Jacksonの8φ7和公式
前の記事
で示したWatsonの変換公式
\begin{align}
\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{n+1}}{\frac{a^2q^{n+2}}{bcde}}&=\frac{(aq,aq/de;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_n}\Q43{aq/bc,d,e,q^{-n}}{aq/b,aq/c,deq^{-n}/a}{q}
\end{align}
の特別な場合として, Jacksonによる${}_8\phi_7$の和公式を得る.
$a^2q^{n+1}=bcde$のとき,
\begin{align}
\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{n+1}}q&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bc,aq/cd;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q)_n}
\end{align}
Watsonの変換公式
\begin{align}
\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{n+1}}{\frac{a^2q^{n+2}}{bcde}}&=\frac{(aq,aq/de;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_n}\Q43{aq/bc,d,e,q^{-n}}{aq/b,aq/c,deq^{-n}/a}{q}
\end{align}
において, $a^2q^{n+1}=bcde$とすると, $aq/bc=deq^{-n}/a$より,
\begin{align}
\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{n+1}}{q}&=\frac{(aq,aq/de;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_n}\Q32{d,e,q^{-n}}{aq/b,aq/c}{q}
\end{align}
となる. 上の条件から, $q$-Saalschützの和公式より,
\begin{align}
\Q32{d,e,q^{-n}}{aq/b,aq/c}{q}&=\frac{(aq/bd,aq/be;q)_n}{(aq/b,aq/bde;q)_n}
\end{align}
となるので,
\begin{align}
\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{n+1}}{q}&=\frac{(aq,aq/de;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_n}\frac{(aq/bd,aq/be;q)_n}{(aq/b,aq/bde;q)_n}
\end{align}
$e$と$c$を入れ替えると定理を得る.
$n\to \infty$とすることによって, 以下のRogersの${}_6\phi_5$の和公式を得る.
\begin{align} \Q65{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d}{\frac{aq}{bcd}}&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q)_{\infty}} \end{align}
さらに$d=\sqrt a$とすると, 以下の$q$-Dixonの和公式を得る.
\begin{align} \Q43{a,-\sqrt aq,b,c}{-\sqrt a,aq/b,aq/c}{\frac{\sqrt aq}{bc}}&=\frac{(aq,aq/bc,\sqrt aq/b,\sqrt aq/c;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,\sqrt aq,\sqrt aq/bc;q)_{\infty}} \end{align}
