Jacksonの2φ2変換公式の証明

Pfaffの変換公式
$\begin{aligned} _{2} F_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; x] & = (1 - x)^{- a}_{2} F_{1} [\begin{array}{c} a, c - b \\ c \end{array}; \frac{x}{x - 1}] \end{aligned}$
の $q$ 類似であるJacksonの $_{2} ϕ_{2}$ 変換公式を示す.

Jacksonの

_{2} ϕ_{2}

変換公式

$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; x] & = \frac{(a x; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, c / b \\ c, a x \end{array}; b x] \end{aligned}$

$q$ -Vandermondeの恒等式
$\begin{aligned} \frac{(b; q)_{n}}{(c; q)_{n}} & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(c / b, q^{- n}; q)_{k}}{(c, q; q)_{k}} b^{k} q^{n k} \end{aligned}$
を用いて,
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; x] & = \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} x^{n} \frac{(b; q)_{n}}{(c; q)_{n}} \\ = \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} x^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(c / b, q^{- n}; q)_{k}}{(c, q; q)_{k}} b^{k} q^{n k} \\ = \sum_{0 \leq k} \frac{(c / b; q)_{k}}{(c, q; q)_{k}} b^{k} \sum_{k \leq n} \frac{(a; q)_{n} (q^{- n}; q)_{k}}{(q; q)_{n}} x^{n} q^{n k} \\ = \sum_{0 \leq k} \frac{(c / b; q)_{k}}{(c, q; q)_{k}} (- b)^{k} q^{(\binom{k}{2})} \sum_{k \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n - k}} x^{n} \\ = \sum_{0 \leq k} \frac{(c / b; q)_{k}}{(a, c, q; q)_{k}} (- b x)^{k} q^{(\binom{k}{2})} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q^{k}; q)_{n}}{(q; q)_{n}} x^{n} \\ = \sum_{0 \leq k} \frac{(a, c / b; q)_{k}}{(c, q; q)_{k}} (- b x)^{k} q^{(\binom{k}{2})} \frac{(a x q^{k}; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}} \\ = \frac{(a x; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{(a, c / b; q)_{k}}{(c, a x, q; q)_{k}} (- b x)^{k} q^{(\binom{k}{2})} \\ = \frac{(a x; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, c / b \\ c, a x \end{array}; b x] \end{aligned}$
となって示される. 途中の等号
$\begin{array}{r} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q^{k}; q)_{n}}{(q; q)_{n}} x^{n} = \frac{(a x q^{k}; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}} \end{array}$
は $q$ 二項定理による.

投稿日：2024年5月24日

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Wataru

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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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