Watsonの8φ7変換公式

ここでは, Watsonによる $_{8} ϕ_{7}$ の変換公式
$\begin{aligned} _{8} ϕ_{7} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q^{n + 1} \end{array}; \frac{a^{2} q^{2 + n}}{b c d e}] \\ = \frac{(a q, a q / d e; q)_{n}}{(a q / d, a q / e; q)_{n}}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a q / b c, d, e, q^{- n} \\ a q / b, a q / c, d e q^{- n} / a \end{array}; q] \end{aligned}$
を示す. これはWhippleによる $_{7} F_{6}$ の変換公式
$\begin{aligned} _{7} F_{6} [\begin{array}{c} a, 1 + \frac{a}{2}, b, c, d, e, - n \\ \frac{a}{2}, 1 + a - b, 1 + a - c, 1 + a - d, 1 + a - e, 1 + a + n \end{array}; 1] \\ = \frac{(1 + a, 1 + a - d - e)_{n}}{(1 + a - d, 1 + a - e)_{n}}_{4} F_{3} [\begin{array}{c} 1 + a - b - c, d, e, - n \\ 1 + a - b, 1 + a - c, d + e - a - n \end{array}; 1] \end{aligned}$
の $q$ 類似である.

$\begin{aligned} _{r + 4} ϕ_{r + 3} [\begin{array}{c} a, b, c, a_{1}, \dots, a_{r}, q^{- n} \\ a q / b, a q / c, b_{1}, \dots, b_{r + 1} \end{array}; x] & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a q / b c, a_{1}, \dots, a_{r}, q^{- n}; q)_{k}}{(a q / b, a q / c, b_{1}, \dots, b_{r + 1}, q; q)_{2 k}} q^{- (\binom{k}{2})} {(- \frac{b c x}{a q})}^{k} \\ \cdot_{r + 2} ϕ_{r + 1} [\begin{array}{c} a q^{2 k}, a_{1} q^{k}, \dots, a_{r} q^{k}, q^{k - n} \\ b_{1} q^{k}, \dots, b_{r + 1} q^{k} \end{array}; \frac{b c x}{a q^{k + 1}}] \end{aligned}$

$q$ -Saalschützの和公式より,
$\begin{aligned} \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} & = {(\frac{b c}{a q})}^{n}_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a q / b c, a q^{n}, q^{- n} \\ a q / b, a q / c \end{array}; q] \end{aligned}$
であるから,
$\begin{aligned} _{r + 4} ϕ_{r + 3} [\begin{array}{c} a, b, c, a_{1}, \dots, a_{r}, q^{- n} \\ a q / b, a q / c, b_{1}, \dots, b_{r + 1} \end{array}; x] \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a, a_{1}, \dots, a_{r}, q^{- n}; q)_{k}}{(b_{1}, \dots, b_{r + 1}, q; q)_{k}} {(\frac{b c x}{a q})}^{k} \sum_{j = 0}^{k} \frac{(a q / b c, a q^{k}, q^{- k}; q)_{j}}{(a q / b, a q / c, q; q)_{j}} q^{j} \\ = \sum_{j = 0}^{n} \frac{(a q / b c; q)_{j}}{(a q / b, a q / c, q; q)_{j}} q^{j} \sum_{k = j}^{n} \frac{(a, a_{1}, \dots, a_{r}, q^{- n}; q)_{k}}{(b_{1}, \dots, b_{r + 1}, q; q)_{k}} (a q^{k}, q^{- k}; q)_{j} {(\frac{b c x}{a q})}^{k} \\ = \sum_{j = 0}^{n} \frac{(a q / b c; q)_{j}}{(a q / b, a q / c, q; q)_{j}} q^{j} \sum_{k = j}^{n} \frac{(a_{1}, \dots, a_{r}, q^{- n}; q)_{k}}{(b_{1}, \dots, b_{r + 1}; q)_{k}} \frac{(a; q)_{k + j}}{(q; q)_{k - j}} (- 1)^{j} q^{(\binom{j}{2}) - k j} {(\frac{b c x}{a q})}^{k} \\ = \sum_{j = 0}^{n} \frac{(a q / b c; q)_{j}}{(a q / b, a q / c, q; q)_{j}} q^{- (\binom{j}{2})} {(- \frac{b c x}{a q})}^{j} \sum_{k = 0}^{n - j} \frac{(a_{1}, \dots, a_{r}, q^{- n}; q)_{k + j}}{(b_{1}, \dots, b_{r + 1}; q)_{k + j}} \frac{(a; q)_{k + 2 j}}{(q; q)_{k}} {(\frac{b c x}{a q^{j + 1}})}^{k} \\ = \sum_{j = 0}^{n} \frac{(a q / b c, a_{1}, \dots, a_{r}, q^{- n}; q)_{j} (a; q)_{2 j}}{(a q / b, a q / c, b_{1}, \dots, b_{r + 1}, q; q)_{j}} q^{- (\binom{j}{2})} {(- \frac{b c x}{a q})}^{j} \sum_{k = 0}^{n - j} \frac{(a q^{2 j}, a_{1} q^{j}, \dots, a_{r} q^{j}, q^{j - n}; q)_{k}}{(b_{1} q^{j}, \dots, b_{r + 1} q^{j}, q; q)_{k}} {(\frac{b c x}{a q^{j + 1}})}^{k} \end{aligned}$
となって示される.

