位相空間論 #1

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位相空間論 #1

1.1 初めに

距離空間の基礎的な知識を理解しているものとして, 位相空間論の学習を目的とする.
de Rham 理論までを目標として, 被覆空間, 基本群, 単体的複体, 多様体, de Rham 複体の基本的な定理をなるべく厳密に構築していきたいと思う.
私の復習と位相空間論を学びたい人の学習のため記事を書く.

1.2 記号と用語の定義

便宜上, 必要になるかは分からないが記号と用語の定義をしておく.

$N$ :自然数(正の整数)全体の集合.
$Z$ :整数全体の集合.
$Q$ :有理数全体の集合.
$R$ :実数全体の集合.
$C$ :複素数全体の集合.
$A^{c}$ : $X$ における $A$ の補集合( $A \subset X$ )
$P (X)$ : $X$ における冪集合( $X$ の部分集合全体の集合)

今後, 必要な記号があればその都度定義していくことにする.

1.3 位相(開集合系)

位相(topology)という言葉は聞き馴染みがないかもしれないが, 開集合系(system of open sets)と言えば距離空間を学んだものには分かり易い表現だろう.
しかし, 距離空間では距離を用いて開集合(open set)を定義したが, 位相空間論に距離は必ずしも存在しない.
位相空間の開集合の定義は, 距離空間での開集合の定義を拡張したものにしなければならないのだ.
そこで, 開集合が満たすべき最低限の性質を抜き出し, 開集合を距離を使わずに特徴付ける.

1.3.1 位相(開集合系)の公理

集合 $X$ に対し, $O \subset P (X)$ とする.
$O$ が $X$ 上の位相(topology)または開集合系(system of open sets)と呼ばれる時, 次の性質を満たす.
$\begin{aligned} (O1) \emptyset, X \in O \\ (O2)^{\forall} {O_{i}}_{i = 1}^{n} \subset O ⟹ ⋂_{i = 1}^{n} O_{i} \in O \\ (O3)^{\forall} {O_{λ}}_{λ \in Λ} ⟹ ⋃_{λ \in Λ} O_{λ} \in O \end{aligned}$
この時, $O$ の元を開集合(open set)と呼ぶ.
また, 開集合 $O \in O$ の補集合 $O^{c}$ を閉集合(closed set)と呼ぶ.

(但し, $n \in N$ とする.)
これは当然距離空間の開集合の定義の拡張である.
通常, 距離空間 $(X, d)$ において距離の定める位相を
$O_{d} := {O \subset X |^{\forall} x \in X,^{\exists} ε > 0 s.t. N_{ε} (x)} .$
と定める. 但し, $N_{ε} (x)$ は $x \in X$ における $ε$ 近傍(neighborhood) であり,
$N_{ε} (x) = {y \in X | d (x, y) < ε} .$
で定められている.
さて, 距離の定める位相(この時点ではまだ位相と断定できないが便宜上そう呼ぶ) $O_{d}$ が位相の公理を満たしている事を確認すれば, 位相空間は距離空間の拡張であり, 位相空間論は距離空間にも適応できる事が分かる.

1.3.2

距離空間 $(X, d)$ において, 距離の定める位相 $O_{d}$ は位相の公理を満たす.

クリックして証明を表示する.

(O1),(O2),(O3)を満たすことを順番に確かめる.

^{\forall} x \in \emptyset,^{\exists} ε > 0 s.t. N_{ε} (x) \subset \emptyset .

は真であるため,

\emptyset \in O_{d}

一方, どんな

x \in X

に対しても適当(何でも良い)な

ε > 0

を取れば, 近傍の定義から

N_{ε} (x) \subset X

であるから

X \in O_{d}

.
従って

O_{d}

は(O1)を満たす.
この証明は距離空間において全体集合と空集合が開集合かつ閉集合だという証明に等しい.

続いて, 任意に有限個の

O_{d}

の列

{O_{i}}_{i = 1}^{n} (n \in N)

を取る.
この時,

⋂_{i = 1}^{n} O_{i} = \emptyset

ならば(O1)より(O2)を満たす.

