整数解を考えるのに無理数が出てくるよ！って話

$(x,y,z)$をピタゴラス数とする。このとき、$X={\displaystyle \frac{x}{z},Y={\displaystyle \frac{y}{z}}}$とおくと
$$\begin{array}{rcl}{x}^2+y^2=z^2& ⟺& {\left(\frac{x}{z}\right)}^2+{\left(\frac{y}{z}\right)}^2=1\\ & ⟺& X^2+Y^2=1\end{array}$$
となり、$X,Y$は有理数であるので単位円上の有理点を考えれば良いとわかり、$x,y,z$が正の整数であることから単位円上の第１象限にある有理点のみを考えれば良いことがわかる（ただし２点$(1,0)$,$(0,1)$を除く）。
ここで点$(-1,0)$を通り、傾きが$0<m<1$であるような直線を考える。
単位円と直線
図１よりこの直線と単位円が点$(-1,0)$と第１象限にてもう１点で交わることがわかるのでその交点の座標を調べる。直線の方程式$Y=m(X+1)$を$X^2+Y^2=1$に代入すると
$$\begin{array}{rcl}& X^2+(m(X+1){)}^2& =1\\ & X^2+m^2(X^2+2X+1)& =1\\ & (m^2+1)X^2+2m^{2}X+(m^2-1)& =0\end{array}$$
ここで、図１より$X=-1$が解であるので因数定理から
$$(X+1)((m^2+1)X+(m^2-1))=0$$
のように変形できるので$X=-1,{\displaystyle \frac{1-m^2}{1+m^2}}$が得られる。$X={\displaystyle \frac{1-m^2}{1+m^2}}$を$Y=m(X+1)$に代入すると$Y={\displaystyle \frac{2m}{1+m^2}}$となる。よって、求めたかった交点の座標は$\left({\displaystyle \frac{1-m^2}{1+m^2},{\displaystyle \frac{2m}{1+m^2}}}\right)$となるが$m$が有理数のとき、交点は有理点となることがわかる。ゆえに$(X,Y)=\left({\displaystyle \frac{1-m^2}{1+m^2},{\displaystyle \frac{2m}{1+m^2}}}\right)$が式$X^2+Y^2=1$の有理数解となることがわかる。
逆に$(X_1,Y_1)$を単位円上の有理数点とすると、2点$(-1,0),(X_1,Y_1)$を通る直線の傾き$m$は有理数となる。
よって、単位円上の第１象限にある有理数点は$0<m<1$を有理数とすると$(X,Y)=\left({\displaystyle \frac{1-m^2}{1+m^2},{\displaystyle \frac{2m}{1+m^2}}}\right)$ですべて与えられる。$0<m<1$は有理数であるので$0<v<u$を整数とすると$m={\displaystyle \frac{v}{u}}$とおけ、これを用いると
$$\begin{array}{rcl}(X,Y)& =& (\frac{1-m^2}{1+m^2},\frac{2m}{1+m^2})\\ & =& (\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2},\frac{2uv}{u^2+v^2})\\ (\frac{x}{z},\frac{y}{z})& =& (\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2},\frac{2uv}{u^2+v^2})\\ (x,y,z)& =& (u^2-v^2,2uv,u^2+v^2)\end{array}$$
よって題意は示された。

$Y$を任意の正の整数とする。このとき$Y+1$個の数
$0\cdot \alpha =N_0+F_0$ ,$N_0=0$ ,$F_0=0$
$1\cdot \alpha =N_1+F_1$ ,$N_1\in \mathbb{Z}$ ,$0\le F_1<1$
$2\cdot \alpha =N_2+F_2$ ,$N_2\in \mathbb{Z}$ ,$0\le F_2<1$
$\cdots$
$Y\cdot \alpha =N_Y+F_Y$ ,$N_Y\in \mathbb{Z}$ ,$0\le F_Y<1$
と、$Y$個の区間
$$[\frac{0}{Y},\frac{1}{Y}),[\frac{1}{Y},\frac{2}{Y}),...,[\frac{Y-1}{Y},\frac{Y}{Y})$$
を考える。このとき$F_i(i=0,1,\cdots ,Y)$を鳩、${\displaystyle [\frac{i-1}{Y},\frac{i}{Y})(i=1,\cdots ,Y)}$を巣として鳩ノ巣原理を適用すると、ある正の整数$n,m(0\le m<n\le Y)$が存在して
$$|F_m-F_n|<\frac{1}{Y}$$
が成立することがわかる（$Y+1$匹いる鳩を$Y$個の巣に押し込めているので少なくとも１つの巣は２匹の鳩をもつ）。
ここで関係式$m\alpha =N_m+F_m$,$n\alpha =N_n+F_n$と置換$x=N_n-N_m$,$y=n-m$を用いると上式は
$$\begin{array}{rc}|(N_n-N_m)-(n-m)\alpha |& <\frac{1}{Y}\\ |x-y\alpha |<\frac{1}{Y}\end{array}$$
とかける。よって任意の正の整数$Y$に対して$|x-y\alpha |<{\displaystyle \frac{1}{Y}}$をみたす正の整数$x,y$が存在することがわかる。(正直な話なんでxが正になるのかがわかってません、わかる方がいたら教えてくれると助かります)
このことから$Y$をさらに大きくとると$|x-y\alpha |<{\displaystyle \frac{1}{Y}}$をみたす正の整数$x,y$が新たに得られ$0<y\le Y$に注意すると、これを繰り返すことで不等式$|x-y\alpha |<{\displaystyle \frac{1}{y}}$をみたす正の整数の組$(x,y)$が無数に存在することがわかる。

