Gasper-Rahmanの二次変換公式

BaileyのNearly-Poised${}_5\phi_4$の変換公式
\begin{align} &\Q54{a,b,c,d,q^{-n}}{aq/b,aq/c,aq/d,a^2q^{-n}/w^2}{q}\\ &=\frac{(wq/a,w^2q/a;q)_n}{(wq,w^2q/a^2;q)_n}\Q{12}{11}{w,\sqrt wq,-\sqrt wq,wb/a,wc/a,wd/a,\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq},w^2q^{n+1}/a,q^{-n}}{\sqrt w,-\sqrt w,aq/b,aq/c,aq/d,wq/\sqrt a,-wq/\sqrt a,w\sqrt{q/a},-w\sqrt{q/a},aq^{-n}/w,wq^{n+1}}q\qquad(w=a^2q/bcd) \end{align}
において, $c\mapsto cq^{-n}, d\mapsto dq^n$とすると,
\begin{align} &\Q54{a,b,cq^{-n},dq^n,q^{-n}}{aq/b,aq^{n+1}/c,aq^{1-n}/d,a^2q^{-n}/w^2}{q}\\ &=\frac{(wq/a,w^2q/a;q)_n}{(wq,w^2q/a^2;q)_n}\Q{12}{11}{w,\sqrt wq,-\sqrt wq,wb/a,wcq^{-n}/a,wdq^n/a,\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq},w^2q^{n+1}/a,q^{-n}}{\sqrt w,-\sqrt w,aq/b,aq^{n+1}/c,aq^{1-n}/d,wq/\sqrt a,-wq/\sqrt a,w\sqrt{q/a},-w\sqrt{q/a},aq^{-n}/w,wq^{n+1}}q\qquad(w=a^2q/bcd) \end{align}
である. $n\to\infty$とすると,
\begin{align} &\Q21{a,b}{aq/b}{\frac{w^2cd}{a^3}}\\ &=\frac{(wq/a,w^2q/a;q)_{\infty}}{(wq,w^2q/a^2;q)_{\infty}}\Q{8}7{w,\sqrt wq,-\sqrt wq,wb/a,\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{\sqrt w,-\sqrt w,aq/b,wq/\sqrt a,-wq/\sqrt a,w\sqrt{q/a},-w\sqrt{q/a}}{\frac{w^2cd}{a^3}}\qquad(w=a^2q/bcd) \end{align}
ここで, $d=aq/cx$とすると, $w=ax/b$であり,
\begin{align} &\Q21{a,b}{aq/b}{\frac{xq}{b^2}}\\ &=\frac{(xq/b,ax^2q/b^2;q)_{\infty}}{(axq/b,x^2q/b^2;q)_{\infty}}\Q{8}7{ax/b,q\sqrt{ax/b},-q\sqrt{ax/b},x,\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{\sqrt{ax/b},-\sqrt{ax/b},aq/b,\sqrt axq/b,-\sqrt axq/b,\sqrt {aq}x/b,-\sqrt{aq}x/b}{\frac{xq}{b^2}} \end{align}
となって定理を得る.

Non-terminating $q$-Saalschützの和公式
\begin{align} &\frac{(e,f;q)_{\infty}}{(a,b,c;q)_{\infty}}\Q32{a,b,c}{e,f}{q}-\frac qe\frac{(q^2/e,fq/e;q)_{\infty}}{(aq/e,bq/e,cq/e;q)_{\infty}}\Q32{aq/e,bq/e,cq/e}{q^2/e,fq/e}{q}\\ &=\frac{(e,q/e,f/a,f/b,f/c;q)_{\infty}}{(a,b,c,aq/e,bq/e,cq/e;q)_{\infty}}\qquad(abcq=ef) \end{align}
において, $e=-q,b=-c, a\mapsto aq^r$とすると,

\begin{align} &\frac{(-q,ab^2q^r;q)_{\infty}}{(aq^r,b,-b;q)_{\infty}}\Q32{aq^r,b,-b}{-q,ab^2q^r}{q}+\frac{(-q,-ab^2q^r;q)_{\infty}}{(-aq^r,-b,b;q)_{\infty}}\Q32{-aq^r,-b,b}{-q,-ab^2q^r}{q}\\ &=\frac{(-q,-1,b^2,abq^r,-abq^r;q)_{\infty}}{(aq^r,b,-b,-aq^r,-b,b;q)_{\infty}} \end{align}
両辺に
\begin{align} \frac{(x^2,y^2;q^2)_r}{(q^2,x^2y^2b^2;q^2)_r}b^{2r}q^r \end{align}
を掛けて足し合わせると,
