関数方程式 f(m^2+n^2)=f(m)^2+f(n)^2

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この記事の目標

この記事では，定義域が$0$以上の整数全体（以後$\Z$と書く）で実数全体を取る関数$f$が，$$ \style{font-family:inherit}{\text{（⛄）}}\left\{\begin{align*} &f(m^2+n^2)=f(m)^2+f(n)^2&& (m,n\in\mathbb \Z)\\ &f(n)>0&&(n>0) \end{align*}\right. $$
を満たすとき，その関数$f$の具体的な表示を求めます。そもそもこれが関数として$\text{well-defined}$なのかすら怪しい（例えば$f(65)=f(8)^2+f(1)^2=f(7)^2+f(4)^2$が成り立つかどうか怪しい）ですが，考えていきましょう。

すぐに分かること

⛄において$m=n=0$を代入すれば，$f(0)=f(0)^2+f(0)^2$を得るので，$f(0)=0$または$f(0)=\bunsuu12$を得ます。それぞれの場合に分けて考えます。

$f(0)=0$のとき

$f(1)$を求めてみます。⛄より，$$ f(1)=f(0)^2+f(1)^2 $$が成り立ちますので，$f(1)=1$が従います。他の数値も調べてみましょう。

$$ \begin{align} f(2)&=f(1)^2+f(1)^2=2\\ f(4)&=f(2)^2+f(0)^2=4\\ f(5)&=f(1)^2+f(2)^2=5\\ f(25)&=f(5)^2+f(0)^2=25 \end{align} $$
です。また，$25=3^2+4^2$より，$$ \begin{align} f(3)^2&=f(25)-f(4)^2=9\\ \therefore\quad f(3)&=3 \end{align} $$
となります。次に$f(6)$も求めてみましょう。
\begin{align} f(8)&=f(2)^2+f(2)^2=8\\ f(10)&=f(1)^2+f(3)^2=10\\ f(10^2)&=f(10)^2+f(0)^2=100\\ f(6)^2&=f(10^2)-f(8)^2=36 \end{align}
したがって$f(6)=6$です。

ここまでの計算から，次の予想が出来そうです。

$\bm{f(0)=0}$のときの⛄

$f(0)=0$のとき，⛄を満たす関数$f$は，$f(x)=x$に限る。

これを証明しましょう。そのために次の補題 1 を用意します。

$m$を7以上の整数とする。このとき$0$以上$m$未満の整数$n,p,q$が存在して，$$ m^2+n^2=p^2+q^2 $$
と表せる。

補題 1

$m$が偶数の時は，恒等式$$ m^2+\left|\bunsuu m2-5\right|^2=(m-2)^2+\left(\bunsuu m2+3\right)^2 $$
が成り立つ。$m$を$7$以上と仮定しているので，$\left|\bunsuu m2-5\right|,\,m-2,\,\bunsuu m2+3$はいずれも$0$以上$m$未満の整数である。

$m$が奇数の時は，恒等式$$ m^2+\left(\bunsuu{m-5}2\right)^2=(m-2)^2+\left(\bunsuu{m+3}{2}\right)^2 $$
が成り立ち，$m$は$7$以上だったから，$\bunsuu{m-5}2,\,m-2,\,\bunsuu {m+3}2$はいずれも$0$以上$m$未満の整数である。

というわけで，予想が正しいことを示します。

予想の証明

$n=0,1,2,3,4,5,6$のときに予想は正しい。

$n$未満の正の整数に対して予想が正しいとする。このとき$n\geq7$であると仮定してよい。補題 1 より，ある$0$以上$n$未満の整数$p,q,r$が存在して，$$ n^2+p^2=q^2+r^2 $$
を満たすように取れる。$p,q,r$についてはそれぞれ，$f(p)=p$，$f(q)=q$，$f(r)=r$が成り立つので，$$ f(n)^2+p^2=q^2+r^2 $$
であり，これらを比べることで$f(n)^2=n^2$つまり，$f(n)=n$を得る。