⋂_{i = 1}^{n} O_{i} \neq \emptyset

ならば, 任意の

x \in ⋂_{i = 1}^{n} O_{i}

と

i

に対して

N_{ε_{i}} (x) \subset O_{i}

となる

ε_{i}

が存在する.
実部分有限集合には最小値が存在するため,

min {ε_{i}}_{i = 1}^{n} = ε

と置くと, 任意の

i

に対して

d (x, y) < ε_{i} ⟹ d (x, y) < ε

が成り立つため,

N_{ε} (x) \subset N_{ε_{i}} (x) \subset O_{i}

が成立.
従って, 任意の

x \in ⋂_{i = 1}^{n} O_{i}

に対し

N_{ε} (x) \subset ⋂_{i = 1}^{n} O_{i}

が成立するため,

⋂_{i = 1}^{n} O_{i} \in O_{d}

O_{d}

は(O2)を満たすことが分かった.
尚, この証明は距離空間において開集合の有限の共通部分が開集合になることの証明に等しい.

最後に, 任意に任意個の

O_{d}

の族

{O_{λ}}_{λ \in Λ}

を取る.
この時, 任意の

x \in ⋃_{λ \in Λ} O_{λ}

に対して,

x \in O_{λ_{x}}

となる

λ_{x} \in Λ

が存在するため,

O_{λ_{x}} \in O_{d}

より,

^{\exists} ε > 0 s.t. N_{ε} (x) \subset O_{λ_{x}}

を満たす.

O_{λ_{x}} \subset ⋃_{λ \in Λ} O_{λ}

であるため, 任意の

x \in ⋃_{λ \in Λ} O_{λ}

に対し,

N_{ε} (x) \subset ⋃_{λ \in Λ} O_{λ}

が成り立つため,

O_{d}

は(O3)を満たす.
尚, この証明は距離空間において開集合の任意の合併が開集合になることの証明だ.

以上より,

O_{d}

は位相の公理を満たす.
すなわち, 距離で定まる開集合系は位相空間としての開集合系(位相)の公理を満たす.

この定理により, 位相空間での様々な議論は距離空間においても成立する事実になる. 位相空間という広い世界で何が成り立っているのか, 距離空間で成り立つ定理はどこまで位相空間で成り立っているのかを考えるのは, 非常に重要なことだ. 距離空間に定まっている性質をどこまで位相空間に拡張できるのかも良い見所だろう.

1.4 位相空間の例

位相空間に要求した性質はその集合に属する元同士の近さの指標である.
例えば, $3$ つの異なる元からなる集合 $X = {a, b, c}$ に対して, $O_{0}$ を $O_{0} = {\emptyset, {a}, {a, b}, {a, b, c}}$ 等と定めれば $(X, O_{0})$ は位相空間となる. (O1),(O2),(O3)を満たすことを確認すれば良いが, $\emptyset, X \in O_{0}$ は自明であり, どの組み合わせの合併, 共通部分も $O_{0}$ に含まれていることを示すのは簡単だろう.
位相 $O_{0}$ は $X$ に対して, $a$ という元の近くを見れば $a$ 自身しか映らないようにも見れるし, もう少し離れれば $a$ の近くには $b$ がいて, 更に離れれば同時に $c$ も視界に入れることができるという"近さ"という概念の抽象化であることが分かる. しかし, この位相 $O_{0}$ では $b$ と $c$ は近くには存在せず, 最も離れて見たとき(すなわち全体を見たとき)にしか互いを視界に映すことはできない, 結構離れた元同士だと言っているとも考えることができる.
これはある集合の元同士の"距離"というものを抽象化し, まさに"近さ"という概念のみを抽出したものだと解釈するのが良いだろう.

一方, 同じ集合 $X = {a, b, c}$ に対して, 位相を $O_{1} = {\emptyset, {b, c}, {a, b, c}}$ 等と定めると, 今度は打って変わって $b$ と $c$ はどれだけ近くで見ても同時に見えるほど近い関係にあると言える. 逆に, $b, c$ から $a$ は全体が見えるまで離れないと見えてこない位には遠い元だとも言えるだろう.

今の例のように同じ集合に対しても異なる位相構造を定めることができる. つまり, 距離空間が距離の測り方を様々な視点から見れたように, 元同士の近さを様々な視点で見ることができるのが位相空間である.

