令和4年度神戸大理学部数学科3年次編入第2問

問題は, 神戸大数学科のウェブサイト の 令和 4 年度編入試（PDF-file） を参照してください。

令和4年度神戸大理学部数学科3年次編入第2問の解答

$(1)\quad $与えられた$A$に対し
\begin{align*} B=P^{-1}AP \end{align*}
となる対角行列$B$と直交行列が存在すると仮定する。 このとき両辺の転置をとった
\begin{align*} {}^{t}B={}^{t}(P^{-1}AP), \end{align*}
つまり
\begin{align*} B=P^{-1}{}^{t}AP, \quad(\because Pは直交行列で, Bは対角行列) \end{align*}
が成り立つ。よって, $P^{-1}AP=P^{-1}{}^{t}AP$から
\begin{align*} A={}^{t}A \end{align*}
が成り立つ。また, 対称行列は直交行列で対角化できるから, 求める必要十分条件は$A={}^{t}A, $つまり
\begin{align*} a=1. \end{align*}

$(2)\quad $$a=1$とする。$A$の固有多項式は
\begin{align*} |xE-A|&= \begin{vmatrix} x&-1&-2\\ -1&x&-2\\ -2&-2&x-3 \end{vmatrix} =\{x^{2}(x-3)-4-4\}-(4x+4x+x-3)\\ &=x^{3}-3x^{2}-9x-5 =(x-5)(x+1)^{2} \end{align*}
だから, 固有値は$5, -1$である。
\begin{align*} (5E-A) \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\ \dfrac{1}{\sqrt{6}}\\ \dfrac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} = 0, \end{align*}
そして
\begin{align*} (-E-A) \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ 0 \end{pmatrix} =0 , \quad (-E-A) \begin{pmatrix} \dfrac{2}{\sqrt{5}}\\ 0\\ -\dfrac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} =0. \end{align*}
ゆえに3つの単位ベクトルを並べた直交行列
\begin{align*} P= \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\sqrt{6}}&\dfrac{1}{\sqrt{2}}&\dfrac{2}{\sqrt{5}}\\ \dfrac{1}{\sqrt{6}}&\dfrac{1}{\sqrt{2}}&0\\ \dfrac{2}{\sqrt{6}}&0& -\dfrac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} \end{align*}
が得られる。そして
\begin{align*} P^{-1}AP= \begin{pmatrix} 5&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix} \end{align*}
なので, この対角行列が$B$の1つである。

したがって, 求める$P, B$の組の1つは
\begin{align*} P=\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\sqrt{6}}&\dfrac{1}{\sqrt{2}}&\dfrac{2}{\sqrt{5}}\\ \dfrac{1}{\sqrt{6}}&\dfrac{1}{\sqrt{2}}&0\\ \dfrac{2}{\sqrt{6}}&0& -\dfrac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} , \quad B= \begin{pmatrix} 5&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix} . \end{align*}