K加群とK代数
可換環しか扱わないので、すべて環とよぶことにします。
$K$を環とするとき、環$A$と環準同型$f:K\longrightarrow A$の組$(A,f)$を$K$代数($K$上の多元環)という。
今回は説明上$(A,f)$と書いていますが、単に$K$代数$A$と書かれることがほとんどです。
環$K$に対し、$(A,f)$は作用
$K\times A \longrightarrow A; (k,a) \longmapsto f(k) \cdot a$
によって$K$加群となる。
証明は省略します。
環$K$に対し、$(A,f),(B,g)$を$K$代数とする。
$φ:A \longrightarrow B$が$K$代数の準同型であるとは、環準同型であって$φ \circ f=g$を満たすこと。
環$K$に対し、$(A,f),(B,g)$を$K$代数とする。写像$φ:A \longrightarrow B$に対し、次は同値。
(1)$φ$は環準同型かつ$K$加群の準同型
(2)$φ$は$K$代数の準同型
(1)と(2)の条件をそれぞれ列挙すれば、$φ$が環準同型のとき次が同値となることを示せば十分なことがわかります。
(1')任意の$k \in K,a \in A$に対し、$φ(ka)=kφ(a)$
(2')$φ \circ f=g$
ここで$ka$は作用であることに注意します。すなわち、$ka=f(k) \cdot a$です.(命題1)
特に$a=1$なら$k=f(k)$です。
($\Rightarrow$)
任意に$k \in K$を取る。
$(φ\circ f)(k)=φ(f(k))=φ(k)=kφ(1)=k$
$g(k)=kg(1)=k$
したがって、$φ \circ f=g$
($\Leftarrow$)
任意に$k \in K,a \in A$を取る。
$φ(ka)=φ(f(k) \cdot a)=φ(f(k)) \cdot φ(a)=g(k)\cdot φ(a)=kφ(a)$
したがって、$φ(ka)=kφ(a)$
最後の等号は$K$代数$(B,g)$の$K$加群としての作用$kb=g(k) \cdot b$によって成り立ちます。
体の拡大$L/K$に対し、包含写像$ι:K \longrightarrow L$によってLを自然にK代数とみなすことができます。体論では$K$代数の準同型がとても重要になりますが、それは$K$代数の準同型が線形性を持つ体の準同型写像だからです。
