行列に関するある予想

【私的数学塾】 さんの掲示板に 投稿 しましたが、添え字を使った方が見やすいと思うのでこちらにも書いておこうと思います。

次の命題が成り立ちそうなのですが、いい証明方法（成立しないなら反例）があるでしょうか。
$n=3,4,5$のときの数値計算から予想しました。$n=3$の場合を除いて、私は証明できていません。
私はひょんなことからこの予想を立てましたが、もしかしたら専門の人にとっては当たり前の命題なのかもしれません……。

予想

この記事では、正方行列$M$の余因子行列を$\mathrm{adj}(M)$と表します。

$M_{i,j},\,\bm{x}'_k,\,\bm{y}'_k\,$の定義

$n$次正方行列$M$から第$i$行と第$j$列を取り除いて得られる小行列を$M_{i,j}$と書きます。
$n$次元の行ベクトル$\bm{x}$から$k$番目の成分を取り除いて得られる$n-1$次元行ベクトルを$\bm{x}'_k$と書くことにします。
$n$次元の列ベクトル$\bm{y}$から$k$番目の成分を取り除いて得られる$n-1$次元列ベクトルを$\bm{y}'_k$と書くことにします。

$R(\bm{x},M,\bm{y})$の定義

$n\geq 3$とします。
$n$次元の行ベクトル$\bm{x}$，$n$次正方行列$M$，$n$次元の列ベクトル$\bm{y}$が与えられているとき、
$n$次正方行列$R(\bm{x},M,\bm{y})$は
$$r_{i,j}=\bm{x}'_i\big((-1)^{i+j}\,\mathrm{adj}(M_{j,i})\big)\bm{y}'_j$$
を$(i,j)$成分とする行列と定義します。

$\mathrm{adj}(M_{i,j})$ではなく$\mathrm{adj}(M_{j,i})$であることに注意してください。

予想

$n\geq 3$とします。
$P$を正則な$n$次正方行列とします。
$n$次正方行列$A$，$n$次元の行ベクトル$\bm{u}$，$n$次元の列ベクトル$\bm{v}$に対して、
$$R(\bm{u}P,P^{-1}AP,P^{-1}\bm{v})=P^{-1}R(\bm{u},A,\bm{v})P$$
が成り立つと予想しました。

$n=3$の場合

$n=3$の場合を計算してみます。

添え字について

ここでは、添え字に関して mod 3 の剰余で同一視することにします。
すなわち、添え字"4"は添え字"1"のことであり、添え字"5"は添え字"2"のこととします。

また、総和記号は添え字を1,2,3としたときの和を表すことにします。
つまり、$\displaystyle{\sum_\kappa^\space}$ と書いて $\displaystyle{\sum_{\kappa=1}^3}$ とみなします。
この添え字ルールを使うと、$\displaystyle{\sum_\kappa^\space f_\kappa=\sum_\kappa^\space f_{\kappa+1}=\sum_\kappa^\space f_{\kappa+2}}$ が成り立ちます。

正則行列$P$について

$P$の$(i,j)$成分を$p_{i,j}$とし、$P^{-1}$の$(i,j)$成分を$q_{i,j}$とします。
このとき、次の式が成り立ちます。
\begin{align} p_{i,j}&=\lvert P\rvert(q_{j+1,i+1}q_{j+2,i+2}-q_{j+1,i+2}q_{j+2,i+1}) \\ q_{i,j}&=\frac{1}{\lvert P\rvert}(p_{j+1,i+1}p_{j+2,i+2}-p_{j+1,i+2}p_{j+2,i+1}) \end{align}

行列$R(\bm{x},M,\bm{y})$の計算

$n=3$の場合、$R(\bm{x},M,\bm{y})$の各成分を計算して明示すると次のようになります。
$$R(\bm{x},M,\bm{y})=\begin{pmatrix} m_{3,3}x_2y_2-m_{2,3}x_2y_3-m_{3,2}x_3y_2+m_{2,2}x_3y_3 & m_{1,3}x_2y_3-m_{3,3}x_2y_1-m_{1,2}x_3y_3+m_{3,2}x_3y_1 & m_{2,3}x_2y_1-m_{1,3}x_2y_2-m_{2,2}x_3y_1+m_{1,2}x_3y_2 \\ m_{3,1}x_3y_2-m_{2,1}x_3y_3-m_{3,3}x_1y_2+m_{2,3}x_1y_3 & m_{1,1}x_3y_3-m_{3,1}x_3y_1-m_{1,3}x_1y_3+m_{3,3}x_1y_1 & m_{2,1}x_3y_1-m_{1,1}x_3y_2-m_{2,3}x_1y_1+m_{1,3}x_1y_2 \\ m_{3,2}x_1y_2-m_{2,2}x_1y_3-m_{3,1}x_2y_2+m_{2,1}x_2y_3 & m_{1,2}x_1y_3-m_{3,2}x_1y_1-m_{1,1}x_2y_3+m_{3,1}x_2y_1 & m_{2,2}x_1y_1-m_{1,2}x_1y_2-m_{2,1}x_2y_1+m_{1,1}x_2y_2 \end{pmatrix}$$

