Wei-Yuによる2ψ2の二次変換公式

Gasper-Rahmanの二次変換公式
\begin{align} \Q21{a,b}{aq/b}{\frac{xq}{b^2}}&=\frac{(xq/b,ax^2q/b^2;q)_{\infty}}{(axq/b,x^2q/b^2;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q87{ax/b,q\sqrt{ax/b},-q\sqrt{ax/b},\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq},x}{\sqrt{ax/b},-\sqrt{ax/b},xq\sqrt a/b,-xq\sqrt a/b,x\sqrt{aq}/b,-x\sqrt{aq}/b,aq/b}{\frac{xq}{b^2}} \end{align}
において, $x\to bx$とすると,
\begin{align} \Q21{a,b}{aq/b}{\frac{xq}{b}}&=\frac{(xq,ax^2q;q)_{\infty}}{(axq,x^2q;q)_{\infty}}\Q87{ax,q\sqrt{ax},-q\sqrt{ax},\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq},bx}{\sqrt{ax},-\sqrt{ax},xq\sqrt a,-xq\sqrt a,x\sqrt{aq},-x\sqrt{aq},aq/b}{\frac{xq}b} \end{align}
となる. これは定理1の$c=a$の場合になっている. 以下, 前の記事 と同様の一致の定理を用いた証明を行う. 上の式において$a\mapsto aq^{-2m},b\mapsto bq^{-m}$とすると,
\begin{align} \Q21{aq^{-2m},bq^{-m}}{aq^{1-m}/b}{\frac{xq^{m+1}}{b}}&=\frac{(xq,ax^2q^{1-2m};q)_{\infty}}{(axq^{1-2m},x^2q;q)_{\infty}}\Q87{axq^{-2m},q^{1-m}\sqrt{ax},-q^{1-m}\sqrt{ax},q^{-m}\sqrt a,-q^{-m}\sqrt a,q^{-m}\sqrt{aq},-q^{-m}\sqrt{aq},bxq^{-m}}{q^{-m}\sqrt{ax},-q^{-m}\sqrt{ax},xq^{1-m}\sqrt a,-xq^{1-m}\sqrt a,xq^{-m}\sqrt{aq},-xq^{-m}\sqrt{aq},aq^{1-m}/b}{\frac{xq^{m+1}}{b}} \end{align}
ここで, 左辺は
\begin{align} \Q21{aq^{-2m},bq^{-m}}{aq^{1-m}/b}{\frac{xq^{m+1}}b}&=\sum_{-m\leq k}\frac{(aq^{-2m},bq^{-m};q)_{k+m}}{(q,aq^{1-m}/b;q)_{k+m}}\left(\frac{xq^{m+1}}b\right)^{k+m}\\ &=\frac{(aq^{-2m},bq^{-m};q)_m}{(q,aq^{1-m}/b;q)_m}\left(\frac{xq^{m+1}}{b}\right)^m\BQ22{aq^{-m},b}{q^{m+1},aq/b}{\frac{xq^{m+1}}b} \end{align}
であり, 左辺も同様に
\begin{align} &\frac{(xq,ax^2q^{1-2m};q)_{\infty}}{(axq^{1-2m},x^2q;q)_{\infty}}\Q87{axq^{-2m},q^{1-m}\sqrt{ax},-q^{1-m}\sqrt{ax},q^{-m}\sqrt a,-q^{-m}\sqrt a,q^{-m}\sqrt{aq},-q^{-m}\sqrt{aq},bxq^{-m}}{q^{-m}\sqrt{ax},-q^{-m}\sqrt{ax},xq^{1-m}\sqrt a,-xq^{1-m}\sqrt a,xq^{-m}\sqrt{aq},-xq^{-m}\sqrt{aq},aq^{1-m}/b}{\frac{xq^{m+1}}b}\\ &=\frac{(xq,ax^2q^{1-2m};q)_{\infty}}{(axq^{1-2m},x^2q;q)_{\infty}}\frac{(axq^{-2m},q^{1-m}\sqrt{ax},-q^{1-m}\sqrt{ax},q^{-m}\sqrt a,-q^{-m}\sqrt a,q^{-m}\sqrt{aq},-q^{-m}\sqrt{aq},bxq^{-m};q)_m}{(q,q^{-m}\sqrt{ax},-q^{-m}\sqrt{ax},xq^{1-m}\sqrt a,-xq^{1-m}\sqrt a,xq^{-m}\sqrt{aq},-xq^{-m}\sqrt{aq},aq^{1-m}/b;q)_m}\left(\frac{xq^{m+1}}{b}\right)^m\\ &\qquad\cdot\BQ88{axq^{-m},q\sqrt{ax},-q\sqrt{ax},\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq},bx}{q^{m+1},\sqrt{ax},-\sqrt{ax},xq\sqrt a,-xq\sqrt a,x\sqrt{aq},-x\sqrt{aq},aq/b}{\frac{xq^{m+1}}b} \end{align}
となるから, これらを代入して,
