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一般相対性理論に必要なテンソルを大学1年生でもわかるように書いてみた[曲線座標編]

テンソル,テンソル場,一般相対性理論

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前置き

この記事は「一般相対性理論に必要なテンソルを大学1年生でもわかるように書いてみた[直線座標編]」の続きです。

まだ読んでいない方は先にご覧ください。

一般相対性理論に必要なテンソルを大学1年生でもわかるように書いてみた[直線座標編]

さて、この記事では曲線座標上のテンソル場を扱います。

直線座標上のテンソルの扱いは慣れたと思うのでいってみましょう。

曲線座標のテンソル場

まず、極座標と球座標を復習します。

極座標

$(x, y)$ を通常の直交座標としたとき、 $(x, y) = (r \cos θ, r \sin θ)$ を満たすように $0 < r$ と $0 \leq θ < 2 π$ を定める。

このとき $(r, θ)$ を極座標という。

球座標

$(x, y, z)$ を通常の直交座標としたとき、 $(x, y, z) = (r \sin θ \cos φ, r \sin θ \sin φ, r \cos θ)$ を満たすように $0 < r, 0 \leq θ \leq π, 0 \leq φ < 2 π$ を定める。

このとき、 $(r, θ, φ)$ を球座標という。

さて、ここからは変数変換に必要なヤコビアンについて考察していきます。

ヤコビアン

$n$ 個の変数 $f = f_{1}, \dots, f_{n}$ および $x = x_{1}, \dots, x_{n}$ がある。

このとき、ヤコビアン $J (f, x)$ を $i j$ 成分を

$\begin{array}{r} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} \end{array}$

で定める行列 $(1 \leq i, j \leq n)$ とする。

たとえば $x = x^{1}, y = x^{2}, z = x^{3}, r = r^{1}, θ = r^{2}, φ = r^{3}$ としましょう。

$x = x^{1}, x^{2}, x^{3}, r = r^{1}, r^{2}, r^{3}$ とする。
(1) $J (x, r)$ を求めよ。
(2) $J (r, x)$ を求めよ。
(3) $J (x, r) J (r, x)$ を求めよ。

解答

(1)

$\begin{array}{rcl} J (x, r) & = & (\begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial θ} & \frac{\partial x}{\partial φ} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial θ} & \frac{\partial y}{\partial φ} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial θ} & \frac{\partial z}{\partial φ} \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} \sin θ \cos φ & r \cos θ \cos φ & - r \sin θ \sin φ \\ \sin θ \sin φ & r \cos θ \sin φ & r \sin θ \cos φ \\ \cos θ & - r \sin θ & 0 \end{array}) . \end{array}$

(2)

まず偏微分を計算する。 $r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ より

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial}{\partial x} (r^{2}) & = & 2 r \frac{\partial r}{\partial x} \\ = & 2 x \\ = & 2 r \sin θ \cos φ . \end{array}$

よって $r \neq 0$ の条件のもと

$\begin{array}{r} \frac{\partial r}{\partial x} = \sin θ \cos φ . \end{array}$

同様に、

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial}{\partial y} (r^{2}) & = & 2 r \frac{\partial r}{\partial y} \\ = & 2 y \\ = & 2 r \sin θ \sin φ . \end{array}$

よって

$\begin{array}{r} \frac{\partial r}{\partial y} = \sin θ \sin φ . \end{array}$

また、

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial}{\partial z} (r^{2}) & = & 2 r \frac{\partial r}{\partial z} \\ = & 2 z \\ = & 2 r \cos θ . \end{array}$

よって

$\begin{array}{r} \frac{\partial r}{\partial z} = \cos θ . \end{array}$

次に、 $\cos^{2} θ = \frac{z^{2}}{r^{2}} = \frac{z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ より

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial}{\partial x} (\cos^{2} θ) & = & \frac{\partial}{\partial x} (\frac{z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}) \\ = & - \frac{2 x z^{2}}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2}} \\ = & 2 \cos θ \frac{\partial}{\partial x} (\cos θ) \\ = & - 2 \cos θ \sin θ \cdot \frac{\partial θ}{\partial x} . \end{array}$

よって

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial θ}{\partial x} & = & \frac{x z^{2}}{r^{4} \cos θ \sin θ} \\ = & \frac{r \sin θ \cos φ \cdot r^{2} \cos^{2} θ}{r^{4} \cos θ \sin θ} \\ = & \frac{\cos θ \cos φ}{r} . \end{array}$

同様に、

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial}{\partial y} (\cos^{2} θ) & = & \frac{\partial}{\partial y} (\frac{z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}) \\ = & - \frac{2 y z^{2}}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2}} \\ = & 2 \cos θ \frac{\partial}{\partial y} (\cos θ) \\ = & - 2 \cos θ \sin θ \cdot \frac{\partial θ}{\partial y} . \end{array}$

よって

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial θ}{\partial y} & = & \frac{y z^{2}}{r^{4} \cos θ \sin θ} \\ = & \frac{r \sin θ \sin φ \cdot r^{2} \cos^{2} θ}{r^{4} \cos θ \sin θ} \\ = & \frac{\cos θ \sin φ}{r} . \end{array}$

また、

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial}{\partial z} (\cos^{2} θ) & = & \frac{\partial}{\partial z} (\frac{z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}) \\ = & \frac{2 z (x^{2} + y^{2})}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2}} \\ = & 2 \cos θ \frac{\partial}{\partial z} (\cos θ) \\ = & - 2 \cos θ \sin θ \cdot \frac{\partial θ}{\partial z} . \end{array}$

よって

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial θ}{\partial z} & = & - \frac{z (x^{2} + y^{2})}{r^{4} \cos θ \sin θ} \\ = & - \frac{r \cos θ \cdot r^{2} \sin^{2} θ}{r^{4} \cos θ \sin θ} \\ = & - \frac{\sin θ}{r} . \end{array}$

最後に、 $\tan^{2} φ = \frac{y^{2}}{x^{2}}$ より

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial}{\partial x} (\tan^{2} φ) & = & \frac{\partial}{\partial x} (\frac{y^{2}}{x^{2}}) \\ = & - \frac{2 y^{2}}{x^{3}} \\ = & 2 \tan φ \frac{\partial}{\partial x} (\tan φ) \\ = & \frac{2 \tan φ}{\cos^{2} φ} \cdot \frac{\partial φ}{\partial x} . \end{array}$

よって

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial φ}{\partial x} & = & - \frac{r^{2} \sin^{2} θ \sin^{2} φ \cos^{2} φ}{r^{3} \sin^{3} θ \cos^{3} φ \tan φ} \\ = & - \frac{\sin φ}{r \sin θ} . \end{array}$

同様に、

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial}{\partial y} (\tan^{2} φ) & = & \frac{\partial}{\partial y} (\frac{y^{2}}{x^{2}}) \\ = & \frac{2 y}{x^{2}} \\ = & 2 \tan φ \frac{\partial}{\partial y} (\tan φ) \\ = & \frac{2 \tan φ}{\cos^{2} φ} \cdot \frac{\partial φ}{\partial y} . \end{array}$