1.5 連続性

開集合を定めることが近さの概念を定めることだと分かれば, 位相空間上の関数の連続性が議論できる筈だ.
私たちは大学一年生の頃に $ε - δ$ 論法なるもので実数上の極限や連続性を議論できた. $ε - δ$ 論法は任意の実数によってその範囲を抑える( $| f (x) - f (y) | < ε$ )ことで"限りなく近い"という概念を数式的に表した. これを距離空間に拡張し, "範囲を抑える"というのを距離の不等式( $d (f (x), f (y)) < ε$ )と解釈したのが距離空間における連続性である.
では, 位相空間では距離空間ではどのようにして"限りなく近い"という表現をするのかを距離空間を復習しながら考えていこう.

1.6 距離空間における関数(写像)の連続性

距離空間の連続性の定義を思い出していこう.
まず, $X, Y \subset R$ における関数 $f : X \to Y$ の連続性は次のように定義されていた.
$^{\forall} x \in X,^{\forall} ε > 0,^{\exists} δ > 0 s.t.^{\forall} y \in X, | x - y | < δ ⟹ | f (x) - f (y) | < ε .$
次に, 多変数関数の場合, $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in X \subset R^{n}, y = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}) \in Y \subset R^{m}$ における関数 $f = (f_{1}, f_{2}, \dots, f_{m}) : X \to Y$ の連続性は
$^{\forall} x \in X,^{\forall} ε > 0,^{\exists} δ > 0 s.t.^{\forall} y \in X, \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - y_{i})^{2}} < δ ⟹ \sqrt{\sum_{j = 1}^{m} (f_{j} (x) - f_{j} (y))^{2}} < ε .$
で定義されていた.

ここからが一般の距離空間の例で, 距離空間 $(X, d_{X}), (Y, d_{Y})$ における関数 $f : X \to Y$ の連続性は
$^{\forall} x \in X,^{\forall} ε > 0,^{\exists} δ > 0 s.t.^{\forall} y \in X, d_{X} (x, y) < δ ⟹ d_{Y} (f (x), f (y)) < ε .$
で定義されることが多いだろう.
この定義はユークリッド空間 $R^{n}$ の拡張になっており, 先程までの定義は距離空間の中でも, 特に集合 $R^{n}$ に対し, ユークリッド距離 $d_{n} (x, y) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - y_{i})^{2}}$ が入れられている特別な場合だと思うことができたわけである. 要するに, 元々ユークリッド距離だった場所を一般の距離だと思い直すことによって距離空間の連続性の定義に拡張した.
では, 今度はこの距離で定義した連続性を, 距離を使わない開集合だけで表せられれば位相空間にそのまま拡張できそうだ.
ここで次の定理を示してみよう.

1.6.1

$(X, d_{X}), (Y, d_{Y})$ を距離空間とする.
この時, $f : X \to Y$ の"距離空間における"連続性の定義は次の条件に同値である.
$^{\forall} U \in O_{d_{Y}}, f^{- 1} (U) \in O_{d_{X}} .$

クリックして証明を表示する.

この条件が距離空間における連続性の定義の必要条件かつ十分条件であることを示せば十分である.
ここで, 連続性の定義を開集合の言葉に一つ言い換えてみよう.
任意の

x \in X

に対して

^{\forall} ε > 0,^{\exists} δ > 0 s.t.^{\forall} y \in X, d_{X} (x, y) < δ ⟹ d_{Y} (f (x), f (y)) < ε .

が成り立っているから, 近傍で表せば,

^{\forall} ε > 0,^{\exists} δ > 0 s.t.^{\forall} y \in N_{δ} (x) ⟹ f (y) \in N_{ε} (f (x)) .

が成り立つ. 逆像を取れば,

\begin{aligned} ^{\forall} ε > 0,^{\exists} δ > 0 s.t.^{\forall} y \in N_{δ} (x) ⟹ y \in f^{- 1} (N_{ε} (f (x))) . \\ ⟺ & ^{\forall} ε > 0,^{\exists} δ > 0 s.t. N_{δ} (x) \subset f^{- 1} (N_{ε} (f (x))) . \\ ⟺ & ^{\forall} ε > 0,^{\exists} δ > 0 s.t. f (N_{δ} (x)) \subset N_{ε} (f (x)) . \end{aligned}

となる.
これは非常に理解しやすい式で, どんな行先(

f (x)

)の近傍も, ある元(

x

)の近傍の行先に含まれるということだから, イメージをするのもそう難しいことではない.
さて, この言い換えを使って証明していく.

