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あの有名な積分

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Mathlogというサイトで数学系の記事が書けるらしいので、備忘録として時間のあるときに色々書けたらなと思う。
基本的に自分または身内用なので少し雑な部分があるかもしれない。
最初なので、有名な積分の紹介でもしようかと思う。

$$ \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log{\sin{\theta}}d\theta=-\dfrac{\pi}{2}\log{2} $$

(なんとなく囲ってみた。)

$I=\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{2}\log\sin\theta d\theta$とおく。
$\theta\mapsto\dfrac{\pi}{2}-\theta$とすると
$I=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^0\log\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)\cdot(-d\theta)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log\cos\theta d\theta$
$\theta\mapsto\pi-\theta$とすると
$I=\displaystyle\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}\log\sin(\pi-\theta) \cdot(-d\theta)=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\log\sin\theta d\theta$
したがって
$2I=\displaystyle\int_0^{\pi}\log\sin\theta d\theta$
であることがわかる。
さて、上の$2I$において$\theta=2\varphi$としてみると、
$2I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log\sin2\varphi\cdot2d\varphi=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log2\sin\varphi\cos\varphi d\varphi$
  $=2\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log2d\varphi+2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log\sin\varphi d\varphi+2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log\cos\varphi d\varphi$
$2I=2\cdot\dfrac{\pi}{2}\log2+2I+2I$

$∴I=-\dfrac{\pi}{2}\log2$

あまり式を詰め込みすぎると見にくくなってしまうかも。
Mathlogに限った話ではないけど。

あとフォーマットの調整(?)がもう少し楽だったらいいなと思った。
TeXとどっちが書きやすいかと聞かれると、まだわからないというのが正直なところ。
まぁ、これからこれから色々書いてから判断しようかと思う。

投稿日:2020116

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みずき
みずき
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学んだことのまとめいろいろ。

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