変形レトラクトだが強変形レトラクトでない例
位相幾何の基本的な概念であるレトラクションの周辺について，その定義と基本的な例と簡単にまとめたいと思います．
それぞれの定義
$X$を位相空間，$A\subset X$を部分空間とする．連続写像$f\colon X\to A$であって$f|_A=\id_A$となるものが存在するとき，$A$を$X$のレトラクトといい，$f$を$X$から$A$へのレトラクションという．
$X$を位相空間，$A\subset X$を部分空間とする．レトラクション$f\colon X\to A$であって$\id_X$とホモトープなものが存在するとき，$A$を$X$の変形レトラクトといい，$\id_X$から$f$へのホモトピー$H\colon X\times [0,1]\to X$を変形レトラクションという．
$A$が$X$の変形レトラクトであるとは，$X$を$A$に連続的に縮小できることを表している．このとき，
$$f\circ\iota_A=\id_A,\ \iota_A\circ f=f\simeq \id_X$$
であるから$A$と$X$はホモトピー同値である．
$X$を位相空間，$A\subset X$を部分空間とする．変形レトラクション$H$であって，
$$\forall s\in [0,1],H(-,s)|_A=\id_A$$
なるものが存在するとき，$A$を$X$の強変形レトラクトといい，$H$を強変形レトラクションという．
$A$が$X$の強変形レトラクトであるとは，$A$を動かさずに$X$を$A$に連続的に縮小できることを表している．
強変形レトラクトを変形レトラクトの定義として採用する文献もある．例えば，Hatcher:"Algebric Topology"など．
具体例
$0\in A\subset\R^n$が$0$から星状であれば，$\{0\}$は$A$の強変形レトラクト．実際，
$$f\colon A\to \{0\}\ ,x\mapsto 0$$
とするとこれはAから$\{0\}$へのレトラクトであり，
$$H\colon A\times [0,1]\to A,\ H(x,s)=(1-s)x$$
は$0$を動かさない変形レトラクトである．
$C:=S^1\times[-1,1]$を$\R^3$内の円筒とし，$S^1\times\{0\}$と$S^1$を同一視すると，$S^1$は$C$の強変形レトラクト．実際，
$$f\colon C\to S^1\ ,(x,y,z)\mapsto (x,y,0)$$
とするとこれは$C$から$S^1$へのレトラクションであり，
$$H\colon C\times [0,1]\to C,\ H((x,y,z),s)=(x,y,(1-s)z)$$
は$S^1$を動かさない変形レトラクションである．
定義の強さ
定義から明らかに
強変形レトラクト$\Rightarrow$変形レトラクト$\Rightarrow$レトラクト$\Rightarrow$部分空間
である．しかし3つの$\Rightarrow$は全て逆がいえない．
$(0,1)$は$(0,1]$の部分空間だがレトラクトでない．
$f:(0,1]\to(0,1)$が$f|_{(0,1)}=\id_{(0,1)}$を充たすとする．このとき，$f(1)\in(0,1)$であるから
$$\exists\varepsilon>0,f(1)\in(0,1-\varepsilon)$$
このとき$(0,1-\varepsilon)$は$(0,1)$の開集合だが，$$f^{-1}((0,1-\varepsilon))=(0,1-\varepsilon)\cup\{1\}$$
は$(0,1]$の開集合でないので$f$は連続でない．よってレトラクションは存在しない．
離散空間$X:=\{0,1\}$において部分空間$\{0\}$はレトラクトだが変形レトラクトでない．
定値写像$f\colon X\to\{0\}$は唯一のレトラクションである．$\id_X$から$f$への変形レトラクション$H\colon X\times [0,1]\to X$が存在したと仮定する．
$1$が動く道を$h:=H(1,-)\colon[0,1]\to X$とおくとこれは連続である．$\{0\},\{1\}$は$X$の開集合なので$h^{-1}(\{0\}),h^{-1}(\{1\})$は$[0,1]$の開集合である．また
$$h^{-1}(\{1\})\cup h^{-1}(\{0\})
=h^{-1}(X)=[0,1]$$
$$h^{-1}(\{1\})\cap h^{-1}(\{0\})=h^{-1}(\emptyset)=\emptyset$$
さらに$H(1,0)=1,\ H(1,1)=0$であるから，
$$1\in h^{-1}(\{0\})\ne\emptyset,\ 0\in h^{-1}(\{1\})\ne\emptyset$$
これらから$[0,1]$が非連結であることが導かれるがこれは矛盾．従って変形レトラクションは存在しない．
櫛空間$C\subset\R^2$を
$$C:=[0,1]\times\{0\}\cup\{0\}\times[0,1]\cup\left\{\frac{1}{n}:n\in\Z_{>0}\right\}\times[0,1]$$
で定義する．$\{(0,1)\}$は$C$の変形レトラクトだが強変形レトラクトでない．