これを見ると、$R(\bm{x},M,\bm{y})$の$(i,j)$成分は
$m_{j+2,i+2}x_{i+1}y_{j+1}-m_{j+1,i+2}x_{i+1}y_{j+2}-m_{j+2,i+1}x_{i+2}y_{j+1}+m_{j+1,i+1}x_{i+2}y_{j+2}$
と表されることがわかります。

予想の右辺

$P^{-1}R(\bm{u},A,\bm{v})P$の$(i,j)$成分は次のようになります。

\begin{align} &\sum_\kappa\sum_\lambda q_{i,\kappa}(a_{\lambda+2,\kappa+2}u_{\kappa+1}v_{\lambda+1}-a_{\lambda+1,\kappa+2}u_{\kappa+1}v_{\lambda+2}-a_{\lambda+2,\kappa+1}u_{\kappa+2}v_{\lambda+1}+a_{\lambda+1,\kappa+1}u_{\kappa+2}v_{\lambda+2})p_{\lambda,j} \\ =&\sum_\kappa\sum_\lambda a_{\lambda+2,\kappa+2}u_{\kappa+1}v_{\lambda+1}q_{i,\kappa}p_{\lambda,j}-\sum_\kappa\sum_\lambda a_{\lambda+1,\kappa+2}u_{\kappa+1}v_{\lambda+2}q_{i,\kappa}p_{\lambda,j} \\ &\quad-\sum_\kappa\sum_\lambda a_{\lambda+2,\kappa+1}u_{\kappa+2}v_{\lambda+1}q_{i,\kappa}p_{\lambda,j} +\sum_\kappa\sum_\lambda a_{\lambda+1,\kappa+1}u_{\kappa+2}v_{\lambda+2}q_{i,\kappa}p_{\lambda,j} \\ =&\sum_\kappa\sum_\lambda a_{\lambda,\kappa}u_{\kappa+2}v_{\lambda+2}q_{i,\kappa+1}p_{\lambda+1,j}-\sum_\kappa\sum_\lambda a_{\lambda,\kappa}u_{\kappa+2}v_{\lambda+1}q_{i,\kappa+1}p_{\lambda+2,j} \\ &\quad-\sum_\kappa\sum_\lambda a_{\lambda,\kappa}u_{\kappa+1}v_{\lambda+2}q_{i,\kappa+2}p_{\lambda+1,j} +\sum_\kappa\sum_\lambda a_{\lambda,\kappa}u_{\kappa+1}v_{\lambda+1}q_{i,\kappa+2}p_{\lambda+2,j} \\ =&\sum_\kappa\sum_\lambda a_{\lambda,\kappa}(u_{\kappa+2}v_{\lambda+2}q_{i,\kappa+1}p_{\lambda+1,j}-u_{\kappa+2}v_{\lambda+1}q_{i,\kappa+1}p_{\lambda+2,j}-u_{\kappa+1}v_{\lambda+2}q_{i,\kappa+2}p_{\lambda+1,j}+u_{\kappa+1}v_{\lambda+1}q_{i,\kappa+2}p_{\lambda+2,j}) \\ =&\sum_\kappa\sum_\lambda a_{\lambda,\kappa}(u_{\kappa+1}q_{i,\kappa+2}-u_{\kappa+2}q_{i,\kappa+1})(v_{\lambda+1}p_{\lambda+2,j}-v_{\lambda+2}p_{\lambda+1,j}) \end{align}

