多重三角関数の値

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はじめに

今回の内容に関して, 本格的に研究しているわけでもなければこの記事の参考文献になっている本もちゃんと読めていない(ちゃんと読めるだけの経験値が足りていない)ので, 少し遊んでみるみたいな感覚で扱うことになります.
この簡単な記事を読んで, この辺りの分野に興味をもつきっかけになったら嬉しいです.

下準備

$r = 0, 1, 2, \dots$ に対して,

多重フルヴィッツ・ゼータ関数

$ζ_{r} (s, x) = \sum_{n = 0}^{\infty}_{r} H_{n} (n + x)^{- s} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{n + r - 1}{n}) (n + x)^{- s}$

多重ガンマ関数

$Γ_{r} (x) = \exp [\frac{\partial}{\partial s} ζ_{r} (s, x) |_{s = 0}]$

多重三角関数

$S_{r} (x) = Γ_{r} (x)^{- 1} Γ_{r} (r - x)^{(- 1)^{r}}$

と定義されます.
今回は簡単に済ませるので周期 $\underset{―}{ω}$ は $(1, 1, \dots, 1)$ で扱っていくことにします.

$S_{3} (x) = \exp [- {\frac{\partial}{\partial s} (ζ_{3} (s, x) + ζ_{3} (s, 3 - x)) |}_{s = 0}]$

定義通りに計算します.
$\begin{aligned} S_{3} (x) & = Γ_{3} (x)^{- 1} Γ_{3} (3 - x)^{- 1} \\ = \exp [- {\frac{\partial}{\partial s} ζ_{3} (s, x) |}_{s = 0}] \exp [- {\frac{\partial}{\partial s} ζ_{3} (s, 3 - x) |}_{s = 0}] \\ = \exp [- {\frac{\partial}{\partial s} (ζ_{3} (s, x) + ζ_{3} (s, 3 - x)) |}_{s = 0}] \end{aligned}$

$φ (s) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(n + \frac{1}{2})}^{- s}$ とします.

$φ (s) = (2^{s} - 1) ζ (s)$
※ $ζ$ はリーマンのゼータ関数

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(n + \frac{1}{2})}^{- s} = 2^{s} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 n + 1)^{s}} = (2^{s} - 1) ζ (s)$

本題

今回は $S_{3} (\frac{1}{2})$ を計算したいと思います. 補題1より,
$S_{3} (\frac{1}{2}) = \exp [- {\frac{\partial}{\partial s} (ζ_{3} (s, \frac{1}{2}) + ζ_{3} (s, \frac{5}{2})) |}_{s = 0}]$
(1)
$ζ_{3} (s, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 2) (n + 1) {(n + \frac{1}{2})}^{- s}$
ここで,
$(n + 2) (n + 1) = (n + \frac{1}{2} + \frac{3}{2}) (n + \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$
だから, $n + \frac{1}{2}$ を崩さないように展開すると,
$\begin{aligned} = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} {{(n + \frac{1}{2})}^{2} + 2 (n + \frac{1}{2}) + \frac{3}{4}} {(n + \frac{1}{2})}^{- s} \\ = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} {(n + \frac{1}{2})}^{2 - s} + \sum_{n = 0}^{\infty} {(n + \frac{1}{2})}^{1 - s} + \frac{3}{8} \sum_{n = 0}^{\infty} {(n + \frac{1}{2})}^{- s} \end{aligned}$
補題2より,
$= \frac{2^{s - 2} - 1}{2} ζ (s - 2) + (2^{s - 1} - 1) ζ (s - 1) + \frac{3 (2^{s} - 1)}{8} ζ (s)$
(2)
$ζ_{3} (s, \frac{5}{2}) = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 2) (n + 1) {(n + \frac{5}{2})}^{- s}$
${(n + \frac{1}{2})}^{- s}$ を出現させるために,
$= \frac{1}{2} \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) {(n + \frac{1}{2})}^{- s}$
$n = 0, 1$ のときでも $0$ を足すだけだから,
$= \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} n (n - 1) {(n + \frac{1}{2})}^{- s}$
(1)と同様な変形をすると,
$= \frac{2^{s - 2} - 1}{2} ζ (s - 2) - (2^{s - 1} - 1) ζ (s - 1) + \frac{3 (2^{s} - 1)}{8} ζ (s)$
(3)
(1), (2)より,
$ζ_{3} (s, \frac{1}{2}) + ζ_{3} (s, \frac{5}{2}) = \frac{2^{s - 2} - 1}{2} ζ (s - 2) + \frac{3 (2^{s} - 1)}{8} ζ (s)$
よって,
$- {\frac{\partial}{\partial s} (ζ_{3} (s, \frac{1}{2}) + ζ_{3} (s, \frac{5}{2})) |}_{s = 0} = - \frac{\ln 2}{4} ζ (- 2) + \frac{3}{4} ζ^{'} (- 2) - \frac{3 \ln 2}{4} ζ (0)$
ここで, $ζ (0) = - \frac{1}{2}, ζ (- 2) = 0$ であり, 関数等式
$ζ (1 - s) = 2 (2 π)^{- s} ζ (s) Γ (s) \cos (\frac{π s}{2})$
の両辺を $s$ で微分して $s = 3$ とすると得られる
$ζ^{'} (- 2) = - \frac{ζ (3)}{4 π^{2}}$
を用いて,
$= \frac{3 \ln 2}{8} + \frac{3}{4} \cdot (- \frac{ζ (3)}{4 π^{2}})$
よって