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iのi乗の導出

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はじめに

自分の記事は自分の理解している内容を基に、将来の自分ができる限り分かりやすいようにまとめたもの というスタンスで書いています。

今回の記事に関していえば、複素対数を用いて導出するのが一般的なようですが、記事を書き始めた当初複素対数を食わず嫌いしていたので別のアプローチをとっています(とったつもりになっています)。

$i^i$ について

  • 複素数においても実数と同様に指数法則が成り立つものと考える
    ここでいう指数法則とは以下のものを指す

a,b$\not=0$のとき

  1. $a^m\times a^n = a^{m+n}$
  2. $(a^m)^n = a^{m\times n}$
  3. $(ab)^m = a^mb^m$
$i^iについて考える上でi乗という部分を無くせないかを考えてみる$

$ここで指数法則の2番目から\\ i=a^i のような形で表せれば i^i = (a^i)^i =a^{-1} となりi乗の部分をなくすことに成功する$

まぁ、そもそも$i乗$がわからないから無くそうとしてるのに、何かの$i乗$で表そうとするのは1行破綻甚だしいのだが…

オイラーの公式による$i$の表現

オイラーの公式

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

オイラーの公式によって複素数平面における単位円上を$自然対数eのi乗$という形へと変換することができる
ここで$\cos\theta=0,\,\sin\theta=1\quadの時\, (右辺)=iとなる$
$つまり0\leq \theta \leq 2\piの範囲において \theta = \frac{\pi}{2}の時$
$及び、範囲を考えない時、整数nを用いて\\ \theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi の時となる$

よって、
$i= e^{\frac{i\pi}{2}}と表現できる$
これを両辺$i乗することによって$
$i^i = (e^{\frac{i\pi}2})^i \ が得られ$
右辺を整理して
$i^i =e^{-\frac{\pi}2} \ となることがわかる$
この値は主値と呼ばれているらしい。

最後に
$iを表す\,\thetaに関して\\ \theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,であったことを踏まえると$
$i^i =e^{-\frac{\pi}2+2n\pi} (n \in \mathbb{Z})となることが言える$
これは$i^iが実数上の加算無限個の値を取りうることを意味する$

おわりに

初めての記事なので、改行や見出しの使い方等の不備で見づらい点が多々あったと思います。また、自分の記事は自分が納得することに重きを置いているので厳密さに欠ける部分等もあると思います。そう言った点について、 指摘や改善案等ありましたらコメントを残していただけると幸いです。

今回の記事に関連して、複素対数やオイラーの公式についても、自分なりの理解を記事にまとめるつもりですので、まとめたら以下にリンクを追加します。

ここまで読んでくださりありがとうございました。

投稿日:20201128

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roto
roto
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自分的納得 / 備忘録的に使うので 厳密な証明や解説ではないことをご了承ください。

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