関数方程式 f(m^2+n^2)=f(m)^2+f(n)^2

この記事の目標

この記事では，定義域が$0$以上の整数全体（以後${\mathbb{Z}}_{\ge 0}$と書く）で実数全体を取る関数$f$が，$$\text{（⛄）}\{\begin{array}{rlrl}& f(m^2+n^2)=f(m{)}^2+f(n{)}^2& & (m,n\in {\mathbb{Z}}_{\ge \mathbb{0}})\\ & f(n)>0& & (n>0)\end{array}$$
を満たすとき，その関数$f$の具体的な表示を求めます。そもそもこれが関数として$\text{well-defined}$なのかすら怪しい（例えば$f(65)=f(8{)}^2+f(1{)}^2=f(7{)}^2+f(4{)}^2$が成り立つかどうか怪しい）ですが，考えていきましょう。

すぐに分かること

⛄において$m=n=0$を代入すれば，$f(0)=f(0{)}^2+f(0{)}^2$を得るので，$f(0)=0$または$f(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}$を得ます。それぞれの場合に分けて考えます。

$f(0)=0$のとき

$f(1)$を求めてみます。⛄より，$$f(1)=f(0{)}^2+f(1{)}^2$$が成り立ちますので，$f(1)=1$が従います。他の数値も調べてみましょう。

$$\begin{array}{rl}f(2)& =f(1{)}^2+f(1{)}^2=2\\ f(4)& =f(2{)}^2+f(0{)}^2=4\\ f(5)& =f(1{)}^2+f(2{)}^2=5\\ f(25)& =f(5{)}^2+f(0{)}^2=25\end{array}$$
です。また，$25=3^2+4^2$より，$$\begin{array}{rl}f(3{)}^2& =f(25)-f(4{)}^2=9\\ \therefore f(3)& =3\end{array}$$
となります。次に$f(6)$も求めてみましょう。
$$\begin{array}{rl}f(8)& =f(2{)}^2+f(2{)}^2=8\\ f(10)& =f(1{)}^2+f(3{)}^2=10\\ f({10}^2)& =f(10{)}^2+f(0{)}^2=100\\ f(6{)}^2& =f({10}^2)-f(8{)}^2=36\end{array}$$
したがって$f(6)=6$です。

ここまでの計算から，次の予想が出来そうです。

これを証明しましょう。そのために次の補題 1 を用意します。

というわけで，予想が正しいことを示します。

というわけで，$f(0)=0$ならば，⛄を満たす方程式は$f(n)=n(n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0})$である（逆も明らか）ことが分かりました。

$f(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき

$f(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}$のときも何かしら規則性がないかを調べたいですので，具体的に計算していきましょう。

まずは$f(1)$についてですが，$f(1)=f(0{)}^2+f(1{)}^2$ですので，$f(1)={\displaystyle \frac{1}{2}}$に限ります。

次に$f(2)$についても，$f(2)=f(1{)}^2+f(1{)}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}$です。もう予想できそうですね。

まとめ（感想）

というわけで今回は，⛄を満たすような関数$f$というのを具体的に求めていきました。初等的な数字遊びでしたが楽しかったです。補題 1 が強力でしたね。

ここまで見ていただきありがとうございます！