$p:=(0,1)\in C$とする．定値写像$f\colon C\to\{p\}$は唯一のレトラクションである．そこで，
$$H\colon C\times [0,1]\to C,\ H((x,y),s)=
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
(x,(1-3s)y) &{\rm if}\ s\in[0,\frac{1}{3}]\\
((2-3s)x,0) &{\rm if}\ s\in[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]\\
(0,3s-2) &{\rm if}\ s\in[\frac{2}{3},1]
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} $$
と定めると，これは$\id_C$から$f$への変形レトラクションである．この$H$は$0\le s\le\frac{1}{3}$のとき櫛歯の部分を$x$軸上に落とし，$\frac{1}{3}\le s\le\frac{2}{3}$のとき$x$軸上の点を原点に集め，$\frac{1}{3}\le s\le 1$のとき原点を$p$に移動させるホモトピーである．
この$H$では$p$は一度原点に動いた後に元の位置に戻っており固定されていない．つまり強変形レトラクションでない．
強変形レトラクションが存在しないことを示す前に補題を用意する．
$(X,\O_X),(Y,\O_Y)$は位相空間で$Y$はコンパクトとする．$p\in X$とする．$\{p\}\times Y\subset U$なる$X\times Y$の開集合$U$に対して，$p$の開近傍$V$が存在して，$\{p\}\times Y\subset V\times Y\subset U$となる．
積位相の定義から
$$\exists\{(U_\lam,V_\lam)\}_{\lam\in\Lam} \subset\O_X\times\O_Y,\
U
=\bigcup_{\lam\in\Lam} (U_\lam\times V_\lam)$$
である．ここで$\Lam':=\{\lam\in\Lam: p\in U_\lam\}$とすれば，
$$\{p\}\times Y\subset\bigcup_{\lam\in\Lam'} (U_\lam\times V_\lam)$$
であり，特に$\displaystyle Y=\bigcup_{\lam\in\Lam'} V_\lam$である．$Y$はコンパクトなので，
$$\displaystyle \exists\{\lam_j\}_{j=1}^{n}\subset\Lam',\
Y\subset\bigcup_{j=1}^n V_{\lam_j}
$$
このとき
$$\{p\}\times Y\subset\bigcup_{j=1}^n (U_{\lam_j}\times V_{\lam_j})$$
である．そこで，$\displaystyle V:=\bigcap_{j=1}^n U_{\lam_j}\in\O_X$とおくと，$p\in V$であり，
$$V\times Y=\bigcup_{j=1}^n (V\times V_{\lam_j})\subset \bigcup_{j=1}^n (U_{\lam_j}\times V_{\lam_j})\subset U$$
を充たす．
中断していた例5の証明を再開する．
強変形レトラクション$H\colon C\times[0,1]\to C$が存在したと仮定する．$U:=B(p,\frac{1}{2})\cap C$とおくとこれは$p$の開近傍であり，$x$軸と交わらない．$H$が$\{p\}$を動かさないことから,
$$\{p\}\times[0,1]\subset H^{-1}(\{p\})\subset H^{-1}(U)$$
また$H$の連続性により$H^{-1}(U)$は$C\times[0,1]$の開集合である．さらに$[0,1]$がコンパクトであることからTube lemmaより$p$の開近傍$V$が存在して，$V\times [0,1]\subset H^{-1}(U)$である．
このとき$q:=(\frac{1}{n},1)\in V$なる$q\in C$が取れる．$q$の軌跡$H(\{q\}\times[0,1])$は弧状連結で$H(\{q\}\times[0,1])\subset U$を充たす．しかし$H(q,0)=q,H(q,1)=p$であるから軌跡は$x$軸を通る必要があり，これは$U$が$x$軸と交わらないことに矛盾する．従って強変形レトラクションは存在しない．
櫛歯の先端の点を連続的に$p$に動かすためには$x$軸を通って遠回りをする必要がある．櫛歯の先端は$p$に集積しているため$p$にどれだけでも近い点が取れるが，それら全てが遠回りして動くような連続変形は存在しないということである．
また$C$において$\{0\}\times(0,1]$以外の点は強変形レトラクトである．よって$C$は強変形レトラクトでない1点が存在するが強い可縮ではある．しかしある1点が変形レトラクトであっても，任意の1点が強変形レトラクトでない空間，つまり弱い可縮であっても強い可縮でない空間も存在する．その例については今後扱うかもしれない．
