あの有名な積分

Mathlogというサイトで数学系の記事が書けるらしいので、備忘録として時間のあるときに色々書けたらなと思う。
基本的に自分または身内用なので少し雑な部分があるかもしれない。
最初なので、有名な積分の紹介でもしようかと思う。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin θ d θ = - \frac{π}{2} \log 2$

（なんとなく囲ってみた。）

$I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin θ d θ$ とおく。
$θ \mapsto \frac{π}{2} - θ$ とすると
$I = \int_{\frac{π}{2}}^{0} \log \sin (\frac{π}{2} - θ) \cdot (- d θ) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \cos θ d θ$
$θ \mapsto π - θ$ とすると
$I = \int_{π}^{\frac{π}{2}} \log \sin (π - θ) \cdot (- d θ) = \int_{\frac{π}{2}}^{π} \log \sin θ d θ$
したがって
$2 I = \int_{0}^{π} \log \sin θ d θ$
であることがわかる。
さて、上の $2 I$ において $θ = 2 φ$ としてみると、
$2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin 2 φ \cdot 2 d φ = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log 2 \sin φ \cos φ d φ$
　 $= 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log 2 d φ + 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin φ d φ + 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \cos φ d φ$
$2 I = 2 \cdot \frac{π}{2} \log 2 + 2 I + 2 I$