$$\newcommand{ab}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{abs}[1]{\mathbb{A_{R}}_{_{#1}}[x]}
\newcommand{ae}[0]{\qquad\mathrm{a.e.}}
\newcommand{bb}[0]{mathbb}
\newcommand{bm}[0]{\boldsymbol}
\newcommand{C}[0]{\mathbb C}
\newcommand{cls}[2]{{\clsa_{#1}\!\!^{#2}}}
\newcommand{de}[0]{\coloneq}
\newcommand{f}[2]{{_{#1}F_{#2}}}
\newcommand{F}[5]{\f{#1}{#2}\hgs{#3}{#4}{#5}}
\newcommand{fg}[2]{\L[\begin{matrix}#1\\ #2\end{matrix}\R]}
\newcommand{fh}[0]{\newcommand{\fg}[2]{\L[\begin{matrix}#1\\ #2\end{matrix}\R]}}
\newcommand{g}[0]{\Gamma}
\newcommand{gf}[2]{\L[\begin{matrix}#1\\ #2\end{matrix}\R]}
\newcommand{GL}[1]{\operatorname{GL}_{#1}(\C)}
\newcommand{h}[3]{\left[\begin{matrix}#1\\ #2\end{matrix};#3\right]}
\newcommand{hgs}[3]{\left[\begin{matrix}#1\\ #2\end{matrix};#3\right]}
\newcommand{i}[1]{{-{#1}}}
\newcommand{If}[0]{\mathrm{if}\quad}
\newcommand{imply}[0]{\implies}
\newcommand{isin}[0]{\in}
\newcommand{kd}[2]{\delta_{{#1},{#2}}}
\newcommand{L}[0]{\left}
\newcommand{m}[1]{\left(\matrix{#1}\right)}
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{o}[2]{\ordi{#1}{#2}{}}
\newcommand{ok}[2]{\ordi{}{#1}{#2}}
\newcommand{ordi}[3]{\frac{d #1^{#3}}{d #2^{#3}}}
\newcommand{p}[2]{\part{#1}{#2}{}}
\newcommand{p}[2]{{_{#1}\phi_{#2}}}
\newcommand{part}[3]{\frac{\partial #1^{#3}}{\partial #2^{#3}}}
\newcommand{pk}[2]{\part{}{#1}{#2}}
\newcommand{pol}[0]{\operatorname{Pol}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{Q}[5]{\p{#1}{#2}\hgs{#3}{#4}{#5}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{R}[0]{\right}
\newcommand{Res}[0]{\operatorname{Res}}
\newcommand{rsum}[1]{\sum_{#1}\!^\R}
\newcommand{sgn}[0]{\operatorname{sgn}}
\newcommand{SL}[1]{\operatorname{SL}_{#1}(\C)}
\newcommand{Speed}[0]{\operatorname{Speed}}
\newcommand{t}[0]{\vartheta}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
\newcommand{zero}[0]{\overline{\varphi}}
$$
ここでは，Saalschuetzの和公式
$$
\F32{a,b,-n}{c,1+a+b-c-n}1=\frac{(c-a, c-b)_n}{(c,c-a-b)_n}
$$
の$q$類似である$q$-Saalschuetzの和公式を示す．
$q$-Saalschuetzの和公式
\begin{align}
\Q32{a,b,q^{-n}}{c,abq^{1-n}/c}{q}&=\frac{(c/a,c/b;q)_n}{(c,c/ab;q)_n}
\end{align}
Heineの変換公式
$$
\p21\hgs{a,b}{c}{q;x}=\frac{(abx/c;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\p21\hgs{c/a,c/b}{c}{q;\frac{abx}c}
$$
の両辺の$z^n$の係数を比較して，
\begin{align}
\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}
&=\sum_{k=0}^n\frac{(c/a,c/b;q)_k}{(c,q;q)_k}\L(\frac c{ab}\R)\frac{(ab/c;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}\\
&=\frac{(ab/c;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(c/a,c/b,q^{-n})_k}{(c,cq^{1-n}/ab,q;q)_k}q^k
\end{align}
となるので，$a, b$をそれぞれ$c/a, c/b$に置き換えることで主張を得る．
一般化として，
Non-terminating $q$-Saalschuetzの和公式
\begin{align}
\Q32{a,b,c}{d,e}{q}&=\frac{(q/d,e/a,e/b,e/c;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d,cq/d,e;q)_{\infty}}-\frac{(q/d,a,b,c,eq/d;q)_{\infty}}{(d/q,aq/d,bq/d,cq/d,e;q)_{\infty}}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}q
\end{align}
がある．これは$q$-Saalschuetzの和公式同様，$abcq=de$のときに成立する．また，$q$-Saalschuetzの和公式において$n\to\infty$とすることによってHeineの和公式
$$
\Q21{a,b}{c}{q;\frac c{ab}}=\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,c/ab;q)_{\infty}}
$$
を得ることができる．つまり古典的な場合において，Saalschuetzの和公式はGaussの和公式を含む．
また，$a\mapsto aq/bc, b\mapsto aq^n, c\mapsto aq/b$という置換により次の系を得る．
$$
\Q32{aq/bc, aq^n, q^{-n}}{aq/b, aq/c}q=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b, aq/c;q)_n}\L(\frac{aq}{bc}\R)^n
$$
これの古典的な場合が
$$
\F32{1+a-b-c, a+n, -n}{1+a-b, 1+a-c}1=\frac{(b,c)_n}{(1+a-b, 1+a-c)_n}
$$
であり，$a=b=c=\frac12$とすることで，
$$
\beta_n^2=\F32{-n, n+\frac12, \frac12}{1,1}1
$$
のようなものを得ることができる．
