Bailey-Daumの和公式の証明
Kummerの和公式
\begin{align}
\F21{a,b}{1+a-b}{-1}&=\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)}
\end{align}
の$q$類似となるBailey-Daumの和公式を示す.
\begin{align} \Q21{a,b}{aq/b}{-\frac qb}&=\frac{(-q;q)_{\infty}(aq,aq^2/b^2;q^2)_{\infty}}{(aq/b,-q/b;q)_{\infty}} \end{align}
Heineの変換公式
の1つ目の式
\begin{align}
\Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(b,ax;q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\Q21{c/b,x}{ax}{b}
\end{align}
より,
\begin{align}
\Q21{b,a}{aq/b}{-\frac qb}&=\frac{(a,-q;q)_{\infty}}{(aq/b,-q/b;q)_{\infty}}\Q21{q/b,-q/b}{q}{a}\\
&=\frac{(a,-q;q)_{\infty}}{(aq/b,-q/b;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(q/b,-q/b;q)_n}{(-q,q;q)_n}a^n\\
&=\frac{(a,-q;q)_{\infty}}{(aq/b,-q/b;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(q^2/b^2;q^2)_n}{(q^2;q^2)_n}a^n\\
&=\frac{(a,-q;q)_{\infty}}{(aq/b,-q/b;q)_{\infty}}\frac{(aq^2/b^2;q^2)_{\infty}}{(a;q^2)_{\infty}}\\
&=\frac{(-q;q)_{\infty}(aq,aq^2/b^2;q^2)_{\infty}}{(aq/b,-q/b;q)_{\infty}}
\end{align}
となって示される. 途中の
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(q^2/b^2;q^2)_n}{(q^2;q^2)_n}a^n&=\frac{(aq^2/b^2;q^2)_{\infty}}{(a;q^2)_{\infty}}
\end{align}
は$q$二項定理である.
Bailey-Daumの和公式は, $q$-Dixonの恒等式
\begin{align}
\Q43{a,-\sqrt aq,b,c}{-\sqrt a,aq/b,aq/c}{\frac{\sqrt aq}{bc}}&=\frac{(aq,aq/bc,\sqrt aq/b,\sqrt aq/c;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,\sqrt aq,\sqrt aq/bc;q)_{\infty}}
\end{align}
において$c=-\sqrt a$とした特別な場合としても理解できる.
