令和4年度神戸大理学部数学科3年次編入第2問

問題は, 神戸大数学科のウェブサイトの令和 4 年度編入試（PDF-file）を参照してください。

令和4年度神戸大理学部数学科3年次編入第2問の解答

$(1)$ 与えられた $A$ に対し
$\begin{array}{r} B = P^{- 1} A P \end{array}$
となる対角行列 $B$ と直交行列が存在すると仮定する。このとき両辺の転置をとった
$\begin{array}{r} ^{t} B =^{t} (P^{- 1} A P), \end{array}$
つまり
$\begin{array}{r} B = P^{- 1}^{t} A P, (∵ P は直交行列で, B は対角行列) \end{array}$
が成り立つ。よって, $P^{- 1} A P = P^{- 1}^{t} A P$ から
$\begin{array}{r} A =^{t} A \end{array}$
が成り立つ。また, 対称行列は直交行列で対角化できるから, 求める必要十分条件は $A =^{t} A,$ つまり
$\begin{array}{r} a = 1. \end{array}$

$(2)$ $a = 1$ とする。 $A$ の固有多項式は
$\begin{aligned} | x E - A | & = | \begin{array}{c} x & - 1 & - 2 \\ - 1 & x & - 2 \\ - 2 & - 2 & x - 3 \end{array} | = {x^{2} (x - 3) - 4 - 4} - (4 x + 4 x + x - 3) \\ = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5 = (x - 5) (x + 1)^{2} \end{aligned}$
だから, 固有値は $5, - 1$ である。
$\begin{array}{r} (5 E - A) (\begin{array}{c} - \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} \end{array}) = 0, \end{array}$
そして
$\begin{array}{r} (- E - A) (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array}) = 0, (- E - A) (\begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{5}} \\ 0 \\ - \frac{1}{\sqrt{5}} \end{array}) = 0. \end{array}$
ゆえに3つの単位ベクトルを並べた直交行列
$\begin{array}{r} P = (\begin{array}{c} - \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & - \frac{1}{\sqrt{5}} \end{array}) \end{array}$
が得られる。そして
$\begin{array}{r} P^{- 1} A P = (\begin{array}{c} 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}) \end{array}$
なので, この対角行列が $B$ の1つである。

したがって, 求める $P, B$ の組の1つは
$\begin{array}{r} P = (\begin{array}{c} - \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & - \frac{1}{\sqrt{5}} \end{array}), B = (\begin{array}{c} 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}) . \end{array}$