東大数理院試過去問解答例(2018B01)

初めに任意の$p>3$はこの条件を満たさないことを示す。まず
$$ g=\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix} $$
とおく。これは位数$p$である。ここで上記の条件を満たす$g'$が存在すると仮定する。このとき
$$ g'=\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix}+p\begin{pmatrix} x&y\\ z&w \end{pmatrix} $$
の形で書ける。これを$p$乗したとき、
$$ \begin{split} g'^p&=\begin{pmatrix} 1&p\\ 0&1 \end{pmatrix}+p\left(\sum_{i=0}^p\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix}^i\begin{pmatrix} x&y\\ z&w \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix}^{p-i} \right)\\ &=\begin{pmatrix} 1&p\\ 0&1 \end{pmatrix}+p\sum_{i=0}^p\left( \begin{pmatrix} 1&i\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x&y\\ z&w \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&p-i\\ 0&1 \end{pmatrix}\right)\\ &=\begin{pmatrix} 1&p\\ 0&1 \end{pmatrix}+p\sum_{i=0}^p\begin{pmatrix} x+iz&(p-i)(x+iz)+y+iz\\ z&(p-i)z+w \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1&p\\ 0&1 \end{pmatrix}+p\sum_{i=0}^p\begin{pmatrix} x+iz&(p-i)x+piz-i^2z+y+iz\\ z&(p-i)z+w \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1&p\\ 0&1 \end{pmatrix}+p\sum_{i=0}^p\begin{pmatrix} iz&(p-i)x-i^2z+iz\\ 0&(p-i)z \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1&p\\ 0&1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \frac{p^2(p+1)}{2}z&\frac{p^2(p+1)}{2}(z+x)-\frac{p^2(p+1)(2p+1)}{6}z\\ 0&\frac{p^2(p+1)}{2}z \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1+\frac{p^2(p+1)}{2}z&p(1+\frac{p(p+1)}{2}(z+x)+\frac{p(p+1)(2p+1)}{6}z)\\ 0&1+\frac{p^2(p+1)}{2}z \end{pmatrix} \end{split} $$
である。もしここで$p>3$であったとすると$g'^p$の右上の成分は$x,y,z,w$の値に関わらず$p^2$で割り切れない。よって条件を満たす$g'$は存在しえない。

$g$の位数が$p$であったとき、その固有値は$1$であるから、$\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$の全ての位数$p$の非自明な元は
$$ \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix}$$
に共役である。よって条件(i)を満たすかどうか見るにはこの行列に関してのみ$g'$が存在するかどうか確かめれば充分。まず$p=2$のときは上記の式に$p=2$を代入して
$$ g'^p=\begin{pmatrix} 1+6z&2(1+3x)\\ 0&1+6z \end{pmatrix} $$
がわかる。よって$(x,y,z)=(1,0,0,0)$、つまり
$$ g'=\begin{pmatrix} 3&1\\ 0&1 \end{pmatrix} $$
とすれば良い。次に$p=3$のときは上記の式に$p=3$を代入して
$$ g'^p=\begin{pmatrix} 1&3(1+14x)\\ 0&1 \end{pmatrix} $$
がわかる。よって$(x,y,z)=(1,0,0,0)$、つまり
$$ g'=\begin{pmatrix} 4&1\\ 0&1 \end{pmatrix} $$
とすれば良い。

以上から${\color{red}p=2,3}$のときのみ(i)が成り立つ。