部分和の方法

Eulerの総和公式とAbelの総和公式

Mathlogでは練習を兼ねて初めての記事作成となる。

さて、与えられた数列 $(a_n)$ について $\sum_{n=M+1}^N a_n$、あるいは $\sum_{n=M+1}^N a_n f(n)$ のような形の和（たとえば調和級数 $\sum_{n=1}^N 1/n$）の大きさを求める上で有効な方法として、Eulerの総和公式とAbelの総和公式がある。これは総和法における、部分積分の公式に相当するものとも言うべきもので、そのため部分和の方法とも呼ばれる。
（なお、日本語で部分和といった場合、単に一部分の和をとるという意味の subsum と部分積分の公式に相当する partial summation の2つの意味があるが、ここで部分和の方法というのは後者をさす）

たとえば、次のような関係が成り立つことが示せる。

より一般的には、次のような関係が成り立つ。

定理2の前段をAbelの総和公式、後段をEulerの総和公式という。Abelの総和公式についてはApostol, Theorem 4.2, Eulerの総和公式についてはApostol, Theorem 3.1も参照。Hardy-Wright, Theorem 421はAbelの総和公式の特殊な場合である。

まず、2つの数列 $(a_n), (b_n) (n\geq 1)$ について、
\begin{equation*} \sum_{n=M+1}^N a_n b_n \end{equation*}
の形の和について考えたいとする。ただし、 $N>M>0$ とする。

\begin{equation*} A_0=0, A_n=\sum_{k=1}^n a_k \end{equation*}
とおくと
\begin{equation*} A_n=A_{n-1}+a_n (1\leq n\leq N) \end{equation*}
つまり
\begin{equation*} a_n=A_n-A_{n-1} (1\leq n\leq N) \end{equation*}
だから
\begin{equation*} S_N=\sum_{n=M+1}^N b_n (A_n-A_{n-1}) \end{equation*}
と変形できる。各 $A_n$ に対する係数を求めると
\begin{equation} \begin{split} S_N= & -b_{M+1} A_M+(b_{M+1}-b_{M+2})A_{M+1}+(b_{M+2}-b_{M+3})A_{M+2}+ \\ & \cdots +(b_{N-1}-b_N)A_{N-1}+b_N A_N \\ = & -b_M A_M+(b_M-b_{M+1})A_M+(b_{M+1}-b_{M+2})A_{M+1}+ \\ & \cdots +(b_{N-1}-b_N)A_{N-1}+b_N A_N \\ = & b_N A_N-b_M A_M-\sum_{n=M}^{N-1} A_n (b_{n+1}-b_n) \end{split} \ \ \text{(1)} \end{equation}
が成り立つ。

ここで、$f(t)$ が $M< x< N$ で微分可能な関数で $b_n=f(n)$ となっているとき、先に定義したように
\begin{equation*} A(x)=\sum_{0\leq k\leq x} a_k \end{equation*}
とおくと
\begin{equation*} b_{n+1}-b_n=f(n+1)-f(n)=\int_n^{n+1}f^\prime(t) dt \end{equation*}
かつ
$n\leq t< n+1$ のとき $A(t)=A_n$
なので $\text{(1)}$ から
\begin{equation*} \sum_{n=M+1}^N a_n f(n)=f(N)A(N)-f(M)A(M)-\int_M^N A(t)f^\prime(t)dt \end{equation*}
が成り立つ。

左辺は
$M< x\leq M+1$ となる $x$ に置き換えても変化しない。また
$N\leq y< N+1$ となる $y$ に対して
\begin{equation*} f(y)A(y)-f(N)A(N)=(f(y)-f(N))A(N)=\int_N^y A(t) f^\prime(t) dt \end{equation*}
である。よって $f(t)$ が $x< t< y$ で微分可能な関数ならば
\begin{equation*} \sum_{x< n\leq y} a_n f(n)=f(y)A(y)-f(x)A(x)-\int_x^y A(t)f^\prime(t)dt \end{equation*}
となって、定理2の前段が示された。

$M=\floor{x}, a_n=1 (n=M+1, 2, \ldots), 0 (n\leq M)$ とおくと $A(t)=\floor{t}-M$ で、とくに $M\leq t< x$ のとき $A(t)=0$ であるから
\begin{equation*} \begin{split} \sum_{x< n\leq y} f(n)=& (\floor{y}-M)f(y)-\int_x^y (\floor{t}-M) f^\prime(t)dt \\ =& \floor{y}f(y)-Mf(x)-\int_x^y \floor{t} f^\prime(t)dt \\ =& \floor{y}f(y)-\floor{x}f(x)-\int_x^y t f^\prime(t)dt+\int_x^y (t-\floor{t}) f^\prime(t)dt \end{split} \end{equation*}
だが
\begin{equation*} \int_x^y t f^\prime(t)dt=yf(y)-xf(x)-\int_x^y f(t)dt \end{equation*}
であるから
\begin{equation*} \begin{split} \sum_{x< n\leq y} f(n)=& (\floor{y}-y)f(y)-(\floor{x}-x)f(x) \\ & +\int_x^y f(t)dt+\int_x^y (t-\floor{t}) f^\prime(t)dt \\ \end{split} \end{equation*}
が成り立つので、定理2の後段も示される。
とくに $0< x<1$ とおくと
\begin{equation*} \sum_{n\leq y} f(n)=f(1)-(y-\floor{y})f(y)+\int_1^y f(t)dt+\int_1^y (t-\floor{t}) f^\prime(t)dt \end{equation*}
となって、$y$ を $x$ に置き換えると定理1の関係式となる。

