Non-terminating q-Saalschützの和公式

$q$ -Saalschützの和公式
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, b, q^{- n} \\ c, a b q^{1 - n} / c \end{array}; q] & = \frac{(c / a, c / b; q)_{n}}{(c, c / a b; q)_{n}} \end{aligned}$
の一般化であるnon-terminating $q$ -Saalschützの和公式を示す.

Non-terminating

q

-Saalschützの和公式

$a b c q = d e$ のとき,
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ d, e \end{array}; q] & = \frac{(q / d, e / a, e / b, e / c; q)_{\infty}}{(a q / d, b q / d, c q / d, e; q)_{\infty}} - \frac{(q / d, a, b, c, e q / d; q)_{\infty}}{(d / q, a q / d, b q / d, c q / d, e; q)_{\infty}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a q / d, b q / d, c q / d \\ q^{2} / d, e q / d \end{array}; q] \end{aligned}$
が成り立つ.

Non-terminating q-Whippleの変換公式
$\begin{aligned} _{8} ϕ_{7} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e, f \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q / f \end{array}; \frac{a^{2} q^{2}}{b c d e f}] \\ = \frac{(a q, a q / d e, a q / d f, a q / e f; q)_{\infty}}{(a q / d, a q / e, a q / f, a q / d e f; q)_{\infty}}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a q / b c, d, e, f \\ a q / b, a q / c, d e f / a \end{array}; q] \\ + \frac{(a q, a q / b c, d, e, f, a^{2} q^{2} / b d e f, a^{2} q^{2} / c d e f; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q / f, a^{2} q^{2} / b c d e f, d e f / a q; q)_{\infty}}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a q / d e, a q / d f, a q / e f, a^{2} q^{2} / b c d e f \\ a^{2} q^{2} / b d e f, a^{2} q^{2} / c d e f, a q^{2} / d e f \end{array}; q] \end{aligned}$
において, $d = a q / c$ とすると, Rogersの和公式より, 左辺は
$\begin{aligned} _{6} ϕ_{5} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, e, f \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / e, a q / f \end{array}; \frac{a q}{b e f}] & = \frac{(a q, a q / b e, a q / b f, a q / e f; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / e, a q / f, a q / b e f; q)_{\infty}} \end{aligned}$
となり, 右辺は
$\begin{array}{r} \frac{(a q, c / e, c / f, a q / e f; q)_{\infty}}{(c, a q / e, a q / f, c / e f; q)_{\infty}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a q / b c, e, f \\ a q / b, e f q / c \end{array}; q] + \frac{(a q, a q / b c, e, f, a c q / b e f, a q / e f; q)_{\infty}}{(a q / b, c, a q / e, a q / f, a q / b e f, e f / c; q)_{\infty}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} c / e, c / f, a q / b e f \\ a c q / b e f, c q / e f \end{array}; q] \end{array}$
よって,
$\begin{aligned} \frac{(a q, a q / b e, a q / b f, a q / e f; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / e, a q / f, a q / b e f; q)_{\infty}} \\ = \frac{(a q, c / e, c / f, a q / e f; q)_{\infty}}{(c, a q / e, a q / f, c / e f; q)_{\infty}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a q / b c, e, f \\ a q / b, e f q / c \end{array}; q] + \frac{(a q, a q / b c, e, f, a c q / b e f, a q / e f; q)_{\infty}}{(a q / b, c, a q / e, a q / f, a q / b e f, e f / c; q)_{\infty}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} c / e, c / f, a q / b e f \\ a c q / b e f, c q / e f \end{array}; q] \end{aligned}$
を得る. つまり,
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a q / b c, e, f \\ a q / b, e f q / c \end{array}; q] & = \frac{(a q / b e, a q / b f, c, c / e f; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / b e f, c / e, c / f; q)_{\infty}} - \frac{(a q / b c, e, f, a c q / b e f, c / e f; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / b e f, e f / c, c / e, c / f; q)_{\infty}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} c / e, c / f, a q / b e f \\ a c q / b e f, c q / e f \end{array}; q] \end{aligned}$
$c = h / g, b = a q / h$ とすると,
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} g, e, f \\ h, e f g q / h \end{array}; q] & = \frac{(h / b, h / f, h / g, h / e f g; q)_{\infty}}{(h, h / e f, h / e g, h / f g; q)_{\infty}} - \frac{(g, e, f, h^{2} / e f g, h / e f g; q)_{\infty}}{(h, h / e f, e f g / h, h / g e, h / g f; q)_{\infty}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} h / g e, h / g f, h / e f \\ h^{2} / e f g, h q / e f g \end{array}; q] \end{aligned}$
$k = e f g q / h$ とすると,
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} e, f, g \\ h, k \end{array}; q] & = \frac{(h / b, h / f, h / g, q / k; q)_{\infty}}{(h, e q / k, f q / k, g q / k; q)_{\infty}} - \frac{(e, f, g, h q / k, k / q; q)_{\infty}}{(h, q / k, e q / k, f q / k, g q / k; q)_{\infty}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} e q / k, f q / k, g q / k \\ h q / k, q^{2} / k \end{array}; q] \end{aligned}$
文字を置き換えて定理を得る.

