_{\mathrm{AB}}}{l_{\mathrm{AB}}}\\ & =& \underset{b\to a}{lim}\frac{(b-a)\text{det}(\mathit{v}(a),\mathit{a}(a))}{|\mathit{v}(a)||\mathit{v}(b)|(b-a)|\mathit{v}(a)|}\\ & =& \frac{\text{det}(\mathit{v}(a),\mathit{a}(a))}{|\mathit{v}(a){|}^3}.\end{array}$$

1. $t$で微分して、$\mathit{v}(t)=(-R\sin t,R\cos t).$
2. $\mathit{v}(t)$をさらに$t$で微分して、$\mathit{a}(t)=(-R\cos t,-R\sin t).$
3. 曲率の式より
   $$\begin{array}{rcl}\chi (t)& =& \frac{\text{det}(\mathit{v}(t),\mathit{a}(t))}{|\mathit{v}(t){|}^3}\\ & =& \frac{1}{R}.\end{array}$$
4. $\mathit{v}(t)$と直交する単位ベクトルを1つ選べば
   $$\begin{array}{rcl}\mathit{n}(t)& =& (\cos t,\sin t).\end{array}$$
5. $\mathit{n}(t)$をさらに$t$で微分し
   $$\begin{array}{rcl}\dot{\mathit{n}}(t)& =& (-\sin t,\cos t).\end{array}$$
6. $\frac{1}{R}$となり曲率$\chi (t)$と一致する。

$C$の$t$での外向きの単位法線ベクトルを$\mathit{n}(t),$接線ベクトルを$\mathit{v}(t)$とする。

このとき、曲率$\chi (t)$を

$$\begin{array}{r}\frac{\mathrm{d}\mathit{n}(t)}{\mathrm{d}t}=\chi (t)\mathit{v}(t)\end{array}$$

で定義する。

1. 外向きの単位法線ベクトルは$\mathit{n}(\theta ,\phi )=(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta )$で与えられる。
   これを$\theta$で偏微分して${\partial }_{\theta }\mathit{n}(\theta ,\phi )=(\cos \theta \cos \phi ,\cos \theta \sin \phi ,-\sin \theta )$を得る。
   一方、$\mathit{v}(\theta )=(R\cos \theta \cos \phi ,R\cos \theta \sin \phi ,-R\sin \theta )$であるから$\chi (\theta )=\frac{1}{R}$を得る。
2. (1)と同様に、$\chi (\phi )=\frac{1}{R}$を得る。

外向きの単位法線ベクトルは$\mathit{n}(\theta ,\phi )=(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta )$で与えられる。

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial \mathit{n}}{\partial \theta }\times \frac{\partial \mathit{n}}{\partial \phi }& =& \left(\begin{array}{c}\cos \theta \cos \phi \\ \cos \theta \sin \phi \\ -\sin \theta \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-\sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \cos \phi \\ 0\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}{\sin }^2\theta \cos \phi \\ {\sin }^2\theta \sin \phi \\ \sin \theta \cos \theta \end{array}\right),\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial \mathit{E}}{\partial \theta }\times \frac{\partial \mathit{E}}{\partial \phi }& =& \left(\begin{array}{c}R\cos \theta \cos \phi \\ R\cos \theta \sin \phi \\ -R\sin \theta \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-R\sin \theta \sin \phi \\ R\sin \theta \cos \phi \\ 0\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}{R}^2{\sin }^2\theta \cos \phi \\ R^2{\sin }^2\theta \sin \phi \\ R^2\sin \theta \cos \theta \end{array}\right)\end{array}$$

より$\chi (\theta ,\phi )=\frac{1}{R^2}$を得る。

${\mathbb{R}}^3$上の曲面$\mathit{S}(u^1,u^2)$のガウス曲率$\chi (u^1,u^2)$を

$$\begin{array}{r}\det (\mathit{n}\cdot \frac{{\partial }^2\mathit{S}}{\partial u^i\partial u^j})=\chi (u^1,u^2)\det (\frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^i}\cdot \frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^j})\end{array}$$

で定義してもよい。ここに、$(i,j)=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$であり$\det$でその$2\times 2$行列の行列式を表す。

接続係数は計量によって表されるから、偏微分してガウス曲率を接続係数と計量に結びつける式を導出することが目標である。

${\mathbb{R}}^3$上で考えると、法線ベクトルと接ベクトルが直交していることから内積の偏微分より

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial u^j}(\mathit{n}\cdot \frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^i})& =& 0\\ & =& \frac{\partial \mathit{n}}{\partial u^j}\cdot \frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^i}+\mathit{n}\cdot \frac{{\partial }^2\mathit{S}}{\partial u^i\partial u^j}.\end{array}$$

よって

$$\begin{array}{r}\mathit{n}\cdot \frac{{\partial }^2\mathit{S}}{\partial u^i\partial u^j}=-\frac{\partial \mathit{n}}{\partial u^j}\cdot \frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^i}=h_{ij}\end{array}$$

を得る。(新しく$h_{ij}$とおいた。)