この定理1を繰り返し適用することによって, 少しずつ一般的な公式を得ていくという流れになる.

$n$ を非負整数とするとき,
$\begin{aligned} _{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q^{n + 1} \end{array}; q^{n}] & = δ_{n, 0} \end{aligned}$
が成り立つ.

定理1より,
$\begin{aligned} _{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q^{n + 1} \end{array}; q^{n}] & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- q^{- 1}, q^{- n}; q)_{k} (a; q)_{2 k}}{(\sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q^{n + 1}, q; q)_{k}} q^{- (\binom{k}{2})} q^{(n + 1) k}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a q^{2 k}, q^{k - n} \\ a q^{n + k + 1} \end{array}; - q^{n + 1 - k}] \end{aligned}$
ここで, Bailey-Daumの和公式
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ a q / b \end{array}; - \frac{q}{b}] & = \frac{(- q; q)_{\infty} (a q, a q^{2} / b^{2}; q^{2})_{\infty}}{(a q / b, - q / b; q)_{\infty}} \end{aligned}$
を用いると,
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a q^{2 k}, q^{k - n} \\ a q^{n + k + 1} \end{array}; - q^{n + 1 - k}] & = \frac{(- q; q)_{\infty} (a q^{2 k + 1}, a q^{2 n + 2}; q^{2})_{\infty}}{(a q^{n + k + 1}, - q^{n - k + 1}; q)_{\infty}} \end{aligned}$
であるから,
$\begin{aligned} _{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q^{n + 1} \end{array}; q^{n}] & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- q^{- 1}, q^{- n}; q)_{k} (a; q)_{2 k}}{(\sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q^{n + 1}, q; q)_{k}} q^{- (\binom{k}{2})} q^{(n + 1) k} \frac{(- q; q)_{\infty} (a q^{2 k + 1}, a q^{2 n + 2}; q^{2})_{\infty}}{(a q^{n + k + 1}, - q^{n - k + 1}; q)_{\infty}} \\ = \frac{(a q^{2 n + 2}; q)_{\infty}}{(a q; q)_{\infty}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- q^{- 1}, - q^{- n}; q)_{k} (a q; q^{2})_{k} (a q^{2 k + 1}; q^{2})_{\infty} (a q; q)_{n + k} (- q; q)_{n - k}}{(a q^{n + 1}, q; q)_{k}} q^{(n + 1) k - (\binom{k}{2})} \\ = \frac{(a q^{2 n + 2}, a q; q^{2})_{\infty} (a q, - q; q)_{n}}{(a q; q)_{\infty}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- q^{- 1}, q^{- n}; q)_{k}}{(- q^{- n}; q)_{k}} q^{k} \end{aligned}$
ここで, $q$ -Vandermondeの恒等式 , $0 < n$ のとき,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- q^{- 1}, q^{- n}; q)_{k}}{(- q^{- n}; q)_{k}} q^{k} & = \frac{(q^{1 - n}; q)_{n}}{(- q^{- n}; q)_{n}} (- q^{- 1})^{n} = 0 \end{aligned}$
であり, $n = 0$ のとき,
$\begin{array}{r} _{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q^{n + 1} \end{array}; q^{n}] = 1 \end{array}$
であるから補題を得る.

結果がシンプルな割に上の補題の証明にはBailey-Daumの和公式や $q$ -Vandermondeの恒等式が用いられている. よりシンプルな証明が与えられそうである.

$n$ を非負整数とするとき,
$\begin{aligned} _{6} ϕ_{5} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q^{n + 1} \end{array}; \frac{a q^{n + 1}}{b c}] & = \frac{(a q, a q / b c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} \end{aligned}$
が成り立つ.

