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iのi乗の導出

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はじめに

自分の記事は自分の理解している内容を基に、将来の自分ができる限り分かりやすいようにまとめたもの というスタンスで書いています。

今回の記事に関していえば、複素対数を用いて導出するのが一般的なようですが、記事を書き始めた当初複素対数を食わず嫌いしていたので別のアプローチをとっています(とったつもりになっています)。

ii について

  • 複素数においても実数と同様に指数法則が成り立つものと考える
    ここでいう指数法則とは以下のものを指す

a,b0のとき

  1. am×an=am+n
  2. (am)n=am×n
  3. (ab)m=ambm
iii

2i=aiii=(ai)i=a1i

まぁ、そもそもiがわからないから無くそうとしてるのに、何かのiで表そうとするのは1行破綻甚だしいのだが…

オイラーの公式によるiの表現

オイラーの公式

eiθ=cosθ+isinθ

オイラーの公式によって複素数平面における単位円上をeiという形へと変換することができる
ここでcosθ=0,sinθ=1()=i
0θ2πθ=π2
nθ=π2+2nπ

よって、
i=eiπ2
これを両辺i
ii=(eiπ2)i 
右辺を整理して
ii=eπ2 
この値は主値と呼ばれているらしい。

最後に
iθθ=π2+2nπ
ii=eπ2+2nπ(nZ)
これはii

おわりに

初めての記事なので、改行や見出しの使い方等の不備で見づらい点が多々あったと思います。また、自分の記事は自分が納得することに重きを置いているので厳密さに欠ける部分等もあると思います。そう言った点について、 指摘や改善案等ありましたらコメントを残していただけると幸いです。

今回の記事に関連して、複素対数やオイラーの公式についても、自分なりの理解を記事にまとめるつもりですので、まとめたら以下にリンクを追加します。

ここまで読んでくださりありがとうございました。

投稿日:20201128
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roto
roto
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自分的納得 / 備忘録的に使うので 厳密な証明や解説ではないことをご了承ください。

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