予想の左辺

$R(\bm{u}P,P^{-1}AP,P^{-1}\bm{v})$の$(i,j)$成分は次のようになります。

\begin{align} &\Bigg(\sum_\kappa\sum_\lambda q_{j+2,\lambda}a_{\lambda,\kappa}p_{\kappa,i+2}\Bigg)\Bigg(\sum_\mu u_{\mu}p_{\mu,i+1}\Bigg)\Bigg(\sum_\nu q_{j+1,\nu}v_{\nu}\Bigg)-\Bigg(\sum_\kappa\sum_\lambda q_{j+1,\lambda}a_{\lambda,\kappa}p_{\kappa,i+2}\Bigg)\Bigg(\sum_\mu u_{\mu}p_{\mu,i+1}\Bigg)\Bigg(\sum_\nu q_{j+2,\nu}v_{\nu}\Bigg) \\ &\quad-\Bigg(\sum_\kappa\sum_\lambda q_{j+2,\lambda}a_{\lambda,\kappa}p_{\kappa,i+1}\Bigg)\Bigg(\sum_\mu u_{\mu}p_{\mu,i+2}\Bigg)\Bigg(\sum_\nu q_{j+1,\nu}v_{\nu}\Bigg)+\Bigg(\sum_\kappa\sum_\lambda q_{j+1,\lambda}a_{\lambda,\kappa}p_{\kappa,i+1}\Bigg)\Bigg(\sum_\mu u_{\mu}p_{\mu,i+2}\Bigg)\Bigg(\sum_\nu q_{j+2,\nu}v_{\nu}\Bigg) \\ =&\sum_\kappa\sum_\lambda a_{\lambda,\kappa}\sum_\mu\sum_\nu u_{\mu}v_{\nu}(q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\mu,i+1}q_{j+1,\nu}-q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\mu,i+1}q_{j+2,\nu}-q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\mu,i+2}q_{j+1,\nu}+q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\mu,i+2}q_{j+2,\nu}) \end{align}

ここで、
$t_{\mu,\nu}=q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\mu,i+1}q_{j+1,\nu}-q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\mu,i+1}q_{j+2,\nu}-q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\mu,i+2}q_{j+1,\nu}+q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\mu,i+2}q_{j+2,\nu}$
とおいて、$\mu,\nu$に代入しながら$t_{\mu,\nu}$がどうなるか見ていきます。

1. $\mu=\kappa,\,\nu=\lambda\,$のとき
   \begin{align} t_{\kappa,\lambda}&=q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\kappa,i+1}q_{j+1,\lambda}-q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\kappa,i+1}q_{j+2,\lambda} \\ &\qquad-q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\kappa,i+2}q_{j+1,\lambda}+q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\kappa,i+2}q_{j+2,\lambda} \\ &=0 \end{align}

2. $\mu=\kappa,\,\nu=\lambda+1\,$のとき
   \begin{align} t_{\kappa,\lambda+1}&=q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\kappa,i+1}q_{j+1,\lambda+1}-q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\kappa,i+1}q_{j+2,\lambda+1} \\ &\qquad-q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\kappa,i+2}q_{j+1,\lambda+1}+q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\kappa,i+2}q_{j+2,\lambda+1} \\ &=0 \end{align}

3. $\mu=\kappa,\,\nu=\lambda+2\,$のとき
   \begin{align} t_{\kappa,\lambda+2}&=q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\kappa,i+1}q_{j+1,\lambda+2}-q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\kappa,i+1}q_{j+2,\lambda+2} \\ &\qquad-q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\kappa,i+2}q_{j+1,\lambda+2}+q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\kappa,i+2}q_{j+2,\lambda+2} \\ &=0 \end{align}

4. $\mu=\kappa+1,\,\nu=\lambda\,$のとき
   \begin{align} t_{\kappa+1,\lambda}&=q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\kappa+1,i+1}q_{j+1,\lambda}-q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\kappa+1,i+1}q_{j+2,\lambda} \\ &\qquad-q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\kappa+1,i+2}q_{j+1,\lambda}+q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\kappa+1,i+2}q_{j+2,\lambda} \\ &=0 \end{align}

5. $\mu=\kappa+1,\,\nu=\lambda+1\,$のとき
   \begin{align} t_{\kappa+1,\lambda+1}&=q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\kappa+1,i+1}q_{j+1,\lambda+1}-q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\kappa+1,i+1}q_{j+2,\lambda+1} \\ &\qquad-q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\kappa+1,i+2}q_{j+1,\lambda+1}+q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\kappa+1,i+2}q_{j+2,\lambda+1} \\ &=\frac{1}{\lvert P\rvert}(p_{\kappa,i+1}p_{\kappa+1,i+2}-p_{\kappa,i+2}p_{\kappa+1,i+1})\cdot\lvert P\rvert(q_{j+1,\lambda}q_{j+2,\lambda+1}-q_{j+1,\lambda+1}q_{j+2,\lambda}) \\ &=q_{i,\kappa+2}p_{\lambda+2,j} \end{align}

