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【ゲージ理論】Chern類

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特性類速習(Chern-Weilの定理,Chern類,Pontrjagin類,Euler類)

 複素ベクトル束の特性類であるChern類の説明をします。

 P=P(M,GL(r,C))M上の主GL(r,C)束とし、Pに同伴した複素ベクトル束をE=P×ρCrとすると、Eの接続を任意に定めると、それはPの接続にもなるからPの特性類を考えることで、Eの束不変量が得られます。

 GL(r,C)の不変多項式f0,f1,,frを次のように与えることができます。
det(tIr12π1X)=f0(X)tr+f1(X)tr1++fr(X)Xgl(r,C)
fi(X)i次の不変多項式となることは明らかです。

 fiの具体的な形を求めるには一旦固有値の基本対称多項式での表示を考えて、そのあとpower sumで書き直せばよいです。つまり
det(tIr12π1X)=(t12π1x1000t12π1xr)=k(12π1)kek(x1,,xr)trk
として、さらに基本対称多項式ekとpower sumpiとの関係を与えるNewtonの恒等式( Wikipedia )
kek(x1,,xn)=i=1k(1)i1eki(x1,,xn)pi(x1,,xn)
を使うと
e1=p12e2=p12p23e3=12p1332p1p2+p34e4=16p14p12p2+43p1p3+12p22p4
などが分かるので
pk(x1,,xn)=i=1r(xi)k=tr(Xk)
に注意すると
f0(X)=1f1(X)=12π1e1(x1,,xr)=12π1tr(X)f2(X)=(12π1)2e2(x1,,xr)=18π2(tr(X)2tr(X2))f3(X)=(12π1)3e3(x1,,xr)=(12π1)3(16tr(X)312tr(X)tr(X2)+13tr(X3))
などとなります。

P=P(M,GL(r,C))M上の主GL(r,C)束とし、Aを任意の接続、Fをその曲率とする。このとき
det(Ir12π1F)=f0(F)+f1(F)++fr(F)
とするとき、ck(E)=[fk(F)]HdR2k(M;C)Mのコホモロジー類を定め、これをEk次Chern類という。また
c(E)=1+c1(E)++cr(E)
E全Chern類という。

 構造群が簡約するときは以下のような命題が成り立ちます。

U(r)-複素ベクトル束のChern類は実数値コホモロジー類である

Xu(r), X+X=0に対して、
det(tIr12π1X)=det(tIr12π1X)
であり、fk(X)が実数であることから従う。

SU(r)-複素ベクトル束Eに対して、c1(E)=0である。

投稿日:2023513
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Submersion
Submersion
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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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