\begin{align} &\frac{(-q,-1,b^2;q)_{\infty}(a^2b^2;q^2)_{\infty}}{(a^2,b^2,b^2;q^2)_{\infty}}\Q32{x^2,y^2,a^2}{a^2b^2,x^2y^2b^2}{b^2q}\\ &=\sum_{0\leq r}\frac{(x^2,y^2;q^2)_r}{(q^2,x^2y^2b^2;q^2)_r}b^{2r}q^r\frac{(-q,ab^2q^r;q)_{\infty}}{(aq^r,b,-b;q)_{\infty}}\Q32{aq^r,b,-b}{-q,ab^2q^r}{q}\\ &\qquad+\sum_{0\leq r}\frac{(x^2,y^2;q^2)_r}{(q^2,x^2y^2b^2;q^2)_r}b^{2r}q^r\frac{(-q,-ab^2q^r;q)_{\infty}}{(-aq^r,-b,b;q)_{\infty}}\Q32{-aq^r,-b,b}{-q,-ab^2q^r}{q} \end{align}
ここで,
\begin{align} &\sum_{0\leq r}\frac{(x^2,y^2;q^2)_r}{(q^2,x^2y^2b^2;q^2)_r}b^{2r}q^r\frac{(-q,ab^2q^r;q)_{\infty}}{(aq^r,b,-b;q)_{\infty}}\Q32{aq^r,b,-b}{-q,ab^2q^r}{q}\\ &=\sum_{0\leq r}\frac{(x^2,y^2;q^2)_r}{(q^2,x^2y^2b^2;q^2)_r}b^{2r}q^r\frac{(-q,ab^2q^r;q)_{\infty}}{(aq^r,b,-b;q)_{\infty}}\sum_{0\leq j}\frac{(aq^r,b,-b;q)_j}{(-q,q,ab^2q^r;q)_j}q^j\\ &=\frac{(-q,ab^2;q)_{\infty}}{(a,b,-b;q)_{\infty}}\sum_{0\leq r,j}\frac{(x^2,y^2;q^2)_r}{(q^2,x^2y^2b^2;q^2)_r}\frac{(a;q)_{r+j}(b,-b;q)_j}{(ab^2;q)_{r+j}(-q,q;q)_j}b^{2r}q^{r+j}\\ &=\frac{(-q,ab^2;q)_{\infty}}{(a,b,-b;q)_{\infty}}\sum_{0\leq r,j}\frac{(x^2,y^2;q^2)_r}{(q^2,x^2y^2b^2;q^2)_r}\frac{(a;q)_{j}(b^2;q^2)_{j-r}}{(ab^2;q)_{j}(q^2;q^2)_{j-r}}b^{2r}q^{j}\\ &=\frac{(-q,ab^2;q)_{\infty}}{(a,b,-b;q)_{\infty}}\sum_{0\leq j}\frac{(a;q)_{j}(b^2;q^2)_{j}}{(ab^2;q)_{j}(q^2;q^2)_{j}}q^{j}\sum_{0\leq r}\frac{(x^2,y^2,q^{-2r};q^2)_r}{(q^2,x^2y^2b^2,q^{2-2r}/b^2;q^2)_r}q^{2r}\\ &=\frac{(-q,ab^2;q)_{\infty}}{(a,b,-b;q)_{\infty}}\sum_{0\leq j}\frac{(a;q)_{j}(b^2;q^2)_{j}}{(ab^2;q)_{j}(q^2;q^2)_{j}}q^{j}\frac{(x^2b^2,y^2b^2;q^2)_j}{(x^2y^2b^2,b^2;q)_{j}}\\ &=\frac{(-q,ab^2;q)_{\infty}}{(a,b,-b;q)_{\infty}}\Q54{a,bx,-bx,by,-by}{-q,ab^2,bxy,-bxy}{q} \end{align}
ここで, 最後から2行目の等号は $q$-Saalschützの和公式 による. $a\mapsto -a$とすれば,
\begin{align} &\sum_{0\leq r}\frac{(x^2,y^2;q^2)_r}{(q^2,x^2y^2b^2;q^2)_r}b^{2r}q^r\frac{(-q,-ab^2q^r;q)_{\infty}}{(-aq^r,-b,b;q)_{\infty}}\Q32{-aq^r,-b,b}{-q,-ab^2q^r}{q}\\ &=\frac{(-q,-ab^2;q)_{\infty}}{(-a,b,-b;q)_{\infty}}\Q54{-a,bx,-bx,by,-by}{-q,-ab^2,bxy,-bxy}{q} \end{align}
も得られるから,
\begin{align} &\Q32{x^2,y^2,a^2}{a^2b^2,x^2y^2b^2}{b^2q}\\ &=\frac{(-a,ab^2;q)_{\infty}(b^2;q^2)_{\infty}}{(-1,b^2;q)_{\infty}(a^2b^2;q^2)_{\infty}}\Q54{a,bx,-bx,by,-by}{-q,ab^2,bxy,-bxy}{q}\\ &\qquad+\frac{(a,-ab^2;q)_{\infty}(b^2;q^2)_{\infty}}{(-1,b^2;q)_{\infty}(a^2b^2;q^2)_{\infty}}\Q54{-a,bx,-bx,by,-by}{-q,-ab^2,bxy,-bxy}{q} \end{align}
を得る.

