Non-terminating q-Saalschützの和公式
$q$-Saalschützの和公式
\begin{align}
\Q32{a,b,q^{-n}}{c,abq^{1-n}/c}{q}&=\frac{(c/a,c/b;q)_n}{(c,c/ab;q)_n}
\end{align}
の一般化であるnon-terminating $q$-Saalschützの和公式を示す.
$abcq=de$のとき,
\begin{align}
\Q32{a,b,c}{d,e}{q}&=\frac{(q/d,e/a,e/b,e/c;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d,cq/d,e;q)_{\infty}}-\frac{(q/d,a,b,c,eq/d;q)_{\infty}}{(d/q,aq/d,bq/d,cq/d,e;q)_{\infty}}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}q
\end{align}
が成り立つ.
Non-terminating q-Whippleの変換公式
\begin{align}
&\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f}{\frac{a^2q^2}{bcdef}}\\
&=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\Q43{aq/bc,d,e,f}{aq/b,aq/c,def/a}{q}\\
&\qquad +\frac{(aq,aq/bc,d,e,f,a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,a^2q^2/bcdef,def/aq;q)_{\infty}}\Q43{aq/de,aq/df,aq/ef,a^2q^2/bcdef}{a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,aq^2/def}{q}
\end{align}
において, $d=aq/c$とすると,
Rogersの和公式
より, 左辺は
\begin{align}
\Q65{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,e,f}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/e,aq/f}{\frac{aq}{bef}}&=\frac{(aq,aq/be,aq/bf,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/e,aq/f,aq/bef;q)_{\infty}}
\end{align}
となり, 右辺は
\begin{align}
\frac{(aq,c/e,c/f,aq/ef;q)_{\infty}}{(c,aq/e,aq/f,c/ef;q)_{\infty}}\Q32{aq/bc,e,f}{aq/b,efq/c}{q}+\frac{(aq,aq/bc,e,f,acq/bef,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/b,c,aq/e,aq/f,aq/bef,ef/c;q)_{\infty}}\Q32{c/e,c/f,aq/bef}{acq/bef,cq/ef}{q}
\end{align}
よって,
\begin{align}
&\frac{(aq,aq/be,aq/bf,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/e,aq/f,aq/bef;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(aq,c/e,c/f,aq/ef;q)_{\infty}}{(c,aq/e,aq/f,c/ef;q)_{\infty}}\Q32{aq/bc,e,f}{aq/b,efq/c}{q}+\frac{(aq,aq/bc,e,f,acq/bef,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/b,c,aq/e,aq/f,aq/bef,ef/c;q)_{\infty}}\Q32{c/e,c/f,aq/bef}{acq/bef,cq/ef}{q}
\end{align}
を得る. つまり,
\begin{align}
\Q32{aq/bc,e,f}{aq/b,efq/c}{q}&=\frac{(aq/be,aq/bf,c,c/ef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/bef,c/e,c/f;q)_{\infty}}-\frac{(aq/bc,e,f,acq/bef,c/ef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/bef,ef/c,c/e,c/f;q)_{\infty}}\Q32{c/e,c/f,aq/bef}{acq/bef,cq/ef}q
\end{align}
$c=h/g, b=aq/h$とすると,
\begin{align}
\Q32{g,e,f}{h,efgq/h}{q}&=\frac{(h/b,h/f,h/g,h/efg;q)_{\infty}}{(h,h/ef,h/eg,h/fg;q)_{\infty}}-\frac{(g,e,f,h^2/efg,h/efg;q)_{\infty}}{(h,h/ef,efg/h,h/ge,h/gf;q)_{\infty}}\Q32{h/ge,h/gf,h/ef}{h^2/efg,hq/efg}{q}
\end{align}
$k=efgq/h$とすると,
\begin{align}
\Q32{e,f,g}{h,k}{q}&=\frac{(h/b,h/f,h/g,q/k;q)_{\infty}}{(h,eq/k,fq/k,gq/k;q)_{\infty}}-\frac{(e,f,g,hq/k,k/q;q)_{\infty}}{(h,q/k,eq/k,fq/k,gq/k;q)_{\infty}}\Q32{eq/k,fq/k,gq/k}{hq/k,q^2/k}{q}
\end{align}
文字を置き換えて定理を得る.