よって

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial φ}{\partial y} & = & \frac{r \sin θ \sin φ \cos^{2} φ}{r^{2} \sin^{2} θ \cos^{2} φ \tan φ} \\ = & \frac{\cos φ}{r \sin θ} . \end{array}$

また、

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial}{\partial z} (\tan^{2} φ) & = & \frac{\partial}{\partial z} (\frac{y^{2}}{x^{2}}) \\ = & 0 \\ = & \frac{2 \tan φ}{\cos^{2} φ} \cdot \frac{\partial φ}{\partial z} . \end{array}$

よって

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial φ}{\partial z} & = & 0. \end{array}$

以上より、

$\begin{array}{rcl} J (x, r) & = & (\begin{array}{c} \frac{\partial r}{\partial x} & \frac{\partial r}{\partial y} & \frac{\partial r}{\partial z} \\ \frac{\partial θ}{\partial x} & \frac{\partial θ}{\partial y} & \frac{\partial θ}{\partial z} \\ \frac{\partial φ}{\partial x} & \frac{\partial φ}{\partial y} & \frac{\partial φ}{\partial z} \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} \sin θ \cos φ & \sin θ \sin φ & \cos θ \\ \frac{\cos θ \cos φ}{r} & \frac{\cos θ \sin φ}{r} & - \frac{\sin θ}{r} \\ - \frac{\sin φ}{r \sin θ} & \frac{\cos φ}{r \sin θ} & 0 \end{array}) . \end{array}$

(3)

$\begin{array}{rcl} J (r, x) J (x, r) & = & (\begin{array}{c} \sin θ \cos φ & r \cos θ \cos φ & - r \sin θ \sin φ \\ \sin θ \sin φ & r \cos θ \sin φ & r \sin θ \cos φ \\ \cos θ & - r \sin θ & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} \sin θ \cos φ & \sin θ \sin φ & \cos θ \\ \frac{\cos θ \cos φ}{r} & \frac{\cos θ \sin φ}{r} & - \frac{\sin θ}{r} \\ - \frac{\sin φ}{r \sin θ} & \frac{\cos φ}{r \sin θ} & 0 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) . \end{array}$

なんと単位行列になりました。

一般の場合でも成立します。

ヤコビアンの変換公式

$I$ を単位行列とすると、

$\begin{array}{r} J (f, x) J (x, f) = J (x, f) J (f, x) = I . \end{array}$

$J (f, x) J (x, f)$ の $i j$ 成分を $J_{j}^{i}$ とおくと、合成関数の偏微分を使い

$\begin{array}{rcl} J_{j}^{i} & = & \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{k}} \frac{\partial x_{k}}{\partial f_{j}} \\ = & \frac{\partial f_{i}}{\partial f_{j}} \\ = & δ_{j}^{i} . \end{array}$

逆の場合も同様。

よって次のことがわかります。

座標の変換則

座標 $(x)$ と座標 $(x^{'})$ があるとき次が成立：

$\begin{array}{r} \frac{\partial x^{' i}}{\partial x^{k}} \frac{\partial x^{k}}{\partial x^{' j}} = δ_{j}^{i}, \frac{\partial x^{i}}{\partial x^{' k}} \frac{\partial x^{' k}}{\partial x^{j}} = δ_{j}^{i} . \end{array}$

特に、

$\begin{array}{r} \frac{\partial x^{i}}{\partial x^{' j}} = b_{j}^{i}, \frac{\partial x^{' i}}{\partial x^{j}} = a_{j}^{i} \end{array}$

とおくと $b_{k}^{i} a_{j}^{k} = δ_{j}^{i}, a_{k}^{i} b_{j}^{k} = δ_{j}^{i} .$

見覚えありますよね。

そう、基底と双対基底の変換行列が互いに逆行列であることを示す式と一緒です。

ということは、勘の鋭い方ならお気づきの通りここからテンソル場が定義できます。

テンソル場

座標 $(x)$ に対して座標 $(u)$ を任意に取る。

$T$ の座標 $(x)$ での成分 $T_{j_{1}, \dots, j_{s}}^{' i_{1}, \dots, i_{r}} (x)$ と座標 $(u)$ での成分 $T_{j_{1}, \dots, j_{s}}^{i_{1}, \dots, i_{r}} (u)$ との間に

$\begin{array}{r} T_{j_{1}, \dots, j_{s}}^{' i_{1}, \dots, i_{r}} (x) = \frac{\partial x^{i_{1}}}{\partial u^{k_{1}}} \dots \frac{\partial x^{i_{r}}}{\partial u^{k_{r}}} \frac{\partial u^{l_{1}}}{\partial x^{j_{1}}} \dots \frac{\partial u^{l_{s}}}{\partial x^{j_{s}}} T_{l_{1}, \dots, l_{s}}^{k_{1}, \dots, k_{r}} (u) \end{array}$

が成立しているとき、 $T$ を $r$ 階反変 $s$ 階共変テンソル場であるという。

これが一般的なテンソル場の定義です。

ためしに $(x)$ と $u$ が線形変換で結ばれているものとするとこの前やったテンソル場と同じ定義が得られます。

この定義は曲線座標についても適用できるんですね。

これを基底をつけて表現してみましょう。

まず、関数を連鎖律で偏微分すると

$\begin{array}{r} \frac{\partial f}{\partial x^{1}} = \frac{\partial u^{1}}{\partial x^{1}} \frac{\partial f}{\partial u^{1}} + \frac{\partial u^{2}}{\partial x^{1}} \frac{\partial f}{\partial u^{2}}, \\ \frac{\partial f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial u^{1}}{\partial x^{2}} \frac{\partial f}{\partial u^{1}} + \frac{\partial u^{2}}{\partial x^{2}} \frac{\partial f}{\partial u^{2}} . \end{array}$

$f$ を外して、形式的に

$\begin{array}{r} \frac{\partial}{\partial x^{1}} = \frac{\partial u^{1}}{\partial x^{1}} \frac{\partial}{\partial u^{1}} + \frac{\partial u^{2}}{\partial x^{1}} \frac{\partial}{\partial u^{2}}, \\ \frac{\partial}{\partial x^{2}} = \frac{\partial u^{1}}{\partial x^{2}} \frac{\partial}{\partial u^{1}} + \frac{\partial u^{2}}{\partial x^{2}} \frac{\partial}{\partial u^{2}}, \end{array}$

つまり

$\begin{array}{r} \frac{\partial}{\partial x^{i}} = \frac{\partial u^{j}}{\partial x^{i}} \frac{\partial}{\partial u^{j}} \end{array}$

とします。このとき

$\begin{array}{r} \frac{\partial}{\partial u^{i}} \mapsto e_{i}, \frac{\partial}{\partial x^{i}} \mapsto e_{i}^{'} \end{array}$

と変換すると

$\begin{array}{r} e_{i}^{'} = \frac{\partial u^{j}}{\partial x^{i}} e_{j} \end{array}$

となってうまく整合します。

同様に、 $f$ を全微分して

$\begin{array}{r} d f = \frac{\partial f}{\partial u^{1}} d u^{1} + \frac{\partial f}{\partial u^{2}} d u^{2} . \end{array}$

