「33から88までの和が3388になる」現象の一般化

1. 問題提起

先日、X（旧Twitter）を眺めていたところ、次のような投稿を見かけました。

https://x.com/nobanonch/status/2006172581125120289

内容を整理すると、次のような現象が紹介されています。

他には

などもこの性質を満たすことがX上では書かれていました。

一見すると単なる偶然のようにも見えますが、「開始する数」と「終了する数」の間に、どのような条件があればこの性質が成り立つのでしょうか。

本記事では、この現象を数学的に一般化し、さらにPythonを用いて解を全探索してみます。

2. 問題の定式化

開始する整数を$n$、終了する整数を$m(n< m)$とします。

また、$m$の桁数を$k$とします。すなわち$10^{k-1} \le m < 10^k$です。

このとき、題意の条件は

$$\text{（和）} = \text{（連結）}$$

と表せます。

左辺は等差数列の和の公式、右辺は$n$を$10^k$倍して$m$を足したものなので、次の等式が得られます。

$$\frac{(n + m)(m - n + 1)}{2} = n \cdot 10^k + m$$

これが今回解くべき基本方程式です。

3. 一般解の導出

この式を$m$についての二次方程式とみなして整理します。

両辺を2倍して展開すると

$$(m + n)(m - n + 1) = 2n \cdot 10^k + 2m$$

$$m^2 - n^2 + m + n = 2n \cdot 10^k + 2m$$

移項して整理すると

$$m^2 - m - (n^2 - n + 2n \cdot 10^k) = 0$$

ここで解の公式$m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2}$を用います。$m > 0$であることから、正の符号を採用すると

$$m = \frac{1 + \sqrt{1 + 4(n^2 - n + 2n \cdot 10^k)}}{2}$$

ルートの中身（判別式）を$D$とおくと

$$D = 1 + 4n^2 - 4n + 8n \cdot 10^k$$

整理すると

$$D = (2n - 1)^2 + 8n \cdot 10^k$$

整数解になるための条件（偶奇性の確認）

$m$が整数になるためには、次の2条件が必要です。

1. $D$が完全平方数であること。
2. 分子$1 + \sqrt{D}$が偶数であること。

ここで、$D = (2n - 1)^2 + 8n \cdot 10^k$の形に注目します。

• $(2n - 1)^2$は奇数の平方なので奇数
• $8n \cdot 10^k$は明らかに偶数

よって、奇数＋偶数は奇数なので、$D$は常に奇数です。もし $D$が完全平方数であれば、その平方根 $\sqrt{D}$も必ず奇数になります。

したがって、分子$1 + \sqrt{D}$は「$1 + \text{奇数} = \text{偶数}$」となり、必ず2で割り切れます。

つまり、

$D$が完全平方数であり、かつ求まった$m$が$k$桁に収まる

ことだけを確認すれば、整数解が得られることが分かります。

4. 具体的な解の探索（Pythonコードを用いる）

手計算で$D$が平方数になる$n$を探すのは現実的ではありません。そこで、導出した条件を用いてPythonで全探索を行いました。

コードと詳細な結果は以下にまとめています。

• https://github.com/Soki0909/sum-equals-concat

ここでは、$m$の桁数$k \le 2$の場合に得られた結果を示します。

思ったより多くの解が存在することが分かります。

さらに$k \le 8$まで探索したところ、132組の解が見つかりました。観察すると、差$m-n$が5の倍数、特に25の倍数になっている例が非常に多いことに気づきます。

この点についても興味深い性質がありそうですが、長くなりそうなので今回はここまでにします。機会があれば、別の記事としてまとめたいと思います。