ここで、$\mathit{n}$の微分は接平面に含まれるから2つの接ベクトルの線形結合で表せるはずである。新しく係数$A_i^j$を用意して

$$\begin{array}{r}\frac{\partial \mathit{n}}{\partial u^i}=A_i^j\frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^j}\end{array}$$

とおく。両辺$\mathit{S}$の微分で内積をとると

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial \mathit{n}}{\partial u^i}\cdot \frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^j}=A_i^k\frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^k}\cdot \frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^j}& ⟺& -h_{ji}=A_i^k{g}_{kj}\\ & ⟺& -h_{ji}{g}^{jl}=A_i^k{g}_{kj}{g}^{jl}=A_i^k{\delta }_k^l=A_i^l\end{array}$$

を得る。ゆえに$A_i^j=-h_{ki}{g}^{kj}$で

$$\begin{array}{r}\frac{\partial \mathit{n}}{\partial u^i}=-h_{ki}{g}^{kj}\frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^j}\end{array}$$

が得られる。

一方で、ベクトル$\mathit{a}$の$\mathit{n}$方向の成分は$\mathit{a}\cdot \mathit{n}$であるから${\mathbb{R}}^3$上では

$$\begin{array}{rcl}\frac{{\partial }^2\mathit{S}}{\partial u^i\partial u^j}& =& {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k\frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^k}+(\mathit{n}\cdot \frac{{\partial }^2\mathit{S}}{\partial u^i\partial u^j})\mathit{n}\\ & =& {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k\frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^k}+h_{ij}\mathit{n}\end{array}$$

を得る。これをまた偏微分すれば、積の偏微分より

$$\begin{array}{rcl}\frac{{\partial }^3\mathit{S}}{\partial u^i\partial u^j\partial u^k}& =& \frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^l}{\partial u^k}\frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^l}+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^l\frac{{\partial }^2\mathit{S}}{\partial u^k\partial u^l}+\frac{\partial h_{ij}}{\partial u^k}\mathit{n}+h_{ij}\frac{\partial \mathit{n}}{\partial u^k}\\ & =& \frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^l}{\partial u^k}\frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^l}+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^l({\mathrm{\Gamma }}_{kl}^m\frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^m}+h_{ij}\mathit{n})+\frac{\partial h_{ij}}{\partial u^k}\mathit{n}+h_{ij}\frac{\partial \mathit{n}}{\partial u^k}\\ & =& \frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^l}{\partial u^k}\frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^l}+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^l({\mathrm{\Gamma }}_{kl}^m\frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^m}+h_{ij}\mathit{n})+\frac{\partial h_{ij}}{\partial u^k}\mathit{n}-h_{ij}{h}_{lk}{g}^{lm}\frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^m}\\ & =& \frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^m}{\partial u^k}\frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^m}+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^l({\mathrm{\Gamma }}_{kl}^m\frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^m}+h_{ij}\mathit{n})+\frac{\partial h_{ij}}{\partial u^k}\mathit{n}-h_{ij}{h}_{lk}{g}^{lm}\frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^m}\\ & =& (\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^m}{\partial u^k}+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^l{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^m-h_{ij}{h}_{lk}{g}^{lm})\frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^m}+({\mathrm{\Gamma }}_{ij}^l{h}_{ij}+\frac{\partial h_{ij}}{\partial u^k})\mathit{n}.\end{array}$$

ここで$i,j,k$は交換可能であるから、${\displaystyle \frac{\partial \mathit{S}}{\partial u^m}}$の係数を比較して等式を得ることができる。

$j,k$を入れ替えると、

$$\begin{array}{rcl}& & \frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^m}{\partial u^k}+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^l{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^m-h_{ij}{h}_{lk}{g}^{lm}=\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{ik}^m}{\partial u^j}+{\mathrm{\Gamma }}_{ik}^l{\mathrm{\Gamma }}_{jl}^m-h_{ik}{h}_{lj}{g}^{lm}\\ & & ⟺(h_{ij}{h}_{lk}-h_{ik}{h}_{lj})g^{lm}=\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^m}{\partial u^k}-\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{ik}^m}{\partial u^j}+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^l{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^m-{\mathrm{\Gamma }}_{ik}^l{\mathrm{\Gamma }}_{jl}^m=R_{ikj}^m.\end{array}$$

新しく$R_{ikj}^m$とおいた。

$l=1,2$は媒介変数で消えることに注意して、

$$\begin{array}{rcl}(h_{ij}{h}_{lk}-h_{ik}{h}_{lj})g^{lm}{g}_{mn}& =& (h_{ij}{h}_{lk}-h_{ik}{h}_{lj}){\delta }_n^l\\ & =& h_{ij}{h}_{nk}-h_{ik}{h}_{nj}\\ & =& R_{ikj}^m{g}_{mn}.\end{array}$$

