Jacksonの8φ7和公式

前の記事で示したWatsonの変換公式
$\begin{aligned} _{8} ϕ_{7} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q^{n + 1} \end{array}; \frac{a^{2} q^{n + 2}}{b c d e}] & = \frac{(a q, a q / d e; q)_{n}}{(a q / d, a q / e; q)_{n}}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a q / b c, d, e, q^{- n} \\ a q / b, a q / c, d e q^{- n} / a \end{array}; q] \end{aligned}$
の特別な場合として, Jacksonによる $_{8} ϕ_{7}$ の和公式を得る.

Jacksonの

_{8} ϕ_{7}

和公式

$a^{2} q^{n + 1} = b c d e$ のとき,
$\begin{aligned} _{8} ϕ_{7} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q^{n + 1} \end{array}; q] & = \frac{(a q, a q / b c, a q / b c, a q / c d; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / b c d; q)_{n}} \end{aligned}$

Watsonの変換公式
$\begin{aligned} _{8} ϕ_{7} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q^{n + 1} \end{array}; \frac{a^{2} q^{n + 2}}{b c d e}] & = \frac{(a q, a q / d e; q)_{n}}{(a q / d, a q / e; q)_{n}}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a q / b c, d, e, q^{- n} \\ a q / b, a q / c, d e q^{- n} / a \end{array}; q] \end{aligned}$
において, $a^{2} q^{n + 1} = b c d e$ とすると, $a q / b c = d e q^{- n} / a$ より,
$\begin{aligned} _{8} ϕ_{7} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q^{n + 1} \end{array}; q] & = \frac{(a q, a q / d e; q)_{n}}{(a q / d, a q / e; q)_{n}}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} d, e, q^{- n} \\ a q / b, a q / c \end{array}; q] \end{aligned}$
となる. 上の条件から, $q$ -Saalschützの和公式より,
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} d, e, q^{- n} \\ a q / b, a q / c \end{array}; q] & = \frac{(a q / b d, a q / b e; q)_{n}}{(a q / b, a q / b d e; q)_{n}} \end{aligned}$
となるので,
$\begin{aligned} _{8} ϕ_{7} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q^{n + 1} \end{array}; q] & = \frac{(a q, a q / d e; q)_{n}}{(a q / d, a q / e; q)_{n}} \frac{(a q / b d, a q / b e; q)_{n}}{(a q / b, a q / b d e; q)_{n}} \end{aligned}$
$e$ と $c$ を入れ替えると定理を得る.

$n \to \infty$ とすることによって, 以下のRogersの $_{6} ϕ_{5}$ の和公式を得る.

$\begin{aligned} _{6} ϕ_{5} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d \end{array}; \frac{a q}{b c d}] & = \frac{(a q, a q / b c, a q / b d, a q / c d; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / b c d; q)_{\infty}} \end{aligned}$

さらに $d = \sqrt{a}$ とすると, 以下の $q$ -Dixonの和公式を得る.

$\begin{aligned} _{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, - \sqrt{a} q, b, c \\ - \sqrt{a}, a q / b, a q / c \end{array}; \frac{\sqrt{a} q}{b c}] & = \frac{(a q, a q / b c, \sqrt{a} q / b, \sqrt{a} q / c; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c, \sqrt{a} q, \sqrt{a} q / b c; q)_{\infty}} \end{aligned}$

投稿日：2024年5月26日

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Wataru

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