定理1より,
$\begin{aligned} _{6} ϕ_{5} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q^{n + 1} \end{array}; \frac{a q^{n + 1}}{b c}] & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a q / b c, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, q^{- n}; q)_{k} (a; q)_{2 k}}{(a q / b, a q / c, \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q^{n + 1}, q; q)_{k}} q^{- (\binom{k}{2})} (- q^{n})^{k} \\ \cdot_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a q^{2 k}, \sqrt{a} q^{k + 1}, - \sqrt{a} q^{k + 1}, q^{k - n} \\ \sqrt{a} q^{k}, - \sqrt{a} q^{k}, a q^{n + k + 1} \end{array}; q^{n - k}] \end{aligned}$
補題2より,
$\begin{aligned} _{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a q^{2 k}, \sqrt{a} q^{k + 1}, - \sqrt{a} q^{k + 1}, q^{k - n} \\ \sqrt{a} q^{k}, - \sqrt{a} q^{k}, a q^{n + k + 1} \end{array}; q^{n - k}] & = δ_{n, k} \end{aligned}$
だから,
$\begin{aligned} _{6} ϕ_{5} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q^{n + 1} \end{array}; \frac{a q^{n + 1}}{b c}] & = \frac{(a q / b c, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, q^{- n}; q)_{n} (a; q)_{2 n}}{(a q / b, a q / c, \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q^{n + 1}, q; q)_{n}} q^{- (\binom{n}{2})} (- q^{n})^{n} \\ = \frac{(a q, a q / b c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} \end{aligned}$
となって補題を得る.

Watsonの

_{8} ϕ_{7}

変換公式

非負整数 $n$ に対して
$\begin{aligned} _{8} ϕ_{7} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q^{n + 1} \end{array}; \frac{a^{2} q^{2 + n}}{b c d e}] & = \frac{(a q, a q / d e; q)_{n}}{(a q / d, a q / e; q)_{n}}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a q / b c, d, e, q^{- n} \\ a q / b, a q / c, d e q^{- n} / a \end{array}; q] \end{aligned}$
が成り立つ.

定理1より,
$\begin{aligned} _{8} ϕ_{7} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q^{n + 1} \end{array}; \frac{a^{2} q^{2 + n}}{b c d e}] \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a q / b c, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, d, e, q^{- n}; q)_{k} (a; q)_{2 k}}{(a q / b, a q / c, \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / d, a q / e, a q^{n + 1}, q; q)_{k}} q^{- (\binom{k}{2})} {(\frac{a q^{n + 1}}{d e})}^{k} \\ \cdot_{6} ϕ_{5} [\begin{array}{c} a q^{2 k}, \sqrt{a} q^{k + 1}, - \sqrt{a} q^{k + 1}, d q^{k}, e q^{k}, q^{k - n} \\ \sqrt{a} q^{k}, - \sqrt{a} q^{k}, a q^{k + 1} / d, a q^{k + 1} / e, a q^{n + k + 1} \end{array}; \frac{a q^{n - k + 1}}{d e}] \end{aligned}$
ここで, 補題3より,
$\begin{aligned} _{6} ϕ_{5} [\begin{array}{c} a q^{2 k}, \sqrt{a} q^{k + 1}, - \sqrt{a} q^{k + 1}, d q^{k}, e q^{k}, q^{k - n} \\ \sqrt{a} q^{k}, - \sqrt{a} q^{k}, a q^{k + 1} / d, a q^{k + 1} / e, a q^{n + k + 1} \end{array}; \frac{a q^{n - k + 1}}{d e}] \\ = \frac{(a q^{2 k + 1}, a q / d e; q)_{n - k}}{(a q^{k + 1} / d, a q^{k + 1} / e; q)_{n - k}} \\ = \frac{(a q; q)_{n + k}}{(a q; q)_{2 k}} \frac{(a q / d, a q / e; q)_{k}}{(a q / d, a q / e; q)_{n}} \frac{(a q / d e; q)_{n}}{(d e q^{- n} / a; q)_{k}} {(- \frac{d e}{a})}^{k} q^{(\binom{k}{2}) - n k} \\ = \frac{(a q, a q / d e; q)_{n}}{(a q / d, a q / e; q)_{n}} \frac{(a q / d, a q / e, a q^{n + 1}; q)_{k}}{(a q; q)_{2 k} (d e q^{- n} / a; q)_{k}} {(- \frac{d e}{a q^{n}})}^{k} q^{(\binom{k}{2})} \end{aligned}$
より,
$\begin{aligned} _{8} ϕ_{7} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q^{n + 1} \end{array}; \frac{a^{2} q^{2 + n}}{b c d e}] \\ = \frac{(a q, a q / d e; q)_{n}}{(a q / d, a q / e; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a q / b c, d, e, q^{- n}; q)_{k}}{(a q / b, a q / c, d e q^{- n} / a, q; q)_{k}} q^{k} \end{aligned}$
となって定理が示される.

投稿日：2024年5月26日

更新日：5日前

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Wataru

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