Non-terminating q-Saalschützの和公式

$q$-Saalschützの和公式
\begin{align} \Q32{a,b,q^{-n}}{c,abq^{1-n}/c}{q}&=\frac{(c/a,c/b;q)_n}{(c,c/ab;q)_n} \end{align}
の一般化であるnon-terminating $q$-Saalschützの和公式を示す.

$abcq=de$とする. Non-terminating q-Saalschützの和公式は
\begin{align} &\frac{(q/d,e/a,e/b,e/c;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d,cq/d,e;q)_{\infty}}\\ &=\Q32{a,b,c}{d,e}{q}+\frac{(q/d,a,b,c,eq/d;q)_{\infty}}{(d/q,aq/d,bq/d,cq/d,e;q)_{\infty}}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}q\\ &=\frac{(a,b,c;q)_{\infty}}{(d,e,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(dq^n,eq^n,q^{n+1};q)_{\infty}}{(aq^n,bq^n,cq^n;q)_{\infty}}q^n+\frac{(a,b,c,q/d,q)_{\infty}}{(d/q,q^2/d,e;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(q^{n+2}/d,eq^{n+1}/d,q^{n+1};q)_{\infty}}{(aq^{n+1}/d,bq^{n+1}/d,cq^{n+1}/d;q)_{\infty}}q^n\\ &=\frac{(a,b,c;q)_{\infty}}{(d,e,q;q)_{\infty}}\left(\sum_{0\leq n}\frac{(dq^n,eq^n,q^{n+1};q)_{\infty}}{(aq^n,bq^n,cq^n;q)_{\infty}}q^n-\frac qd\sum_{0\leq n}\frac{(q^{n+2}/d,eq^{n+1}/d,q^{n+1};q)_{\infty}}{(aq^{n+1}/d,bq^{n+1}/d,cq^{n+1}/d;q)_{\infty}}q^n\right)\\ &=\frac{(a,b,c;q)_{\infty}}{(d,e,q;q)_{\infty}}\left(\sum_{0\leq n}\frac{(dq^n,eq^n,q^{n+1};q)_{\infty}}{(aq^n,bq^n,cq^n;q)_{\infty}}q^n-\frac qd\sum_{0\leq n}\frac{(q^{n+2}/d,eq^{n+1}/d,q^{n+1};q)_{\infty}}{(aq^{n+1}/d,bq^{n+1}/d,cq^{n+1}/d;q)_{\infty}}q^n\right)\\ &=\frac{(a,b,c;q)_{\infty}}{df(d,e,q;q)_{\infty}}\int_{fq}^{df}\frac{(tq/df,et/df,t/f;q)_{\infty}}{(at/df,bt/df,ct/df;q)_{\infty}}\,d_qt \end{align}
と表される. ここで, $q$積分は
\begin{align} \int_a^bf(t)\,d_qt:=\sum_{0\leq n}\left(bq^nf(bq^n)-aq^nf(aq^n)\right) \end{align}
によって定義されるものとする. これより,
\begin{align} \int_{fq}^{df}\frac{(tq/df,et/df,t/f;q)_{\infty}}{(at/df,bt/df,ct/df;q)_{\infty}}\,d_qt=df\frac{(d,q,q/d,e/a,e/b,e/c;q)_{\infty}}{(a,b,c,aq/d,bq/d,cq/d;q)_{\infty}} \end{align}
$fq=g,df=h$とすると, $d=hq/g$となり,
\begin{align} \int_g^h\frac{(tq/h,tq/g,et/h;q)_{\infty}}{(at/h,bt/h,ct/h;q)_{\infty}}\,d_qt=h\frac{(hq/g,g/h,q,e/a,e/b,e/c;q)_{\infty}}{(a,b,c,ag/h,bg/h,cg/h;q)_{\infty}} \end{align}
$a\mapsto ah, b\mapsto bh,c\mapsto ch,e\mapsto eh$として,
\begin{align} \int_g^h\frac{(tq/h,tq/g,et;q)_{\infty}}{(at,bt,ct;q)_{\infty}}\,d_qt&=h\frac{(hq/g,g/h,q,e/a,e/b,e/c;q)_{\infty}}{(ah,bh,ch,ag,bg,cg;q)_{\infty}}\\ &=(h-g)\frac{(hq/g,gq/h,q,e/a,e/b,e/c;q)_{\infty}}{(ah,bh,ch,ag,bg,cg;q)_{\infty}} \end{align}
元の条件は, $abcgh=e$となる. よって, 文字を置き換えて以下を得る.

これは, Al-Salam, Vermaによって得られた公式である. 特に$c\to 0$とすると,
\begin{align} \int_a^b\frac{(tq/a,tq/b;q)_{\infty}}{(dt,et;q)_{\infty}}\,d_qt&=(b-a)\frac{(aq/b,bq/a,abde;q)_{\infty}}{(ad,ae,bd,be;q)_{\infty}} \end{align}
文字を置き換えて,
\begin{align} \int_a^b\frac{(tq/a,tq/b;q)_{\infty}}{(ct,dt;q)_{\infty}}\,d_qt&=(b-a)\frac{(aq/b,bq/a,abcd,q;q)_{\infty}}{(ac,ad,bc,bd;q)_{\infty}} \end{align}
を得る. この公式は, Andrews-Askey積分と呼ばれている.