$f$ に $x^{1}, x^{2}$ を代入して

$\begin{array}{r} d x^{1} = \frac{\partial x^{1}}{\partial u^{1}} d u^{1} + \frac{\partial x^{1}}{\partial u^{2}} d u^{2}, \\ d x^{2} = \frac{\partial x^{2}}{\partial u^{1}} d u^{1} + \frac{\partial x^{2}}{\partial u^{2}} d u^{2}, \end{array}$

つまり

$\begin{array}{r} d x^{i} = \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{j}} d u^{j} . \end{array}$

このとき

$\begin{array}{r} d u^{i} \mapsto f^{i}, d x^{i} \mapsto f^{' i} \end{array}$

と変換すると

$\begin{array}{r} f^{' i} = \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{j}} f^{j} \end{array}$

となってうまく整合します。

なので、この前学んだテンソル場で

$\begin{array}{r} e_{i} \mapsto \frac{\partial}{\partial u^{i}}, e_{i}^{'} \mapsto \frac{\partial}{\partial x^{i}}, f^{i} \mapsto d u^{i}, f^{' i} \mapsto d x^{i} \end{array}$

と変換した基底をつければよいことがわかりますね。

これらのことを念頭に置いて基底ありでのテンソル場の定義を述べます。

テンソル場(基底あり)

座標 $(x)$ に対して座標 $(u)$ を任意に取る。

このとき、

が成立するならば、

$\begin{array}{r} T_{j_{1} \dots j_{s}}^{i_{1} \dots i_{r}} (u) \frac{\partial}{\partial u^{i_{1}}} \otimes \dots \otimes \frac{\partial}{\partial u^{i_{r}}} \otimes d u^{j_{1}} \otimes \dots \otimes d u^{j_{s}} = T_{j_{1} \dots j_{s}}^{' i_{1} \dots i_{r}} (x) \frac{\partial}{\partial x^{i_{1}}} \otimes \dots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{i_{r}}} \otimes d x^{j_{1}} \otimes \dots \otimes d x^{j_{s}} \end{array}$

もまた成立する。これを $r$ 階反変 $s$ 階共変テンソル場と呼ぶ。

慣れない記法で違和感があるかもしれませんが、この記法の威力に後ほど気づくでしょう。

さて、ここで接続係数という概念を導入します。

接続係数

まずは定義から。

接続係数

変数の組 $u = u^{1}, \dots, u^{n}$ および $x = x^{1}, \dots, x^{n}$ が与えられている。

このとき、次の式を満たすように接続係数 $Γ$ を定義する：

$\begin{array}{r} \frac{\partial^{2} x^{l}}{\partial u^{j} \partial u^{k}} = Γ_{j k}^{i} \frac{\partial x^{l}}{\partial u^{i}} . \end{array}$

$Γ_{j k}^{i}$ を $x$ で見た $u$ の接続係数という。

$i$ は媒介変数であり消えることに注意してください。

これから何をし始めようとしているのかというと、 $2$ 階微分を $1$ 階微分の線形結合で書こうという発想です。

もし $2$ 階微分が $1$ 階微分の線形結合で書けるならば、何階微分であろうが $1$ 階微分の線形結合で書けることになります。

そのときの係数が接続係数です。

ここで、偏微分が交換できる関数しか扱わないというルールのもとで $j, k$ は交換可能です。

ゆえに $Γ_{j k}^{i} = Γ_{k j}^{i}$ が成立します。

そんなことを言われても訳が分からないと思うので問題を解いてみましょう。

$(x, y)$ を正規直交座標とする。

$0 < r, 0 \leq θ < 2 π$ のもとで原点を除き $(x, y) = (r \cos θ, r \sin θ)$ と一意に表せる。

このとき、 $(x, y)$ で見た $(r, θ)$ の接続係数 $Γ$ をすべて求めよ。

解答

$x^{1} = x, x^{2} = y, r^{1} = r, r^{2} = θ$ とおく。

(1)満たすべき条件は

$\begin{array}{r} \frac{\partial^{2} x^{l}}{\partial r^{j} \partial r^{k}} = Γ_{j k}^{i} \frac{\partial x^{l}}{\partial r^{i}} . \end{array}$

であるから、

$\begin{array}{r} \frac{\partial^{2} x^{l}}{\partial r^{1} \partial r^{1}} = Γ_{11}^{1} \frac{\partial x^{l}}{\partial r^{1}} + Γ_{11}^{2} \frac{\partial x^{l}}{\partial r^{2}} . \end{array}$

ここで $l = 1, 2$ として調べると $Γ_{11}^{1} = Γ_{11}^{2} = 0$ がわかる。

同様に、

$\begin{array}{r} \frac{\partial^{2} x^{l}}{\partial r^{1} \partial r^{2}} = Γ_{12}^{1} \frac{\partial x^{l}}{\partial r^{1}} + Γ_{12}^{2} \frac{\partial x^{l}}{\partial r^{2}} . \end{array}$

ここで $l = 1, 2$ として調べると

$\begin{array}{r} {\begin{cases} - \sin r^{2} = Γ_{12}^{1} \cos r^{2} - Γ_{12}^{2} r^{1} \sin r^{2} \\ \cos r^{2} = Γ_{12}^{1} \sin r^{2} + Γ_{12}^{2} r^{1} \cos r^{2} \end{cases} \end{array}$

よって $Γ_{12}^{1} = 0, Γ_{12}^{2} = \frac{1}{r^{1}} .$

下添字の対称性より、

$Γ_{21}^{1} = 0, Γ_{21}^{2} = \frac{1}{r^{1}}$ も得る。

最後に、

$\begin{array}{r} \frac{\partial^{2} x^{l}}{\partial r^{2} \partial r^{2}} = Γ_{22}^{1} \frac{\partial x^{l}}{\partial r^{1}} + Γ_{22}^{2} \frac{\partial x^{l}}{\partial r^{2}} \end{array}$

より $l = 1, 2$ として調べると

$\begin{array}{r} {\begin{cases} - r^{1} \cos r^{2} = Γ_{22}^{1} \cos r^{2} - Γ_{22}^{2} r^{1} \sin r^{2} \\ - r^{1} \sin r^{2} = Γ_{22}^{1} \sin r^{2} + Γ_{22}^{2} r^{1} \cos r^{2} \end{cases} \end{array}$

よって $Γ_{22}^{1} = - r^{1}, Γ_{22}^{2} = 0$ を得る。

$(x^{1}, x^{2})$ を正規直交座標とする。

$(u^{1}, u^{2}) = (3 x^{1} - 2 x^{2}, x^{1} + x^{2})$ と表されているとき $(x^{1}, x^{2})$ で見た $(u^{1}, u^{2})$ をすべて求めよ。

解答

$\begin{array}{r} (x^{1}, x^{2}) = (\frac{u^{1} + 2 u^{2}}{5}, - \frac{u^{1} - 3 u^{2}}{5}) \end{array}$

と表せる。満たすべき条件は

$\begin{array}{r} \frac{\partial^{2} x^{l}}{\partial u^{j} \partial u^{k}} = Γ_{j k}^{i} \frac{\partial x^{l}}{\partial u^{i}} . \end{array}$

であるが、 $2$ 階偏微分はすべて $0$ になるから接続係数もすべて $0$ になる。

このように、直線座標同士の変換では接続係数はすべて $0$ になります。

テンソル場の微分

さっき定義した接続係数を用いてテンソル場の微分をしてみましょう。

テンソル場(再掲)

