K加群とK代数

(1)と(2)の条件をそれぞれ列挙すれば、$\phi$が環準同型のとき次が同値となることを示せば十分なことがわかります。

(1')任意の$k\in K,a\in A$に対し、$\phi (ka)=k\phi (a)$
(2')$\phi \circ f=g$

ここで$ka$は作用であることに注意します。すなわち、$ka=f(k)\cdot a$です.(命題1)
特に$a=1$なら$k=f(k)$です。

($\Rightarrow$)
任意に$k\in K$を取る。
$(\phi \circ f)(k)=\phi (f(k))=\phi (k)=k\phi (1)=k$
$g(k)=kg(1)=k$
したがって、$\phi \circ f=g$

($\Leftarrow$)
任意に$k\in K,a\in A$を取る。
$\phi (ka)=\phi (f(k)\cdot a)=\phi (f(k))\cdot \phi (a)=g(k)\cdot \phi (a)=k\phi (a)$
したがって、$\phi (ka)=k\phi (a)$