ディリクレ積分の複素積分を用いない解法

積分をいじってたら$1/x$がうまいこと表せて, ディリクレ積分に使えるじゃんと思ったので.
\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx &=&\int_{0}^{\infty}\sin x\biggl(\int_{0}^{\infty}e^{-xy}dy\biggr)dx\\ &=&\int_{0}^{\infty}dx\int_{0}^{\infty}\sin xe^{-xy}dy\\ &=&\int_{0}^{\infty}dy\int_{0}^{\infty}\sin xe^{-xy}dx\\ &=&\int_{0}^{\infty}dy\int_{0}^{\infty} \mathfrak{I} \bigl(e^{(i-y)x}\bigr)dx\\ &=&\int_{0}^{\infty}dy\biggl[-\frac{\cos xe^{-xy}}{1+y^2}-\frac{y\sin xe^{-xy}}{1+y^2}\biggr]_{0}^{\infty}\\ &=&\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+y^2}dy\\ &=&\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}

終わりに

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}y^{a-1}w^{-xy}dy=\frac{(-1)^a(a-1)!}{x^a}}$を使えばまだいじれそう.