座標 $(x)$ に対して座標 $(u)$ を任意に取る。

$T$ の座標 $(x)$ での成分 $T_{j_{1}, \dots, j_{s}}^{' i_{1}, \dots, i_{r}} (x)$ と座標 $(u)$ での成分 $T_{j_{1}, \dots, j_{s}}^{i_{1}, \dots, i_{r}} (u)$ との間に

が成立しているとき、 $T$ を $r$ 階反変 $s$ 階共変テンソル場であるという。

その前にこれから大活躍する定理を示します。

変数変換

次が成立：

$\begin{array}{r} \frac{\partial^{2} u^{l}}{\partial x^{j} \partial u^{k}} \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{l}} = - \frac{\partial^{2} x^{i}}{\partial u^{k} \partial u^{l}} \frac{\partial u^{l}}{\partial x^{j}} . \end{array}$

定理2と積の偏微分より、

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial}{\partial u^{k}} (\frac{\partial x^{i}}{\partial u^{l}} \frac{\partial u^{l}}{\partial x^{j}}) & = & \frac{\partial}{\partial u^{k}} (δ_{j}^{i}) \\ = & 0 \\ = & \frac{\partial^{2} x^{i}}{\partial u^{k} \partial u^{l}} \frac{\partial u^{l}}{\partial x^{j}} + \frac{\partial^{2} u^{l}}{\partial x^{j} \partial u^{k}} \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{l}} . \end{array}$

これを踏まえて問題を解いてみましょう。

$x$ で見た $u$ の接続係数が与えられている。

$1$ 階反変 $1$ 階共変テンソル場 $T_{j}^{' i} (x)$ と $T_{j}^{i} (u)$ に対して、

$\begin{array}{r} \frac{\partial T_{j}^{' i} (x)}{\partial x^{k}}, \frac{\partial T_{j}^{i} (u)}{\partial u^{k}} \end{array}$

を結ぶ等式を示せ。

解答

$\begin{array}{r} \frac{\partial^{2} x^{l}}{\partial u^{j} \partial u^{k}} = Γ_{j k}^{i} \frac{\partial x^{l}}{\partial u^{i}} . \end{array}$

が与えられている。これとテンソル場の定義及び積の偏微分、変数変換の定理を繰り返し使い、

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial T_{j}^{' i} (x)}{\partial x^{k}} & = & \frac{\partial}{\partial x^{k}} (\frac{\partial x^{i}}{\partial u^{m}} \frac{\partial u^{n}}{\partial x^{j}} T_{n}^{m} (u)) \\ = & \frac{\partial u^{l}}{\partial x^{k}} \frac{\partial}{\partial u^{l}} (\frac{\partial x^{i}}{\partial u^{m}} \frac{\partial u^{n}}{\partial x^{j}} T_{n}^{m} (u)) \\ = & \frac{\partial u^{l}}{\partial x^{k}} (\frac{\partial^{2} x^{i}}{\partial u^{l} \partial u^{m}} \frac{\partial u^{n}}{\partial x^{j}} T_{n}^{m} (u) + \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{m}} \frac{\partial}{\partial u^{l}} (\frac{\partial u^{n}}{\partial x^{j}} T_{n}^{m} (u))) \\ = & \frac{\partial u^{l}}{\partial x^{k}} (Γ_{l m}^{ω} \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{ω}} \frac{\partial u^{n}}{\partial x^{j}} T_{n}^{m} (u) + \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{m}} \frac{\partial^{2} u^{n}}{\partial u^{l} \partial x^{j}} T_{n}^{m} (u) + \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{m}} \frac{\partial u^{n}}{\partial x^{j}} \frac{\partial T_{n}^{m} (u)}{\partial u^{l}}) \\ = & \frac{\partial u^{l}}{\partial x^{k}} (Γ_{l ω}^{m} \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{m}} \frac{\partial u^{n}}{\partial x^{j}} T_{n}^{ω} (u) + \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{m}} \frac{\partial^{2} u^{n}}{\partial u^{l} \partial x^{j}} T_{n}^{m} (u) + \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{m}} \frac{\partial u^{n}}{\partial x^{j}} \frac{\partial T_{n}^{m} (u)}{\partial u^{l}}) \\ = & \frac{\partial u^{l}}{\partial x^{k}} (Γ_{l ω}^{m} \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{m}} \frac{\partial u^{n}}{\partial x^{j}} T_{n}^{ω} (u) - \frac{\partial u^{n}}{\partial x^{j}} \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{m} \partial u^{n}} T_{n}^{m} (u) + \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{m}} \frac{\partial u^{n}}{\partial x^{j}} \frac{\partial T_{n}^{m} (u)}{\partial u^{l}}) \\ = & \frac{\partial u^{l}}{\partial x^{k}} (Γ_{l ω}^{m} \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{m}} \frac{\partial u^{n}}{\partial x^{j}} T_{n}^{ω} (u) - Γ_{m n}^{p} \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{p}} \frac{\partial u^{n}}{\partial x^{j}} T_{n}^{m} (u) + \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{m}} \frac{\partial u^{n}}{\partial x^{j}} \frac{\partial T_{n}^{m} (u)}{\partial u^{l}}) \\ = & \frac{\partial u^{l}}{\partial x^{k}} (Γ_{l ω}^{m} \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{m}} \frac{\partial u^{n}}{\partial x^{j}} T_{n}^{ω} (u) - Γ_{p n}^{m} \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{m}} \frac{\partial u^{n}}{\partial x^{j}} T_{n}^{p} (u) + \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{m}} \frac{\partial u^{n}}{\partial x^{j}} \frac{\partial T_{n}^{m} (u)}{\partial u^{l}}) \\ = & \frac{\partial u^{l}}{\partial x^{k}} \frac{\partial x^{i}}{\partial u^{m}} \frac{\partial u^{n}}{\partial x^{j}} (\frac{\partial T_{n}^{m} (u)}{\partial u^{l}} + Γ_{l ω}^{m} T_{n}^{ω} (u) - Γ_{p n}^{m} T_{n}^{p} (u)) . \end{array}$

なお、途中添字を入れ替えたところがある。

疲れましたね。

ですが、ここで気づいてほしかったのは次の2つのルールです。

(1)反変成分はそのまま接続係数で書き換える
(2)共変成分は変数変換してから接続係数で書き換える

これを一般化すると共変微分になります。

共変微分

まずは定義から。

共変微分

テンソル場を座標 $(x^{i})$ で偏微分してつくったテンソル場の座標 $(u^{i})$ でのテンソル成分を $\nabla_{i}$ で表す。

これを共変微分と呼ぶ。

たとえば、 $1$ 階反変 $1$ 階共変テンソルのときは

$\begin{array}{r} \nabla_{k} T_{j}^{i} = \frac{\partial T_{j}^{i}}{\partial u^{k}} + Γ_{k l}^{i} T_{j}^{l} - Γ_{k j}^{l} T_{l}^{i} \end{array}$

