積分を解く

積分を解く

どうも、らららです。
最近解いた積分を記事にしていきます。

解く積分

($\log$は主値をとる)

解く

被積分関数の実部と虚部で分けていきます。
$\log z$は主値をとると$\log z=\log|z|+i\mathrm{arg}z$となるので、
$z$を$\log x$にして
$$\log\log x=\log|\log x|+i\mathrm{arg}\log x$$

$x$は$0$から$1$なので$\log x$は実数で$\mathrm{arg}$をとると$\pi$になるので
$$\log\log x=\log|\log x|+i\pi$$
これを用いて積分を解いていく。

$$I=\int_0^1\log\log xdx$$
\begin{align} \mathrm{Re}(I)&=\int_{0}^{1}\log|\log x|dx \\&=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2}\log\log xdx \\&=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^x}\log xdx \\&=\int_{0}^{\infty}e^{-x}\log xdx \\&=\frac{d}{ds}\Gamma(s)\Big|_{s=1} \\&=\Gamma(1)\psi(1) \\&=-\gamma \end{align}

\begin{align} Im(I)&=\pi\int_{0}^{1}1\ dx \\&=\pi \end{align}

\begin{align} I&=\mathrm{Re}(I)+i\ \mathrm{Im}(I) \\&=-\gamma+i\pi \end{align}

でたー！！
でましたね。
$\log$の実部と虚部を分けるところの書き方ちょっと良くないかもしれませんが許してください

おしまい！！