特性類速習(Chern-Weilの定理,Chern類,Pontrjagin類,Euler類)
複素ベクトル束の特性類であるChern類の説明をします。
を上の主束とし、に同伴した複素ベクトル束をとすると、の接続を任意に定めると、それはの接続にもなるからの特性類を考えることで、の束不変量が得られます。
の不変多項式を次のように与えることができます。
が次の不変多項式となることは明らかです。
の具体的な形を求めるには一旦固有値の基本対称多項式での表示を考えて、そのあとpower sumで書き直せばよいです。つまり
として、さらに基本対称多項式とpower sumとの関係を与えるNewtonの恒等式(
Wikipedia
)
を使うと
などが分かるので
に注意すると
などとなります。
を上の主束とし、を任意の接続、をその曲率とする。このとき
とするとき、はのコホモロジー類を定め、これをの次Chern類という。また
をの全Chern類という。
構造群が簡約するときは以下のような命題が成り立ちます。
-複素ベクトル束のChern類は実数値コホモロジー類である