です。

共変微分には面白い性質がいくつもありますが、その1つが積の共変微分です。

積の共変微分

次が成立：

$\begin{array}{r} \nabla_{i} (A B) = (\nabla_{i} A) B + A (\nabla_{i} B) . \end{array}$

これは先程の計算からわかります。

これを用いると共変微分が簡単に計算できます。

というのも、任意のテンソル場は $0$ 階反変 $0$ 階共変テンソル場、 $1$ 階反変 $0$ 階共変テンソル場、 $0$ 階反変 $1$ 階共変テンソル場の3つのテンソル場の積で表せるからです。

ここで $0$ 階反変 $0$ 階共変、 $1$ 階反変 $0$ 階共変、 $0$ 階反変 $1$ 階共変テンソル場に対してそれぞれ共変微分を

$\begin{array}{r} \nabla_{i} f = \frac{\partial f}{\partial u^{i}}, \nabla_{j} T^{i} = \frac{\partial T^{i}}{\partial u^{j}} + Γ_{j k}^{i} T^{k}, \nabla_{j} T_{i} = \frac{\partial T_{i}}{\partial u^{j}} - Γ_{j i}^{k} T_{k} \end{array}$

で定め、それ以外のテンソル場の共変微分を積の共変微分で定めます。

そうするとうまく定義できるんですね。

これから共変微分を求める際にはそうしていこうと思います。

計量テンソル

この節では曲線の長さを求める方法を考えていこうと思います。

まずは正規直交座標が入っている平面上での曲線の長さを求めましょう。

座標平面上での2点 $A, B$ を結ぶ曲線が媒介変数 $t$ で

$\begin{array}{r} r (t) = (c^{' 1} (t), c^{' 2} (t)) (α \leq t \leq β) \end{array}$

と表されているものとします。

このとき、曲線 $A B$ の長さ $s$ は

$\begin{array}{rcl} s & = & \int_{α}^{β} | \frac{d r}{d t} | d t \\ = & \int_{α}^{β} \sqrt{\frac{d r}{d t} \cdot \frac{d r}{d t}} d t \end{array}$

となりますね。

正規直交座標 $(x)$ と一般の曲線座標 $(u)$ をとって同じことをします。

座標平面 $(u)$ 上での2点 $A, B$ を結ぶ曲線 $C$ が媒介変数 $t$ で

$\begin{array}{r} C : (u^{1}, u^{2}) = (c^{1} (t), c^{2} (t)) (α \leq t \leq β) \end{array}$

と表されているものとします。

このとき、 $C$ の $(x)$ 上の式は

$\begin{array}{rcl} x (t) & = & (x^{1} (u^{1}, u^{2}), x^{2} (u^{1}, u^{2})) \\ = & (x^{1} (c^{1} (t), c^{2} (t)), x^{2} (c^{1} (t), c^{2} (t))) \end{array}$

で表されます。両辺 $t$ で微分して、合成関数の偏微分を使い

$\begin{array}{rcl} \frac{d x}{d t} & = & (\frac{d}{d t} x^{1} (c^{1} (t), c^{2} (t)), \frac{d}{d t} x^{2} (c^{1} (t), c^{2} (t))) \\ = & (\frac{d c^{1} (t)}{d t} \frac{\partial}{\partial u^{1}} x^{1} (c^{1} (t), c^{2} (t)) + \frac{d c^{2} (t)}{d t} \frac{\partial}{\partial u^{2}} x^{1} (c^{1} (t), c^{2} (t)), \frac{d c^{1} (t)}{d t} \frac{\partial}{\partial u^{1}} x^{2} (c^{1} (t), c^{2} (t)) + \frac{d c^{2} (t)}{d t} \frac{\partial}{\partial u^{2}} x^{2} (c^{1} (t), c^{2} (t))) \\ = & \frac{d c^{1} (t)}{d t} \frac{\partial x (t)}{\partial u^{1}} + \frac{d c^{2} (t)}{d t} \frac{\partial x (t)}{\partial u^{2}} . \end{array}$

ここで

$\begin{array}{r} g_{i j} = \frac{\partial x}{\partial u^{i}} \cdot \frac{\partial x}{\partial u^{j}} \end{array}$

とおいて内積をとると、

$\begin{array}{rcl} \frac{d x}{d t} \cdot \frac{d x}{d t} & = & (\frac{d c^{1} (t)}{d t} \frac{\partial x (t)}{\partial u^{1}} + \frac{d c^{2} (t)}{d t} \frac{\partial x (t)}{\partial u^{2}}) \cdot (\frac{d c^{1} (t)}{d t} \frac{\partial x (t)}{\partial u^{1}} + \frac{d c^{2} (t)}{d t} \frac{\partial x (t)}{\partial u^{2}}) \\ = & \frac{d c^{i} (t)}{d t} \frac{\partial x (t)}{\partial u^{i}} \cdot \frac{d c^{j} (t)}{d t} \frac{\partial x (t)}{\partial u^{j}} \\ = & \frac{d c^{i} (t)}{d t} \frac{d c^{j} (t)}{d t} \frac{\partial x}{\partial u^{i}} \cdot \frac{\partial x}{\partial u^{j}} \\ = & g_{i j} \frac{d c^{i} (t)}{d t} \frac{d c^{j} (t)}{d t} . \end{array}$

よって曲線 $A B$ の長さ $s$ は

$\begin{array}{rcl} s & = & \int_{α}^{β} | \frac{d x}{d t} | d t \\ = & \int_{α}^{β} \sqrt{\frac{d x}{d t} \cdot \frac{d x}{d t}} d t \\ = & \int_{α}^{β} \sqrt{g_{i j} \frac{d c^{i} (t)}{d t} \frac{d c^{j} (t)}{d t}} d t \end{array}$

となりますね。

この $g_{i j}$ こそが計量テンソルです。

計量テンソルの登場により曲線の長さの公式が一般化できました。

実際、 $g_{i j} = δ_{i j}$ (クロネッカーのデルタ)とすると最初に求めた直線座標での曲線の長さの公式に一致します。

計量テンソル

計量テンソル $g$ の正規直交座標 $(x)$ での成分を

$\begin{array}{r} g_{i j} = \frac{\partial x}{\partial u^{i}} \cdot \frac{\partial x}{\partial u^{j}} \end{array}$

で定義する。

$g_{i j}$ が $2$ 階共変テンソルとなることを示せ。

解答

曲線座標 $(u)$ での計量 $g_{i j} (u)$ と曲線座標 $(u^{'})$ での計量 $g_{i j}^{'} (u^{'})$ を考えると、

$\begin{array}{rcl} g_{i j} (u) & = & \frac{\partial x}{\partial u^{i}} \cdot \frac{\partial x}{\partial u^{j}} \\ = & (\frac{\partial x^{1}}{\partial u^{i}}, \dots, \frac{\partial x^{n}}{\partial u^{i}}) \cdot (\frac{\partial x^{1}}{\partial u^{j}}, \dots, \frac{\partial x^{n}}{\partial u^{j}}) \\ = & \sum_{k} \frac{\partial x^{k}}{\partial u^{i}} \frac{\partial x^{k}}{\partial u^{j}} \\ = & \sum_{k} \frac{\partial u^{' l}}{\partial u^{i}} \frac{\partial x^{k}}{\partial u^{' l}} \frac{\partial u^{' m}}{\partial u^{j}} \frac{\partial x^{k}}{\partial u^{' m}} \\ = & \frac{\partial u^{' l}}{\partial u^{i}} \frac{\partial u^{' m}}{\partial u^{j}} \sum_{k} \frac{\partial x^{k}}{\partial u^{' l}} \frac{\partial x^{k}}{\partial u^{' m}} \\ = & \frac{\partial u^{' l}}{\partial u^{i}} \frac{\partial u^{' m}}{\partial u^{j}} g_{l m}^{'} (u^{'}) . \end{array}$