補題3において, $y=ab$とすると,
\begin{align} &\Q21{a^2,x^2}{a^2b^4x^2}{b^2q}\\ &=\frac{(-a,ab^2;q)_{\infty}(b^2;q^2)_{\infty}}{(-1,b^2;q)_{\infty}(a^2b^2;q^2)_{\infty}}\Q43{a,bx,-bx,-ab^2}{-q,ab^2x,-ab^2x}{q}\\ &\qquad+\frac{(a,-ab^2;q)_{\infty}(b^2;q^2)_{\infty}}{(-1,b^2;q)_{\infty}(a^2b^2;q^2)_{\infty}}\Q43{-a,bx,-bx,ab^2}{-q,ab^2x,-ab^2x}{q}\\ \end{align}
ここで, non-terminating $q$-Whippleの変換公式 より,
\begin{align} &\Q87{ab^2x^2/q,q\sqrt{ab^2x^2/q},-q\sqrt{ab^2x^2/q},a,x,-x,bx,-bx}{\sqrt{ab^2x^2/q},-\sqrt{ab^2x^2/q},b^2x^2,ab^2x,-ab^2x,abx,-abx}{ab^2}\\ &=\frac{(ab^2x^2,bx,-bx,-a;q)_{\infty}}{(b^2x^2,abx,-abx,-1;q)_{\infty}}\left(\Q43{ab^2,a,bx,-bx}{ab^2x,-ab^2x,-q}q+\frac{(a,-ab^2;q)_{\infty}}{(-a,ab^2;q)_{\infty}}\Q43{ab^2,-a,bx,-bx}{ab^2x,-ab^2x,-q}{q}\right) \end{align}
であるから,
\begin{align} &\Q21{a^2,x^2}{a^2b^4x^2}{q^2,b^2q}\\ &=\frac{(-a,ab^2;q)_{\infty}(b^2;q^2)_{\infty}}{(-1,b^2;q)_{\infty}(a^2b^2;q^2)_{\infty}}\frac{(b^2x^2,abx,-abx,-1;q)_{\infty}}{(ab^2x^2,bx,-bx,-a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q87{ab^2x^2/q,q\sqrt{ab^2x^2/q},-q\sqrt{ab^2x^2/q},a,x,-x,bx,-bx}{\sqrt{ab^2x^2/q},-\sqrt{ab^2x^2/q},b^2x^2,ab^2x,-ab^2x,abx,-abx}{ab^2}\\ &=\frac{(ab^2,b^2x^2;q)_{\infty}(a^2b^2x^2,b^2;q^2)_{\infty}}{(b^2,ab^2x^2;q)_{\infty}(b^2x^2,a^2b^2;q^2)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q87{ab^2x^2/q,q\sqrt{ab^2x^2/q},-q\sqrt{ab^2x^2/q},a,x,-x,bx,-bx}{\sqrt{ab^2x^2/q},-\sqrt{ab^2x^2/q},b^2x^2,ab^2x,-ab^2x,abx,-abx}{ab^2} \end{align}
ここで, Heineの変換公式 より,
\begin{align} \Q21{a^2,x^2}{a^2b^4x^2}{q^2,b^2q}&=\frac{(a^2b^2q,b^4x^2;q^2)_{\infty}}{(b^2q,a^2b^4x^2;q^2)_{\infty}}\Q21{a^2,q/b^2}{a^2b^2q}{q^2,b^4x^2} \end{align}
であるから,
\begin{align} &\Q21{a^2,q/b^2}{a^2b^2q}{q^2,b^4x^2}\\ &=\frac{(ab^2,b^2x^2;q)_{\infty}(a^2b^2x^2,a^2b^4x^2;q^2)_{\infty}}{(a^2b^2,ab^2x^2;q)_{\infty}(b^2x^2,b^4x^2;q^2)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q87{ab^2x^2/q,q\sqrt{ab^2x^2/q},-q\sqrt{ab^2x^2/q},a,x,-x,bx,-bx}{\sqrt{ab^2x^2/q},-\sqrt{ab^2x^2/q},b^2x^2,ab^2x,-ab^2x,abx,-abx}{ab^2} \end{align}
ここで, $b\mapsto \sqrt q/b$とすると,
\begin{align} &\Q21{a^2,b^2}{a^2q^2/b^2}{q^2,\frac{x^2q^2}{b^4}}\\ &=\frac{(aq/b^2,x^2q/b^2;q)_{\infty}(a^2x^2q/b^2,a^2x^2q^2/b^4;q^2)_{\infty}}{(a^2q/b^2,ax^2q/b^2;q)_{\infty}(x^2q/b^2,x^2q^2/b^4;q^2)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q87{ax^2/b^2,q\sqrt{ax^2/b^2},-q\sqrt{ax^2/b^2},a,x,-x,x\sqrt q/b,-x\sqrt q/b}{\sqrt{ax^2/b^2},-\sqrt{ax^2/b^2},x^2q/b^2,axq/b^2,-axq/b^2,ax\sqrt q/b,-ax\sqrt q/b}{\frac{aq}{b^2}} \end{align}