【ゲージ理論】Chern類

特性類速習(Chern-Weilの定理,Chern類,Pontrjagin類,Euler類)

　複素ベクトル束の特性類であるChern類の説明をします。

　$P=P(M,GL(r,\mathbb{C}))$を$M$上の主$GL(r,\mathbb{C})$束とし、$P$に同伴した複素ベクトル束を$E=P\times_\rho\mathbb{C}^r$とすると、$E$の接続を任意に定めると、それは$P$の接続にもなるから$P$の特性類を考えることで、$E$の束不変量が得られます。

　$GL(r,\mathbb{C})$の不変多項式$f_0,f_1,\cdots,f_r$を次のように与えることができます。
\begin{align} \det\left(tI_r-\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}X\right)&=f_0(X)t^r+f_1(X)t^{r-1}+\cdots+f_r(X)\\ X&\in\mathfrak{gl}(r,\mathbb{C}) \end{align}
$f_i(X)$が$i$次の不変多項式となることは明らかです。

　$f_i$の具体的な形を求めるには一旦固有値の基本対称多項式での表示を考えて、そのあとpower sumで書き直せばよいです。つまり
\begin{align} \det\left(tI_r-\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}X\right) =\begin{pmatrix} t-\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}x_1 & \cdots & * \\ 0 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & t-\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}x_r \end{pmatrix} =\sum_k \left(-\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\right)^ke_k(x_1,\cdots,x_r) t^{r-k} \end{align}
として、さらに基本対称多項式$e_k$とpower sum$p_i$との関係を与えるNewtonの恒等式( Wikipedia )
$$ ke_k(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^k(-1)^{i-1}e_{k-i}(x_1,\cdots,x_n)p_i(x_1,\cdots,x_n) $$
を使うと
\begin{align} e_1&=p_1\\ 2e_2&=p_1^2-p_2\\ 3e_3&=\frac{1}{2}p_1^3-\frac{3}{2}p_1p_2+p_3\\ 4e_4&=\frac{1}{6}p_1^4-p_1^2p_2+\frac{4}{3}p_1p_3+\frac{1}{2}p_2^2-p_4 \end{align}
などが分かるので
$$ p_k(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^r(x_i)^k=tr(X^k) $$
に注意すると
\begin{align} f_0(X)&=1\\ f_1(X)&=-\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}e_1(x_1,\cdots,x_r)=-\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}tr(X)\\ f_2(X)&=\left(-\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\right)^2e_2(x_1,\cdots,x_r)=-\frac{1}{8\pi^2}(tr(X)^2-tr(X^2))\\ f_3(X)&=\left(-\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\right)^3e_3(x_1,\cdots,x_r) =\left(-\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\right)^3\left(\frac{1}{6}tr(X)^3-\frac{1}{2}tr(X)tr(X^2)+\frac{1}{3}tr(X^3)\right) \end{align}
などとなります。

　構造群が簡約するときは以下のような命題が成り立ちます。