$i,j,n,k$は自由変数であり$(i,j,n,k)=(1,1,2,2)$とすれば

$$\begin{array}{r}{h}_{11}{h}_{22}-h_{12}{h}_{21}=R_{121}^m{g}_{m2}\end{array}$$

を得る。式の意味を思い出せば、

$$\begin{array}{r}{h}_{11}{h}_{22}-h_{12}{h}_{21}=\det (\mathit{n}\cdot \frac{{\partial }^2\mathit{S}}{\partial u^i\partial u^j})\end{array}$$

に他ならない。

ゆえにガウス曲率は計量だけで表すことができる。

${\mathrm{\nabla }}_l{A}^i$が$1$階反変$1$階共変テンソル場であることに注意する。

$$\begin{array}{r}{\mathrm{\nabla }}_k{T}_j^i=\frac{\partial T_j^i}{\partial u^k}+{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^i{T}_j^l-{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^l{T}_l^i\end{array}$$

より、

$$\begin{array}{rcl}{\mathrm{\nabla }}_k{\mathrm{\nabla }}_l{A}^i& =& {\mathrm{\nabla }}_k({\mathrm{\nabla }}_l{A}^i)\\ & =& {\mathrm{\nabla }}_k(\frac{\partial A^i}{\partial u^l}+{\mathrm{\Gamma }}_{lj}^i{A}^j)\\ & =& \frac{\partial }{\partial u^k}(\frac{\partial A^i}{\partial u^l}+{\mathrm{\Gamma }}_{lj}^i{A}^j)+{\mathrm{\Gamma }}_{km}^i(\frac{\partial A^m}{\partial u^l}+{\mathrm{\Gamma }}_{lj}^m{A}^j)-{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^m(\frac{\partial A^i}{\partial u^m}+{\mathrm{\Gamma }}_{mj}^i{A}^j)\\ & =& \frac{{\partial }^2{A}^i}{\partial u^k\partial u^l}+\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{lj}^i}{\partial u^k}{A}^j+{\mathrm{\Gamma }}_{lj}^i\frac{\partial A^j}{\partial u^k}+{\mathrm{\Gamma }}_{km}^i\frac{\partial A^m}{\partial u^l}+{\mathrm{\Gamma }}_{km}^i{\mathrm{\Gamma }}_{lj}^m{A}^j-{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^m\frac{\partial A^i}{\partial u^m}-{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^m{\mathrm{\Gamma }}_{mj}^i{A}^j\end{array}$$

$k,l$を入れ替えて引けば、

$$\begin{array}{rcl}{\mathrm{\nabla }}_k{\mathrm{\nabla }}_l{A}^i-{\mathrm{\nabla }}_l{\mathrm{\nabla }}_k{A}^i& =& (\frac{{\partial }^2{A}^i}{\partial u^k\partial u^l}+\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{lj}^i}{\partial u^k}{A}^j+{\mathrm{\Gamma }}_{lj}^i\frac{\partial A^j}{\partial u^k}+{\mathrm{\Gamma }}_{km}^i\frac{\partial A^m}{\partial u^l}+{\mathrm{\Gamma }}_{km}^i{\mathrm{\Gamma }}_{lj}^m{A}^j-{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^m\frac{\partial A^i}{\partial u^m}-{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^m{\mathrm{\Gamma }}_{mj}^i{A}^j)\\ & & -(\frac{{\partial }^2{A}^i}{\partial u^l\partial u^k}+\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{kj}^i}{\partial u^l}{A}^j+{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^i\frac{\partial A^j}{\partial u^l}+{\mathrm{\Gamma }}_{lm}^i\frac{\partial A^m}{\partial u^k}+{\mathrm{\Gamma }}_{lm}^i{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^m{A}^j-{\mathrm{\Gamma }}_{lk}^m\frac{\partial A^i}{\partial u^m}-{\mathrm{\Gamma }}_{lk}^m{\mathrm{\Gamma }}_{mj}^i{A}^j)\\ & =& (\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{lj}^i}{\partial u^k}-\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{kj}^i}{\partial u^l}+{\mathrm{\Gamma }}_{km}^i{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^m-{\mathrm{\Gamma }}_{lm}^i{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^m)A^j\\ & =& R_{jkl}^i{A}^j.\end{array}$$

計量と接続係数をすべて求めておく。

$$\begin{array}{r}{g}_{ij}=\frac{\partial \mathit{E}}{\partial u^i}\cdot \frac{\partial \mathit{E}}{\partial u^j}\end{array}$$

と$g_{ik}{g}^{kj}={\delta }_i^j$より

$$\begin{array}{rcl}& & g_{\theta \theta }=a^2,g_{\theta \phi }=g_{\phi \theta }=0,g_{\phi \phi }=a^2{\sin }^2\theta ,\\ & & g^{\theta \theta }=1/a^2,g^{\theta \phi }=g^{\phi \theta }=0,g^{\phi \phi }=1/(a^2{\sin }^2\theta ).\end{array}$$

これより接続係数も得られる。よって

1. $R_{\theta \phi \theta }^{\phi }=1$
2. $R_{\theta \phi \theta \phi }=a^2{\sin }^2\theta$
3. $R_{\theta \theta }=1$
4. $R={\displaystyle \frac{2}{a^2}}.$