Bailey-Daumの和公式の証明

Kummerの和公式
$\begin{aligned} _{2} F_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ 1 + a - b \end{array}; - 1] & = \frac{Γ (1 + \frac{a}{2}) Γ (1 + a - b)}{Γ (1 + a) Γ (1 + \frac{a}{2} - b)} \end{aligned}$
の $q$ 類似となるBailey-Daumの和公式を示す.

Bailey-Daumの和公式

$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ a q / b \end{array}; - \frac{q}{b}] & = \frac{(- q; q)_{\infty} (a q, a q^{2} / b^{2}; q^{2})_{\infty}}{(a q / b, - q / b; q)_{\infty}} \end{aligned}$

Heineの変換公式の1つ目の式
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; x] & = \frac{(b, a x; q)_{\infty}}{(c, x; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} c / b, x \\ a x \end{array}; b] \end{aligned}$
より,
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} b, a \\ a q / b \end{array}; - \frac{q}{b}] & = \frac{(a, - q; q)_{\infty}}{(a q / b, - q / b; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} q / b, - q / b \\ q \end{array}; a] \\ = \frac{(a, - q; q)_{\infty}}{(a q / b, - q / b; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(q / b, - q / b; q)_{n}}{(- q, q; q)_{n}} a^{n} \\ = \frac{(a, - q; q)_{\infty}}{(a q / b, - q / b; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(q^{2} / b^{2}; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} a^{n} \\ = \frac{(a, - q; q)_{\infty}}{(a q / b, - q / b; q)_{\infty}} \frac{(a q^{2} / b^{2}; q^{2})_{\infty}}{(a; q^{2})_{\infty}} \\ = \frac{(- q; q)_{\infty} (a q, a q^{2} / b^{2}; q^{2})_{\infty}}{(a q / b, - q / b; q)_{\infty}} \end{aligned}$
となって示される. 途中の
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(q^{2} / b^{2}; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} a^{n} & = \frac{(a q^{2} / b^{2}; q^{2})_{\infty}}{(a; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$
は $q$ 二項定理である.

Bailey-Daumの和公式は, $q$ -Dixonの恒等式
$\begin{aligned} _{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, - \sqrt{a} q, b, c \\ - \sqrt{a}, a q / b, a q / c \end{array}; \frac{\sqrt{a} q}{b c}] & = \frac{(a q, a q / b c, \sqrt{a} q / b, \sqrt{a} q / c; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c, \sqrt{a} q, \sqrt{a} q / b c; q)_{\infty}} \end{aligned}$
において $c = - \sqrt{a}$ とした特別な場合としても理解できる.