$abcq=de$とする. Non-terminating q-Saalschützの和公式は
\begin{align}
&\frac{(q/d,e/a,e/b,e/c;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d,cq/d,e;q)_{\infty}}\\
&=\Q32{a,b,c}{d,e}{q}+\frac{(q/d,a,b,c,eq/d;q)_{\infty}}{(d/q,aq/d,bq/d,cq/d,e;q)_{\infty}}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}q\\
&=\frac{(a,b,c;q)_{\infty}}{(d,e,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(dq^n,eq^n,q^{n+1};q)_{\infty}}{(aq^n,bq^n,cq^n;q)_{\infty}}q^n+\frac{(a,b,c,q/d,q)_{\infty}}{(d/q,q^2/d,e;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(q^{n+2}/d,eq^{n+1}/d,q^{n+1};q)_{\infty}}{(aq^{n+1}/d,bq^{n+1}/d,cq^{n+1}/d;q)_{\infty}}q^n\\
&=\frac{(a,b,c;q)_{\infty}}{(d,e,q;q)_{\infty}}\left(\sum_{0\leq n}\frac{(dq^n,eq^n,q^{n+1};q)_{\infty}}{(aq^n,bq^n,cq^n;q)_{\infty}}q^n-\frac qd\sum_{0\leq n}\frac{(q^{n+2}/d,eq^{n+1}/d,q^{n+1};q)_{\infty}}{(aq^{n+1}/d,bq^{n+1}/d,cq^{n+1}/d;q)_{\infty}}q^n\right)\\
&=\frac{(a,b,c;q)_{\infty}}{(d,e,q;q)_{\infty}}\left(\sum_{0\leq n}\frac{(dq^n,eq^n,q^{n+1};q)_{\infty}}{(aq^n,bq^n,cq^n;q)_{\infty}}q^n-\frac qd\sum_{0\leq n}\frac{(q^{n+2}/d,eq^{n+1}/d,q^{n+1};q)_{\infty}}{(aq^{n+1}/d,bq^{n+1}/d,cq^{n+1}/d;q)_{\infty}}q^n\right)\\
&=\frac{(a,b,c;q)_{\infty}}{df(d,e,q;q)_{\infty}}\int_{fq}^{df}\frac{(tq/df,et/df,t/f;q)_{\infty}}{(at/df,bt/df,ct/df;q)_{\infty}}\,d_qt
\end{align}
と表される. ここで, $q$積分は
\begin{align}
\int_a^bf(t)\,d_qt:=\sum_{0\leq n}\left(bq^nf(bq^n)-aq^nf(aq^n)\right)
\end{align}
によって定義されるものとする. これより,
\begin{align}
\int_{fq}^{df}\frac{(tq/df,et/df,t/f;q)_{\infty}}{(at/df,bt/df,ct/df;q)_{\infty}}\,d_qt=df\frac{(d,q,q/d,e/a,e/b,e/c;q)_{\infty}}{(a,b,c,aq/d,bq/d,cq/d;q)_{\infty}}
\end{align}
$fq=g,df=h$とすると, $d=hq/g$となり,
\begin{align}
\int_g^h\frac{(tq/h,tq/g,et/h;q)_{\infty}}{(at/h,bt/h,ct/h;q)_{\infty}}\,d_qt=h\frac{(hq/g,g/h,q,e/a,e/b,e/c;q)_{\infty}}{(a,b,c,ag/h,bg/h,cg/h;q)_{\infty}}
\end{align}
$a\mapsto ah, b\mapsto bh,c\mapsto ch,e\mapsto eh$として,
\begin{align}
\int_g^h\frac{(tq/h,tq/g,et;q)_{\infty}}{(at,bt,ct;q)_{\infty}}\,d_qt&=h\frac{(hq/g,g/h,q,e/a,e/b,e/c;q)_{\infty}}{(ah,bh,ch,ag,bg,cg;q)_{\infty}}\\
&=(h-g)\frac{(hq/g,gq/h,q,e/a,e/b,e/c;q)_{\infty}}{(ah,bh,ch,ag,bg,cg;q)_{\infty}}
\end{align}
元の条件は, $abcgh=e$となる. よって, 文字を置き換えて以下を得る.
$c=abdef$のとき,
\begin{align}
\int_a^b\frac{(tq/a,tq/b,ct;q)_{\infty}}{(dt,et,ft;q)_{\infty}}d_qt&=(b-a)\frac{(aq/b,bq/a,c/d,c/e,c/f,q;q)_{\infty}}{(ad,ae,af,bd,be,bf;q)_{\infty}}
\end{align}
が成り立つ.
これは, Al-Salam, Vermaによって得られた公式である. 特に$c\to 0$とすると,
\begin{align}
\int_a^b\frac{(tq/a,tq/b;q)_{\infty}}{(dt,et;q)_{\infty}}\,d_qt&=(b-a)\frac{(aq/b,bq/a,abde;q)_{\infty}}{(ad,ae,bd,be;q)_{\infty}}
\end{align}
文字を置き換えて,
\begin{align}
\int_a^b\frac{(tq/a,tq/b;q)_{\infty}}{(ct,dt;q)_{\infty}}\,d_qt&=(b-a)\frac{(aq/b,bq/a,abcd,q;q)_{\infty}}{(ac,ad,bc,bd;q)_{\infty}}
\end{align}
を得る. この公式は, Andrews-Askey積分と呼ばれている.
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