\begin{align} &\BQ22{aq^{-m},b}{q^{m+1},aq/b}{\frac{xq^{m+1}}b}\\ &=\frac{(q,aq^{1-m}/b;q)_m}{(aq^{-2m},bq^{-m};q)_m}\frac{(xq,ax^2q^{1-2m};q)_{\infty}}{(axq^{1-2m},x^2q;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(axq^{-2m},q^{1-m}\sqrt{ax},-q^{1-m}\sqrt{ax},q^{-m}\sqrt a,-q^{-m}\sqrt a,q^{-m}\sqrt{aq},-q^{-m}\sqrt{aq},bxq^{-m};q)_m}{(q,q^{-m}\sqrt{ax},-q^{-m}\sqrt{ax},xq^{1-m}\sqrt a,-xq^{1-m}\sqrt a,xq^{-m}\sqrt{aq},-xq^{-m}\sqrt{aq},aq^{1-m}/b;q)_m}\\ &\qquad\cdot\BQ88{axq^{-m},q\sqrt{ax},-q\sqrt{ax},\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq},bx}{q^{m+1},\sqrt{ax},-\sqrt{ax},xq\sqrt a,-xq\sqrt a,x\sqrt{aq},-x\sqrt{aq},aq/b}{\frac{xq^{m+1}}b} \end{align}
を得る. ここで, 上昇冪の部分は
\begin{align} &\frac{(q,aq^{1-m}/b;q)_m}{(aq^{-2m},bq^{-m};q)_m}\frac{(xq,ax^2q^{1-2m};q)_{\infty}}{(axq^{1-2m},x^2q;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(axq^{-2m},q^{1-m}\sqrt{ax},-q^{1-m}\sqrt{ax},q^{-m}\sqrt a,-q^{-m}\sqrt a,q^{-m}\sqrt{aq},-q^{-m}\sqrt{aq},bxq^{-m};q)_m}{(q,q^{-m}\sqrt{ax},-q^{-m}\sqrt{ax},xq^{1-m}\sqrt a,-xq^{1-m}\sqrt a,xq^{-m}\sqrt{aq},-xq^{-m}\sqrt{aq},aq^{1-m}/b;q)_m}\\ &=\frac{(xq,ax^2q^{1-2m};q)_{\infty}}{(axq^{1-2m},x^2q;q)_{\infty}}\frac{(axq^{-2m},bxq^{-m};q)_m}{(aq^{-2m},bq^{-m};q)_m}\frac{1-ax}{1-axq^{-2m}}\frac{(aq^{-2m};q)_{2m}}{(ax^2q^{1-2m};q)_{2m}}\\ &=\frac{(xq,ax^2q;q)_{\infty}}{(axq,x^2q;q)_{\infty}}\frac{(bxq^{-m},aq^{-m};q)_m}{(bq^{-m},axq^{-m};q)_m}\\ &=\frac{(xq,ax^2q;q)_{\infty}}{(axq,x^2q;q)_{\infty}}\frac{(q/a,q/bx,q^{m+1}/b,q^{m+1}/ax;q)_{\infty}}{(q/b,q/ax,q^{m+1}/a,q^{m+1}/bx;q)_{\infty}} \end{align}
であるから,
\begin{align} &\BQ22{aq^{-m},b}{q^{m+1},aq/b}{\frac{xq^{m+1}}b}\\ &=\frac{(xq,ax^2q;q)_{\infty}}{(axq,x^2q;q)_{\infty}}\frac{(q/a,q/bx,q^{m+1}/b,q^{m+1}/ax;q)_{\infty}}{(q/b,q/ax,q^{m+1}/a,q^{m+1}/bx;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\BQ88{axq^{-m},q\sqrt{ax},-q\sqrt{ax},\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq},bx}{q^{m+1},\sqrt{ax},-\sqrt{ax},xq\sqrt a,-xq\sqrt a,x\sqrt{aq},-x\sqrt{aq},aq/b}{\frac{xq^{m+1}}b} \end{align}
を得る. ここで,
\begin{align} &\BQ22{aq/z,b}{z,aq/b}{\frac{xz}b}\\ &=\frac{(xq,ax^2q;q)_{\infty}}{(axq,x^2q;q)_{\infty}}\frac{(q/a,q/bx,z/b,z/ax;q)_{\infty}}{(q/b,q/ax,z/a,z/bx;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\BQ88{axq/z,q\sqrt{ax},-q\sqrt{ax},\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq},bx}{z,\sqrt{ax},-\sqrt{ax},xq\sqrt a,-xq\sqrt a,x\sqrt{aq},-x\sqrt{aq},aq/b}{\frac{xz}b} \end{align}
の両辺は$z=0$において正則であり, $z=q^{m+1},m\geq 0$において等しいから一致の定理より一般の$z$で成立する. $z=\frac{aq}c$と置き換えて定理を得る.