正の整数の組$(x,y)$が$|x-y\sqrt{D}|<{\displaystyle \frac{1}{y}}$を満たしているとする。
ここで、$x<y\sqrt{D}+{\displaystyle \frac{1}{y}}$が成り立つので
$$\begin{array}{rcl}x+y\sqrt{D}& <& (y\sqrt{D}+\frac{1}{y})+y\sqrt{D}\\ & \le & 3y\sqrt{D}\end{array}$$
上式の両辺に$|x-y\sqrt{D}|$をかければ
$$\begin{array}{rcl}|x^2-D{y}^2|& <& 3y\sqrt{D}\cdot |x-y\sqrt{D}|\\ & <& 3y\sqrt{D}\cdot \frac{1}{y}\\ & =& 3\sqrt{D}\end{array}$$
以上より、$|x-y\sqrt{D}|<{\displaystyle \frac{1}{y}}$をみたす正の整数の組$(x,y)$は
$|x^2-D{y}^2|<3\sqrt{D}$を満たす。
ここで、$T=\lfloor 3\sqrt{D}\rfloor$とおく（$\lfloor \rfloor$はガウス記号）。
鳩として$|x-y\sqrt{D}|<{\displaystyle \frac{1}{y}}$を満たす正の整数$(x,y)$を、巣として整数
$$-T,-T+1,\cdots ,-1,1,\cdots ,T-1,T$$
をとる。今、補題３より$|x-y\sqrt{D}|<{\displaystyle \frac{1}{y}}$をみたす正の整数の組$(x,y)$が無数にあることに注意して鳩ノ巣原理を用いると
$(x,y)$が鳩のとき、式$x^2-D{y}^2$は$-T$から$T$の間にあるので明らかにある整数$M(-T\le M\le T,M\ne 0)$が存在して、$x^2-D{y}^2=M$は無数の正の整数解$(x,y)$をもつ（無限匹いる鳩を$2T$個の巣に押し込めているので少なくとも１つの巣は無限匹の鳩をもつ）。
$x^2-D{y}^2=M$の正の整数解を$(X_i,Y_i),(i=1,2,\cdots )$で表す。
以下、$M$を法として
$$X_j\equiv X_k{Y}_j\equiv Y_k$$
を満たす整数解を鳩ノ巣原理を使って探す。
鳩として$(X_i,Y_i)$を、巣として$(A,B),(0\le A,B<M)$を設定し、各鳩$(X_i,Y_i)$を巣に入れるのにそれぞれの$M$で割った余りを考える。すると再び鳩ノ巣原理より、
$$\begin{array}{r}{X}_j\equiv X_k{X}_j^2-D{Y}_j^2=M\\ Y_j\equiv Y_k{X}_k^2-D{Y}_k^2=M\end{array}$$
をみたす$(X_j,Y_j),(X_k,Y_k)$が存在することがわかる（無限匹いる鳩を$M^2$個の巣に押し込めているので少なくとも１つの巣は無限匹、つまり２匹以上の鳩をもつ）。そして実は
$$x=\frac{X_j{X}_k-Y_j{Y}_{k}D}{M}y=\frac{X_j{Y}_k-X_k{Y}_j}{M}$$
がペル方程式$x^2-D{y}^2=1$の整数解となっている。実際に、
$$\begin{array}{rcl}{x}^2-D{y}^2& =& {\left(\frac{X_j{X}_k-Y_j{Y}_{k}D}{M}\right)}^2-D{\left(\frac{X_j{Y}_k-X_k{Y}_j}{M}\right)}^2\\ & =& \frac{(X_j^2-D{Y}_j^2)(X_k^2-D{Y}_k^2)}{M^2}\\ & =& 1\end{array}$$
であり、後は$x,y$が共に整数であることを示せばよい。それには$x,y$の分子が共に$M$の倍数であることが言えればよいが、
$$\begin{array}{rcl}& X_j{X}_k-Y_j{Y}_{k}D& \equiv X_j^2-Y_j^{2}D=M\equiv 0\\ & X_j{Y}_k-X_k{Y}_j& \equiv X_j{Y}_j-X_j{Y}_j\equiv 0\end{array}$$
これより$x,y$が共に整数であることがわかり、必要があれば負の符号を置き換えることで整数解$(x,y)$,$(x,y\ge 0)$が存在することがわかる。そして今、
$$\begin{array}{rcl}0& \le & y\\ 0& \le & D{y}^2\\ 1& \le & D{y}^2+1=x^2\end{array}$$
となるので$x\ge 1$となる。ここで$y=0$と仮定すると$y^2={\displaystyle \frac{x^2+1}{D}}$であるので$x^2=-1$となり、$x\ge 1$に矛盾することから$y\ge 1$がわかる。以上のことから$(x,y)=\left({\displaystyle \frac{X_j{X}_k-Y_j{Y}_{k}D}{M},\frac{X_j{Y}_k-X_k{Y}_{j}D}{M}}\right)$がペル方程式$x^2-D{y}^2=1$の正の整数解であることが示された。