$a b c q = d e$ とする. Non-terminating q-Saalschützの和公式は
$\begin{aligned} \frac{(q / d, e / a, e / b, e / c; q)_{\infty}}{(a q / d, b q / d, c q / d, e; q)_{\infty}} \\ =_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ d, e \end{array}; q] + \frac{(q / d, a, b, c, e q / d; q)_{\infty}}{(d / q, a q / d, b q / d, c q / d, e; q)_{\infty}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a q / d, b q / d, c q / d \\ q^{2} / d, e q / d \end{array}; q] \\ = \frac{(a, b, c; q)_{\infty}}{(d, e, q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(d q^{n}, e q^{n}, q^{n + 1}; q)_{\infty}}{(a q^{n}, b q^{n}, c q^{n}; q)_{\infty}} q^{n} + \frac{(a, b, c, q / d, q)_{\infty}}{(d / q, q^{2} / d, e; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(q^{n + 2} / d, e q^{n + 1} / d, q^{n + 1}; q)_{\infty}}{(a q^{n + 1} / d, b q^{n + 1} / d, c q^{n + 1} / d; q)_{\infty}} q^{n} \\ = \frac{(a, b, c; q)_{\infty}}{(d, e, q; q)_{\infty}} (\sum_{0 \leq n} \frac{(d q^{n}, e q^{n}, q^{n + 1}; q)_{\infty}}{(a q^{n}, b q^{n}, c q^{n}; q)_{\infty}} q^{n} - \frac{q}{d} \sum_{0 \leq n} \frac{(q^{n + 2} / d, e q^{n + 1} / d, q^{n + 1}; q)_{\infty}}{(a q^{n + 1} / d, b q^{n + 1} / d, c q^{n + 1} / d; q)_{\infty}} q^{n}) \\ = \frac{(a, b, c; q)_{\infty}}{(d, e, q; q)_{\infty}} (\sum_{0 \leq n} \frac{(d q^{n}, e q^{n}, q^{n + 1}; q)_{\infty}}{(a q^{n}, b q^{n}, c q^{n}; q)_{\infty}} q^{n} - \frac{q}{d} \sum_{0 \leq n} \frac{(q^{n + 2} / d, e q^{n + 1} / d, q^{n + 1}; q)_{\infty}}{(a q^{n + 1} / d, b q^{n + 1} / d, c q^{n + 1} / d; q)_{\infty}} q^{n}) \\ = \frac{(a, b, c; q)_{\infty}}{d f (d, e, q; q)_{\infty}} \int_{f q}^{d f} \frac{(t q / d f, e t / d f, t / f; q)_{\infty}}{(a t / d f, b t / d f, c t / d f; q)_{\infty}} d_{q} t \end{aligned}$
と表される. ここで, $q$ 積分は
$\begin{array}{r} \int_{a}^{b} f (t) d_{q} t := \sum_{0 \leq n} (b q^{n} f (b q^{n}) - a q^{n} f (a q^{n})) \end{array}$
によって定義されるものとする. これより,
$\begin{array}{r} \int_{f q}^{d f} \frac{(t q / d f, e t / d f, t / f; q)_{\infty}}{(a t / d f, b t / d f, c t / d f; q)_{\infty}} d_{q} t = d f \frac{(d, q, q / d, e / a, e / b, e / c; q)_{\infty}}{(a, b, c, a q / d, b q / d, c q / d; q)_{\infty}} \end{array}$
$f q = g, d f = h$ とすると, $d = h q / g$ となり,
$\begin{array}{r} \int_{g}^{h} \frac{(t q / h, t q / g, e t / h; q)_{\infty}}{(a t / h, b t / h, c t / h; q)_{\infty}} d_{q} t = h \frac{(h q / g, g / h, q, e / a, e / b, e / c; q)_{\infty}}{(a, b, c, a g / h, b g / h, c g / h; q)_{\infty}} \end{array}$
$a \mapsto a h, b \mapsto b h, c \mapsto c h, e \mapsto e h$ として,
$\begin{aligned} \int_{g}^{h} \frac{(t q / h, t q / g, e t; q)_{\infty}}{(a t, b t, c t; q)_{\infty}} d_{q} t & = h \frac{(h q / g, g / h, q, e / a, e / b, e / c; q)_{\infty}}{(a h, b h, c h, a g, b g, c g; q)_{\infty}} \\ = (h - g) \frac{(h q / g, g q / h, q, e / a, e / b, e / c; q)_{\infty}}{(a h, b h, c h, a g, b g, c g; q)_{\infty}} \end{aligned}$
元の条件は, $a b c g h = e$ となる. よって, 文字を置き換えて以下を得る.

$c = a b d e f$ のとき,
$\begin{aligned} \int_{a}^{b} \frac{(t q / a, t q / b, c t; q)_{\infty}}{(d t, e t, f t; q)_{\infty}} d_{q} t & = (b - a) \frac{(a q / b, b q / a, c / d, c / e, c / f, q; q)_{\infty}}{(a d, a e, a f, b d, b e, b f; q)_{\infty}} \end{aligned}$
が成り立つ.

これは, Al-Salam, Vermaによって得られた公式である. 特に $c \to 0$ とすると,
$\begin{aligned} \int_{a}^{b} \frac{(t q / a, t q / b; q)_{\infty}}{(d t, e t; q)_{\infty}} d_{q} t & = (b - a) \frac{(a q / b, b q / a, a b d e; q)_{\infty}}{(a d, a e, b d, b e; q)_{\infty}} \end{aligned}$
文字を置き換えて,
$\begin{aligned} \int_{a}^{b} \frac{(t q / a, t q / b; q)_{\infty}}{(c t, d t; q)_{\infty}} d_{q} t & = (b - a) \frac{(a q / b, b q / a, a b c d, q; q)_{\infty}}{(a c, a d, b c, b d; q)_{\infty}} \end{aligned}$
を得る. この公式は, Andrews-Askey積分と呼ばれている.

投稿日：2024年5月26日

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Wataru

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