よってテンソル場の定義より $g_{i j}$ は $2$ 階の共変テンソルである。

ここで、基底ありのテンソル場の定義を思い出しましょう。

テンソル場(基底あり)

座標 $(x)$ に対して座標 $(u)$ を任意に取る。

このとき、

が成立するならば、

もまた成立する。これを $r$ 階反変 $s$ 階共変テンソル場と呼ぶ。

この記法を使うと、計量テンソルを $g = g_{i j} d u^{i} \otimes d u^{j}$ と表すことができます。

正規直交座標 $(x, y)$ を基準とし、 $(x, y) = (r \cos θ, r \sin θ)$ と極座標で表されているときの計量テンソル $g$ を求めよ。

方法1

$x = (x, y)$ とする。定義通り計算すると、

$\begin{array}{r} \frac{\partial x}{\partial r} = (\cos θ, \sin θ), \frac{\partial x}{\partial θ} = (- r \sin θ, r \cos θ) \end{array}$

より

$\begin{array}{r} \frac{\partial x}{\partial r} \cdot \frac{\partial x}{\partial r} = 1, \frac{\partial x}{\partial r} \cdot \frac{\partial x}{\partial θ} = \frac{\partial x}{\partial θ} \cdot \frac{\partial x}{\partial r} = 0, \frac{\partial x}{\partial θ} \cdot \frac{\partial x}{\partial θ} = r^{2} . \end{array}$

よって $g = d r \otimes d r + r^{2} d θ \otimes d θ .$

方法2

$x = r \cos θ, y = r \sin θ$ をそれぞれ全微分して $d x = \cos θ d r - r \sin θ d θ$ および $d y = \sin θ d r + r \cos θ d θ$ を得る。

直交座標上の計量テンソルの式 $g = d x \otimes d x + d y \otimes d y$ に代入して、

$\begin{array}{rcl} g & = & d x \otimes d x + d y \otimes d y \\ = & (\cos θ d r - r \sin θ d θ) \otimes (\cos θ d r - r \sin θ d θ) + (\sin θ d r + r \cos θ d θ) \otimes (\sin θ d r + r \cos θ d θ) \\ = & d r \otimes d r + r^{2} d θ \otimes d θ . \end{array}$

どちらの方法でも同じ答えが出せましたね。

計量テンソルの重要な役割があります。

それは添字の上げ下げです。

計量テンソルは $2$ 階共変テンソルかつ対称テンソルでしたね。

なので添字を上げ下げするのには非常に便利なのです。

その威力は後で体感していただくとしましょう。

計量テンソルの公式

計量テンソルと接続係数の関係式を求めます。

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial g_{i j}}{\partial u^{k}} & = & \frac{\partial}{\partial u^{k}} (\frac{\partial x}{\partial u^{i}} \cdot \frac{\partial x}{\partial u^{j}}) \\ = & \frac{\partial}{\partial u^{k}} \sum_{l} \frac{\partial x^{l}}{\partial u^{i}} \frac{\partial x^{l}}{\partial u^{j}} \\ = & \sum_{l} (\frac{\partial^{2} x^{l}}{\partial u^{k} u^{i}} \frac{\partial x^{l}}{\partial u^{j}} + \frac{\partial x^{l}}{\partial u^{i}} \frac{\partial^{2} x^{l}}{\partial u^{k} u^{j}}) \\ = & \frac{\partial^{2} x}{\partial u^{k} u^{i}} \cdot \frac{\partial x}{\partial u^{j}} + \frac{\partial x}{\partial u^{i}} \cdot \frac{\partial^{2} x}{\partial u^{k} u^{j}} \\ = & (Γ_{k i}^{l} \frac{\partial x}{\partial u^{l}}) \cdot \frac{\partial x}{\partial u^{j}} + \frac{\partial x}{\partial u^{i}} \cdot (Γ_{k j}^{l} \frac{\partial x}{\partial u^{l}}) \\ = & Γ_{k i}^{l} g_{l j} + Γ_{k j}^{l} g_{i l} . \end{array}$

よって

$\begin{array}{r} \frac{\partial g_{i j}}{\partial u^{k}} = Γ_{k i}^{l} g_{l j} + Γ_{k j}^{l} g_{i l} . \end{array}$

同様にして、

$\begin{array}{r} \frac{\partial g_{j k}}{\partial u^{i}} = Γ_{i j}^{l} g_{l k} + Γ_{i k}^{l} g_{j l}, \frac{\partial g_{k i}}{\partial u^{j}} = Γ_{j k}^{l} g_{l i} + Γ_{j i}^{l} g_{k l} \end{array}$

も得られます。接続係数と計量の下添字の対称性から

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} (\frac{\partial g_{i j}}{\partial u^{k}} + \frac{\partial g_{j k}}{\partial u^{i}} - \frac{\partial g_{k i}}{\partial u^{j}}) & = & \frac{1}{2} (Γ_{k i}^{l} g_{l j} + Γ_{k j}^{l} g_{i l} + Γ_{i j}^{l} g_{l k} + Γ_{i k}^{l} g_{j l} - Γ_{j k}^{l} g_{l i} - Γ_{j i}^{l} g_{k l}) \\ = & Γ_{k i}^{l} g_{l j} . \end{array}$

ここで $g_{i k} g^{k j} = δ_{i}^{j}$ を満たす $2$ 階反変テンソル $g^{i j}$ が存在するならば(普通は存在する)、

$\begin{array}{r} Γ_{k i}^{l} g_{l j} g^{j l^{'}} = Γ_{k i}^{l} δ_{l}^{l^{'}} = Γ_{k i}^{l^{'}} = \frac{1}{2} g^{j l^{'}} (\frac{\partial g_{i j}}{\partial u^{k}} + \frac{\partial g_{j k}}{\partial u^{i}} - \frac{\partial g_{k i}}{\partial u^{j}}) \end{array}$

を得ます。

計量と接続係数の関係

次が成立：

$\begin{array}{r} Γ_{k i}^{l} = \frac{1}{2} g^{j l} (\frac{\partial g_{i j}}{\partial u^{k}} + \frac{\partial g_{j k}}{\partial u^{i}} - \frac{\partial g_{k i}}{\partial u^{j}}) . \end{array}$

この公式の威力は後ほど体感してください。

さらにもうひとつ計量には特徴があります。

それがこちらです。

計量と共変微分の関係

次の4つが成立：

(i) $\nabla_{k} g_{i j} = 0$
(ii) $\nabla_{k} (g_{i j} T) = g_{i j} \nabla_{k} (T)$
(iii) $\nabla_{k} g^{i j} = 0$
(iv) $\nabla_{k} (g^{i j} T) = g^{i j} \nabla_{k} (T)$