まずは

f

が距離空間における連続性の定義を満たすとする. 任意の開集合

U \in O_{d_{Y}}

を固定し, 任意に

z \in f^{- 1} (U)

となる

z

を取る. この

z

に対して

^{\exists} ε_{0} > 0 s.t. N_{ε_{0}} \subset U

を示せれば良い.

z \in f^{- 1} (U) \subset X

より

f (z) \in U

であり,

U

は

Y

上の開集合であるため,

N_{ε_{0}} (f (z)) \subset U

となるある

ε_{0} > 0

が存在する.

ε = ε_{0}

と取れば,

\begin{aligned} ^{\forall} x \in X,^{\forall} ε > 0,^{\exists} δ > 0 s.t. N_{δ} (x) \subset f^{- 1} (N_{ε} (f (x))) . \\ ⟹ & ^{\forall} U \in O_{d_{Y}},^{\forall} z \in f^{- 1} (U),^{\exists} δ > 0 s.t. N_{δ} (z) \subset f^{- 1} (U) . \\ ⟺ & ^{\forall} U \in O_{d_{Y}}, f^{- 1} (U) \in O_{d_{X}} . \end{aligned}

従って, これは必要条件となる.

次に, 十分性を確認する. 即ち,

^{\forall} U \in O_{d_{Y}}, f^{- 1} (U) \in O_{d_{X}}

を仮定する.
開集合の定義により,

\begin{aligned} ^{\forall} U \in O_{d_{Y}}, f^{- 1} (U) \in O_{d_{X}} . \\ ⟺ & ^{\forall} U \in O_{d_{Y}},^{\forall} z \in f^{- 1} (U),^{\exists} δ > 0 s.t. N_{δ} (z) \subset f^{- 1} (U) . \\ ⟺ & ^{\forall} U \in O_{d_{Y}},^{\forall} z \in f^{- 1} (U),^{\exists} δ > 0 s.t.^{\forall} y \in N_{δ} (z) ⟹ y \in f^{- 1} (U) . \\ ⟺ & ^{\forall} U \in O_{d_{Y}},^{\forall} z \in f^{- 1} (U),^{\exists} δ > 0 s.t.^{\forall} y \in N_{δ} (z) ⟹ f (y) \in U . \end{aligned}

ここで, 任意の

ε > 0

を固定し,

U = N_{ε} (f (z)) \in O_{d_{Y}}

とすれば,

^{\forall} z \in f^{- 1} (N_{ε} (f (z)))

は

^{\forall} x \in X

と同値であるため,

\begin{aligned} ^{\forall} ε > 0,^{\forall} z \in f^{- 1} (N_{ε} (f (z))),^{\exists} δ > 0 s.t.^{\forall} y \in N_{δ} (z) ⟹ f (y) \in N_{ε} (f (z)) . \\ ⟺ & ^{\forall} x \in X,^{\forall} ε > 0,^{\exists} δ > 0 s.t.^{\forall} y \in X, d_{X} (x, y) < δ ⟹ d_{Y} (f (x), f (y)) < ε . \end{aligned}

これは距離空間における連続性の定義であったので, 十分条件であることも示せた.

以上より,

\begin{aligned} ^{\forall} x \in X,^{\forall} ε > 0,^{\exists} δ > 0 s.t.^{\forall} y \in X, d_{X} (x, y) < δ ⟹ d_{Y} (f (x), f (y)) < ε . \\ ⟺ & ^{\forall} U \in O_{d_{Y}}, f^{- 1} (U) \in O_{d_{X}} . \end{aligned}

この定理は距離空間上の関数における連続性の定義の言い換えとして, どんな終域( $Y$ 上の)の開集合の逆像をとっても( $X$ 上の)開集合となる時に, $f : X \to Y$ を連続関数として定められるということだ.
これは私達が求めていた"開集合のみで特徴付けられた連続性の定義"に他ならない.