関数方程式 f(m^2+n^2)=f(m)^2+f(n)^2
この記事の目標
この記事では，定義域が$0$以上の整数全体（以後$\Z$と書く）で実数全体を取る関数$f$が，$$
\style{font-family:inherit}{\text{（⛄）}}\left\{\begin{align*}
&f(m^2+n^2)=f(m)^2+f(n)^2&& (m,n\in\mathbb \Z)\\
&f(n)>0&&(n>0)
\end{align*}\right.
$$
を満たすとき，その関数$f$の具体的な表示を求めます。そもそもこれが関数として$\text{well-defined}$なのかすら怪しい（例えば$f(65)=f(8)^2+f(1)^2=f(7)^2+f(4)^2$が成り立つかどうか怪しい）ですが，考えていきましょう。
すぐに分かること
⛄において$m=n=0$を代入すれば，$f(0)=f(0)^2+f(0)^2$を得るので，$f(0)=0$または$f(0)=\bunsuu12$を得ます。それぞれの場合に分けて考えます。
$f(0)=0$のとき
$f(1)$を求めてみます。⛄より，$$ f(1)=f(0)^2+f(1)^2 $$が成り立ちますので，$f(1)=1$が従います。他の数値も調べてみましょう。
$$
\begin{align}
f(2)&=f(1)^2+f(1)^2=2\\
f(4)&=f(2)^2+f(0)^2=4\\
f(5)&=f(1)^2+f(2)^2=5\\
f(25)&=f(5)^2+f(0)^2=25
\end{align}
$$
です。また，$25=3^2+4^2$より，$$
\begin{align}
f(3)^2&=f(25)-f(4)^2=9\\
\therefore\quad f(3)&=3
\end{align}
$$
となります。次に$f(6)$も求めてみましょう。
\begin{align}
f(8)&=f(2)^2+f(2)^2=8\\
f(10)&=f(1)^2+f(3)^2=10\\
f(10^2)&=f(10)^2+f(0)^2=100\\
f(6)^2&=f(10^2)-f(8)^2=36
\end{align}
したがって$f(6)=6$です。
ここまでの計算から，次の予想が出来そうです。
$f(0)=0$のとき，⛄を満たす関数$f$は，$f(x)=x$に限る。
これを証明しましょう。そのために次の補題 1 を用意します。
$m$を7以上の整数とする。このとき$0$以上$m$未満の整数$n,p,q$が存在して，$$
m^2+n^2=p^2+q^2
$$
と表せる。
$m$が偶数の時は，恒等式$$
m^2+\left|\bunsuu m2-5\right|^2=(m-2)^2+\left(\bunsuu m2+3\right)^2
$$
が成り立つ。$m$を$7$以上と仮定しているので，$\left|\bunsuu m2-5\right|,\,m-2,\,\bunsuu m2+3$はいずれも$0$以上$m$未満の整数である。
$m$が奇数の時は，恒等式$$
m^2+\left(\bunsuu{m-5}2\right)^2=(m-2)^2+\left(\bunsuu{m+3}{2}\right)^2
$$
が成り立ち，$m$は$7$以上だったから，$\bunsuu{m-5}2,\,m-2,\,\bunsuu {m+3}2$はいずれも$0$以上$m$未満の整数である。
というわけで，予想が正しいことを示します。
$n=0,1,2,3,4,5,6$のときに予想は正しい。
$n$未満の正の整数に対して予想が正しいとする。このとき$n\geq7$であると仮定してよい。補題 1 より，ある$0$以上$n$未満の整数$p,q,r$が存在して，$$
n^2+p^2=q^2+r^2
$$
を満たすように取れる。$p,q,r$についてはそれぞれ，$f(p)=p$，$f(q)=q$，$f(r)=r$が成り立つので，$$
f(n)^2+p^2=q^2+r^2
$$
であり，これらを比べることで$f(n)^2=n^2$つまり，$f(n)=n$を得る。
というわけで，$f(0)=0$ならば，⛄を満たす方程式は$f(n)=n\;(n\in\Z)$である（逆も明らか）ことが分かりました。
$f(0)=\bunsuu12$のとき
$f(0)=\bunsuu12$のときも何かしら規則性がないかを調べたいですので，具体的に計算していきましょう。
まずは$f(1)$についてですが，$f(1)=f(0)^2+f(1)^2$ですので，$f(1)=\bunsuu12$に限ります。
次に$f(2)$についても，$f(2)=f(1)^2+f(1)^2=\bunsuu12$です。もう予想できそうですね。
$f(0)=\bunsuu12$のとき，⛄を満たす関数$f$は，$f(n)=\bunsuu12\;(n\in\Z)$に限る。
$f(0)=0$のときと同様の流れで，$n=0,1,2,3,4,5,6$のときに$f(n)=\bunsuu12$であることを計算し，$n$が$7$以上の時は補題 1 を適用すれば帰納的に正しいことが証明される。逆も明らかである。
まとめ（感想）
というわけで今回は，⛄を満たすような関数$f$というのを具体的に求めていきました。初等的な数字遊びでしたが楽しかったです。補題 1 が強力でしたね。
ここまで見ていただきありがとうございます！
$\tag*{$\style{font-family:inherit}{\text{To Be Continued...???}}$}$