(i) $A_{i}$ と $B_{j}$ をそれぞれ $1$ 階共変テンソルとすると、 $T_{i j} = A_{i} B_{j}$ は $2$ 階共変テンソルになる。

積の共変微分より

$\begin{array}{rcl} \nabla_{k} (T_{i j}) & = & \nabla_{k} (A_{i} B_{j}) \\ = & \nabla_{k} (A_{i}) B_{j} + A_{i} \nabla_{k} (B_{j}) \\ = & (\frac{\partial A_{i}}{\partial u^{k}} - Γ_{k i}^{l} A_{l}) B_{j} + A_{i} (\frac{\partial B_{j}}{\partial u^{k}} - Γ_{k j}^{l} B_{l}) \\ = & \frac{\partial A_{i}}{\partial u^{k}} B_{j} + A_{i} \frac{\partial B_{j}}{\partial u^{k}} - Γ_{k i}^{l} A_{l} B_{j} - Γ_{k j}^{l} A_{i} B_{l} \\ = & \frac{\partial (A_{i} B_{j})}{\partial u^{k}} - Γ_{k i}^{l} A_{l} B_{j} - Γ_{k j}^{l} A_{i} B_{l} \\ = & \frac{\partial T_{i j}}{\partial u^{k}} - Γ_{k i}^{l} T_{l j} - Γ_{k j}^{l} T_{i l} . \end{array}$

これより $2$ 階共変テンソルに対する一般的な共変微分が得られた。

$T_{i j} = g_{i j}$ とし代入すると、

$\begin{array}{rcl} \nabla_{k} (g_{i j}) & = & \frac{\partial g_{i j}}{\partial u^{k}} - Γ_{k i}^{l} g_{l j} - Γ_{k j}^{l} g_{i l} \\ = & 0. \end{array}$

(ii)積の共変微分と(i)より即座に得られる。

(iii)

$\begin{array}{rcl} \nabla_{l} (g_{i k} g^{k j}) & = & \nabla_{l} (δ_{i}^{j}) \\ = & 0 \\ = & \nabla_{l} (g_{i k}) g^{k j} + g_{i k} \nabla_{l} (g^{k j}) \\ = & g_{i k} \nabla_{l} (g^{k j}) \end{array}$

より $\nabla_{l} (g^{k j}) = 0$ を得る。

(iv)積の共変微分と(iii)より即座に得られる。

これにより計量は共変微分において定数と同じように扱えます。

曲面のテンソル場

ここまでは平面に埋め込まれている直線座標と曲線座標の間でのテンソル場を調べていきました。

ここからは $R^{3}$ に埋め込まれている $3$ 次元の曲面上のテンソル場について調べていきます。

$0 < R$ を定数とする。球面 $E (θ, φ) = (R \sin θ \cos φ, R \sin θ \sin φ, R \cos θ)$ の接ベクトルを

$\begin{array}{r} \frac{\partial E}{\partial θ}, \frac{\partial E}{\partial φ} \end{array}$

で与えるとき、それらの $θ, φ$ による微分を

$\begin{array}{r} \frac{\partial E}{\partial θ}, \frac{\partial E}{\partial φ}, n (θ, φ) \end{array}$

の線形結合で表せ。ここに、 $n (θ, φ)$ は球面 $E$ の単位法線ベクトルである。

解答

$\begin{array}{r} \frac{\partial E}{\partial θ} = (\begin{array}{c} R \cos θ \cos φ \\ R \cos θ \sin φ \\ - R \sin θ \end{array}), \frac{\partial E}{\partial φ} = (\begin{array}{c} - R \sin θ \sin φ \\ R \sin θ \cos φ \\ 0 \end{array}), n (θ, φ) = (\begin{array}{c} \sin θ \cos φ \\ \sin θ \sin φ \\ \cos θ \end{array}) \end{array}$

で与えられる。また、

$\begin{array}{r} \frac{\partial^{2} E}{\partial θ \partial θ} = (\begin{array}{c} - R \sin θ \cos φ \\ - R \sin θ \sin φ \\ - R \cos θ \end{array}), \frac{\partial^{2} E}{\partial θ \partial φ} = \frac{\partial^{2} E}{\partial φ \partial θ} = (\begin{array}{c} - R \cos θ \sin φ \\ R \cos θ \cos φ \\ 0 \end{array}), \frac{\partial^{2} E}{\partial φ \partial φ} = (\begin{array}{c} - R \sin θ \cos φ \\ - R \sin θ \sin φ \\ 0 \end{array}) . \end{array}$

よって、

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial^{2} E}{\partial θ \partial θ} = - R n (θ, φ), \\ \frac{\partial^{2} E}{\partial θ \partial φ} = \frac{\partial^{2} E}{\partial φ \partial θ} = \frac{\cos θ}{\sin θ} \frac{\partial E}{\partial φ}, \\ \frac{\partial^{2} E}{\partial φ \partial φ} = - \sin θ \cos θ \frac{\partial E}{\partial θ} - R \sin^{2} θ n (θ, φ) . \end{array}$

このように、 $R^{3}$ 上で2つの変数で媒介変数表示されている曲面の $2$ 階微分は接ベクトルだけの線形結合では表すことはできません。

余計な $n$ が必要になってくるからですね。

そこで、球面 $E (θ, φ)$ を全世界として接ベクトルの微分を計算してみましょう。

どういう意味かというと、 $R^{3}$ 上の曲面を考えたから余計な法線ベクトルがでてきてしまったのです。

だから球面 $E$ を $2$ 次元の曲線座標と見て微分を実行することにします。

そのためにどうするかというと、 $R^{3}$ 上での微分の結果を球面 $E$ の接平面に正射影します。

たとえば、正規直交座標 $(x, y, z)$ で定義されたベクトル $(2, 4, 5)$ を $x y$ 平面に正射影すると $(2, 4)$ になりますね。

一般的にベクトルを正射影すると、基底のどれかが $0$ ベクトルになり次元が1つ下がります。

それを使いましょう。

さっきの問題では、接平面に正射影したベクトルは

$\begin{array}{rcl} \frac{\partial^{2} E}{\partial θ \partial θ} \leftrightarrow 0, \\ \frac{\partial^{2} E}{\partial θ \partial φ} = \frac{\partial^{2} E}{\partial φ \partial θ} \leftrightarrow \frac{\cos θ}{\sin θ} \frac{\partial E}{\partial φ}, \\ \frac{\partial^{2} E}{\partial φ \partial φ} \leftrightarrow - \sin θ \cos θ \frac{\partial E}{\partial θ} . \end{array}$

となりますね。

こうして定義したベクトル $p_{i}$ が次の式を満たすのは明らかですね：

$\begin{array}{r} \frac{\partial p_{j}}{\partial u^{k}} = Γ_{j k}^{i} p_{i} . \end{array}$

実際、さっきの問題で $u^{1} = r, u^{2} = θ$ とし、

$\begin{array}{r} p_{1} = \frac{\partial E}{\partial θ}, p_{2} = \frac{\partial E}{\partial φ} \end{array}$

