Jacksonの2φ2変換公式の証明
Pfaffの変換公式
\begin{align}
\F21{a,b}{c}{x}&=(1-x)^{-a}\F21{a,c-b}{c}{\frac{x}{x-1}}
\end{align}
の$q$類似であるJacksonの${}_2\phi_2$変換公式を示す.
\begin{align} \Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q22{a,c/b}{c,ax}{bx} \end{align}
$q$-Vandermondeの恒等式
\begin{align}
\frac{(b;q)_n}{(c;q)_n}&=\sum_{k=0}^n\frac{(c/b,q^{-n};q)_k}{(c,q;q)_k}b^kq^{nk}
\end{align}
を用いて,
\begin{align}
\Q21{a,b}{c}{x}&=\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}x^n\frac{(b;q)_n}{(c;q)_n}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(c/b,q^{-n};q)_k}{(c,q;q)_k}b^kq^{nk}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(c/b;q)_k}{(c,q;q)_k}b^k\sum_{k\leq n}\frac{(a;q)_n(q^{-n};q)_k}{(q;q)_n}x^nq^{nk}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(c/b;q)_k}{(c,q;q)_k}(-b)^kq^{\binom k2}\sum_{k\leq n}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_{n-k}}x^n\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(c/b;q)_k}{(a,c,q;q)_k}(-bx)^kq^{\binom k2}\sum_{0\leq n}\frac{(aq^k;q)_n}{(q;q)_{n}}x^n\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a,c/b;q)_k}{(c,q;q)_k}(-bx)^kq^{\binom k2}\frac{(axq^k;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(a,c/b;q)_k}{(c,ax,q;q)_k}(-bx)^kq^{\binom k2}\\
&=\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q22{a,c/b}{c,ax}{bx}
\end{align}
となって示される. 途中の等号
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(aq^k;q)_n}{(q;q)_{n}}x^n=\frac{(axq^k;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}
\end{align}
は$q$二項定理による.