6. $\mu=\kappa+1,\,\nu=\lambda+2\,$のとき
   \begin{align} t_{\kappa+1,\lambda+2}&=q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\kappa+1,i+1}q_{j+1,\lambda+2}-q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\kappa+1,i+1}q_{j+2,\lambda+2} \\ &\qquad-q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\kappa+1,i+2}q_{j+1,\lambda+2}+q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\kappa+1,i+2}q_{j+2,\lambda+2} \\ &=-\frac{1}{\lvert P\rvert}(p_{\kappa,i+1}p_{\kappa+1,i+2}-p_{\kappa,i+2}p_{\kappa+1,i+1})\cdot\lvert P\rvert(q_{j+1,\lambda+2}q_{j+2,\lambda}-q_{j+1,\lambda}q_{j+2,\lambda+2}) \\ &=-q_{i,\kappa+2}p_{\lambda+1,j} \end{align}

7. $\mu=\kappa+2,\,\nu=\lambda\,$のとき
   \begin{align} t_{\kappa+2,\lambda}&=q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\kappa+2,i+1}q_{j+1,\lambda}-q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\kappa+2,i+1}q_{j+2,\lambda} \\ &\qquad-q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\kappa+2,i+2}q_{j+1,\lambda}+q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\kappa+2,i+2}q_{j+2,\lambda} \\ &=0 \end{align}

8. $\mu=\kappa+2,\,\nu=\lambda+1\,$のとき
   \begin{align} t_{\kappa+2,\lambda+1}&=q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\kappa+2,i+1}q_{j+1,\lambda+1}-q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\kappa+2,i+1}q_{j+2,\lambda+1} \\ &\qquad-q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\kappa+2,i+2}q_{j+1,\lambda+1}+q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\kappa+2,i+2}q_{j+2,\lambda+1} \\ &=-\frac{1}{\lvert P\rvert}(p_{\kappa+2,i+1}p_{\kappa,i+2}-p_{\kappa+2,i+2}p_{\kappa,i+1})\cdot\lvert P\rvert(q_{j+1,\lambda}q_{j+2,\lambda+1}-q_{j+1,\lambda+1}q_{j+2,\lambda}) \\ &=-q_{i,\kappa+1}p_{\lambda+2,j} \end{align}

9. $\mu=\kappa+2,\,\nu=\lambda+2\,$のとき
   \begin{align} t_{\kappa+2,\lambda+2}&=q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\kappa+2,i+1}q_{j+1,\lambda+2}-q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+2}p_{\kappa+2,i+1}q_{j+2,\lambda+2} \\ &\qquad-q_{j+2,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\kappa+2,i+2}q_{j+1,\lambda+2}+q_{j+1,\lambda}p_{\kappa,i+1}p_{\kappa+2,i+2}q_{j+2,\lambda+2} \\ &=\frac{1}{\lvert P\rvert}(p_{\kappa+2,i+1}p_{\kappa,i+2}-p_{\kappa+2,i+2}p_{\kappa,i+1})\cdot\lvert P\rvert(q_{j+1,\lambda+2}q_{j+2,\lambda}-q_{j+1,\lambda}q_{j+2,\lambda+2}) \\ &=q_{i,\kappa+1}p_{\lambda+1,j} \end{align}

$$ $$
よって、$R(\bm{u}P,P^{-1}AP,P^{-1}\bm{v})$の$(i,j)$成分は次のようになります。

\begin{align} &\sum_\kappa\sum_\lambda a_{\lambda,\kappa}\sum_\mu\sum_\nu u_{\mu}v_{\nu}t_{\mu,\nu} \\ =&\sum_\kappa\sum_\lambda a_{\lambda,\kappa}(u_{\kappa+1}v_{\lambda+1}q_{i,\kappa+2}p_{\lambda+2,j}-u_{\kappa+1}v_{\lambda+2}q_{i,\kappa+2}p_{\lambda+1,j}-u_{\kappa+2}v_{\lambda+1}q_{i,\kappa+1}p_{\lambda+2,j}+u_{\kappa+2}v_{\lambda+2}q_{i,\kappa+1}p_{\lambda+1,j}) \\ =&\sum_\kappa\sum_\lambda a_{\lambda,\kappa}(u_{\kappa+1}q_{i,\kappa+2}-u_{\kappa+2}q_{i,\kappa+1})(v_{\lambda+1}p_{\lambda+2,j}-v_{\lambda+2}p_{\lambda+1,j}) \end{align}

左辺と右辺の照合

左辺を式変形したものと右辺を式変形したものが一致するので、$n=3$のときconjectureが成り立つことが示せました。