とすると

$\begin{array}{r} Γ_{11}^{1} = 0, Γ_{11}^{2} = 0, Γ_{12}^{1} = 0, Γ_{12}^{2} = \frac{\cos θ}{\sin θ}, Γ_{21}^{1} = 0, Γ_{21}^{2} = \frac{\cos θ}{\sin θ}, Γ_{22}^{1} = - \sin θ \cos θ, Γ_{22}^{2} = 0 \end{array}$

なので

$\begin{array}{r} \frac{\partial p_{1}}{\partial u^{1}} = Γ_{11}^{1} p_{1} + Γ_{11}^{2} p_{2}, \frac{\partial p_{1}}{\partial u^{2}} = Γ_{12}^{1} p_{1} + Γ_{12}^{2} p_{2}, \frac{\partial p_{2}}{\partial u^{1}} = Γ_{21}^{1} p_{1} + Γ_{21}^{2} p_{2} \frac{\partial p_{2}}{\partial u^{2}} = Γ_{22}^{1} p_{1} + Γ_{22}^{2} p_{2} \end{array}$

なので成立しています。

一般的に $2$ 次元の曲面を $S$ とします。

$R^{3}$ 上では、曲面の微分は

$\begin{array}{r} \frac{\partial^{2} S}{\partial u^{i} \partial u^{j}} = Γ_{i j}^{k} \frac{\partial S}{\partial u^{k}} + n_{i j} \end{array}$

となります。

邪魔な法線ベクトル成分 $n_{i j}$ がありテンソル場とは言えませんでした。

ですがこれを接平面に正射影すると、 $S$ 上で

$\begin{array}{r} \frac{\partial^{2} S}{\partial u^{i} \partial u^{j}} = Γ_{i j}^{k} \frac{\partial S}{\partial u^{k}} \end{array}$

が得られました。

これは間違いなく接続係数の定義を満たしテンソル場になります。

つまり、曲面の微分は $R^{3}$ 上ではテンソル場にならないけれど、 $S$ 上ではテンソル場になるということです。

これを曲面のテンソル場とします。

状況を整理しましょう。

$R^{3}$ の世界に住んでいる人から見れば、間違いなく

$\begin{array}{r} \frac{\partial^{2} S}{\partial u^{i} \partial u^{j}} = Γ_{i j}^{k} \frac{\partial S}{\partial u^{k}} + n_{i j} \end{array}$

です。

ですが、 $S$ 上に住んでいる人から見れば $n_{i j}$ は認識できません。

$n_{i j}$ が $S$ に正射影されて $0$ ベクトルになることに対応しています。

そうすると、 $S$ に住んでいる人から見れば間違いなく

$\begin{array}{r} \frac{\partial^{2} S}{\partial u^{i} \partial u^{j}} = Γ_{i j}^{k} \frac{\partial S}{\partial u^{k}} \end{array}$

となります。

ここで、もう1つ問題です。

$0 < R$ を定数とする。球面 $E (θ, φ) = (R \sin θ \cos φ, R \sin θ \sin φ, R \cos θ)$ が与えられている。

また、 $R^{3}$ 上の正規直交座標を $(x) = (x, y, z)$ とする。

$E$ を $3$ 次元空間 $R^{3}$ 上の曲面と見たとき、 $R^{3}$ 上での接ベクトルを計算することにより $E$ でみた $u = θ, φ$ の接続係数を求めよ。
$E$ を $2$ 次元の曲面と見たとき、計量テンソル
$\begin{array}{r} g_{i j} = \frac{\partial E}{\partial u^{i}} \cdot \frac{\partial E}{\partial u^{j}} \end{array}$
および接続係数と計量を結びつける公式
$\begin{array}{r} Γ_{k i}^{l} = \frac{1}{2} g^{j l} (\frac{\partial g_{i j}}{\partial u^{k}} + \frac{\partial g_{j k}}{\partial u^{i}} - \frac{\partial g_{k i}}{\partial u^{j}}) \end{array}$
を使い $E$ でみた $u = θ, φ$ の接続係数を求めよ。

解答

$u^{1} = θ, u^{2} = φ$ とする。

法線ベクトルも考えることにより
$\begin{array}{r} Γ_{11}^{1} = 0, Γ_{11}^{2} = 0, Γ_{12}^{1} = 0, Γ_{12}^{2} = \frac{\cos θ}{\sin θ}, Γ_{21}^{1} = 0, Γ_{21}^{2} = \frac{\cos θ}{\sin θ}, Γ_{22}^{1} = - \sin θ \cos θ, Γ_{22}^{2} = 0 \end{array}$
を得る。
計量を求めると
$\begin{array}{r} g_{11} = R^{2}, g_{12} = g_{21} = 0, g_{22} = R^{2} \sin^{2} θ . \end{array}$
よって
$\begin{array}{r} g_{22} = \frac{1}{R^{2}}, g_{12} = g_{21} = 0, g_{22} = \frac{1}{R^{2} \sin^{2} θ} . \end{array}$
これらより
$\begin{array}{rcl} Γ_{11}^{1} = \frac{1}{2} g^{j 1} (\frac{\partial g_{1 j}}{\partial u^{1}} + \frac{\partial g_{j 1}}{\partial u^{1}} - \frac{\partial g_{11}}{\partial u^{j}}) = 0, \\ Γ_{11}^{2} = \frac{1}{2} g^{j 2} (\frac{\partial g_{1 j}}{\partial u^{1}} + \frac{\partial g_{j 1}}{\partial u^{1}} - \frac{\partial g_{11}}{\partial u^{j}}) = 0, \\ Γ_{12}^{1} = \frac{1}{2} g^{j 1} (\frac{\partial g_{2 j}}{\partial u^{1}} + \frac{\partial g_{j 1}}{\partial u^{2}} - \frac{\partial g_{12}}{\partial u^{j}}) = 0, \\ Γ_{12}^{2} = \frac{1}{2} g^{j 2} (\frac{\partial g_{2 j}}{\partial u^{1}} + \frac{\partial g_{j 1}}{\partial u^{2}} - \frac{\partial g_{12}}{\partial u^{j}}) = \frac{\cos θ}{\sin θ}, \\ Γ_{21}^{1} = \frac{1}{2} g^{j 1} (\frac{\partial g_{1 j}}{\partial u^{2}} + \frac{\partial g_{j 2}}{\partial u^{1}} - \frac{\partial g_{21}}{\partial u^{j}}) = 0, \\ Γ_{21}^{2} = \frac{1}{2} g^{j 2} (\frac{\partial g_{1 j}}{\partial u^{2}} + \frac{\partial g_{j 2}}{\partial u^{1}} - \frac{\partial g_{21}}{\partial u^{j}}) = \frac{\cos θ}{\sin θ}, \\ Γ_{22}^{1} = \frac{1}{2} g^{j 1} (\frac{\partial g_{2 j}}{\partial u^{2}} + \frac{\partial g_{j 2}}{\partial u^{2}} - \frac{\partial g_{22}}{\partial u^{j}}) = - \sin θ \cos θ, \\ Γ_{22}^{2} = \frac{1}{2} g^{j 2} (\frac{\partial g_{2 j}}{\partial u^{2}} + \frac{\partial g_{j 2}}{\partial u^{2}} - \frac{\partial g_{22}}{\partial u^{j}}) = 0 \end{array}$
を得る。