例

たとえば
\begin{equation*} \sum_{1\leq n\leq x} \frac{1}{n}=\log x+\frac{\floor{x}}{x}-\int_1^x \frac{t-\floor{t}}{t^2}dt, \end{equation*}
\begin{equation*} \sum_{1\leq n\leq x} \frac{\log n}{n}=\log^2 x+\frac{(x-\floor{x})\log x}{x^2}-\int_1^x \frac{(t-\floor{t})(\log t-1)}{t^2}dt, \end{equation*}
\begin{equation*} \sum_{1\leq n\leq x} \log n=\floor{x}\log x-x+1-\int_1^x \frac{t-\floor{t}}{t}dt \end{equation*}
が成り立つ。$0\leq t-\floor{t}<1$ に注意すれば、これらのことから
\begin{equation*} \sum_{1\leq n\leq x} \frac{1}{n}=\log x+\gamma+O\left(\frac{1}{x}\right), \end{equation*}
\begin{equation*} \sum_{1\leq n\leq x} \frac{\log n}{n}=\log^2 x+C+O\left(\frac{\log x}{x}\right), \end{equation*}
\begin{equation*} \sum_{1\leq n\leq x} \log n=x\log x-x+O(\log x) \end{equation*}
といった評価が得られる。$O$記号に関しては、具体的な定数を求めることも難しくはないがやや面倒である。さらに $s>1$ ならば
\begin{equation*} \sum_{x< n\leq y} \frac{1}{n^s}=\frac{x-\floor{x}}{x^s}-\frac{y-\floor{y}}{y^s}+\int_x^y \frac{dt}{t^s}-\int_x^y \frac{s(t-\floor{t})}{t^{s+1}}dt \end{equation*}
であるが、 $y\rightarrow +\infty$ とすると
\begin{equation*} \sum_{n>x} \frac{1}{n^s}=\frac{1}{(s-1)x^{s-1}}+\frac{x-\floor{x}}{x^s}-\int_x^\infty \frac{s(t-\floor{t})}{t^{s+1}}dt \end{equation*}
となるので
\begin{equation*} \begin{split} \sum_{1\leq n\leq x} \frac{1}{n^s}= & \zeta(s)-\frac{1}{(s-1)x^{s-1}}-\frac{x-\floor{x}}{x^s}+\int_x^\infty \frac{s(t-\floor{t})}{t^{s+1}}dt \\ = & \zeta(s)-\frac{1}{(s-1)x^{s-1}}+O\left(\frac{1}{x^s}\right) \end{split} \end{equation*}
が成り立つ。

また $S$ を整数の集合で、 $x$ 以下の $S$ の要素の個数を $A(x)$ とすると
\begin{equation*} A(x)=\frac{x}{\log x}+O\left(\frac{x}{\log^2 x}\right) \end{equation*}
が成り立つとする。このとき $R(x)=A(x)-x/\log x$ とおくと
\begin{equation*} \begin{split} \sum_{n\in S, n\leq x}\frac{1}{n}= & \frac{A(x)}{x}+\int_1^x \frac{A(t)}{t^2}dt \\ = & \frac{1}{\log x}+\frac{1}{\log^2 x}+\int_1^e \frac{A(t)}{t^2}dt+\int_e^x\frac{dt}{t\log t}+\int_e^x R(t)dt \end{split} \end{equation*}
となるが
\begin{equation*} \begin{split} \int_x^\infty R(t)dt=O\left(\int_x^\infty \frac{dt}{t\log^2 t}\right)=O\left(\frac{1}{\log x}\right) \end{split} \end{equation*}
なので
\begin{equation*} C=\int_1^e \frac{A(t)}{t^2}dt+\int_e^\infty R(t)dt \end{equation*}
とおくと
\begin{equation*} \begin{split} \sum_{n\in S, n\leq x}\frac{1}{n} = & \int_e^x\frac{dt}{t\log t}+\int_e^\infty R(t)dt+\int_1^e \frac{A(t)}{t^2}dt+\frac{1}{\log x}+\frac{1}{\log^2 x}-\int_x^\infty R(t)dt \\ = & \log\log x+C+O\left(\frac{1}{\log x}\right) \end{split} \end{equation*}
となって、$S$ の要素の逆数の和の近似式が得られる。とくに、$S$ が素数全体の集合の場合、素数定理から素数の逆数の和の近似式が得られる。その意味で、上の近似式は素数の逆数の和の近似式（Mertensの第二定理）の一般化である。もちろん、素数の場合には素数定理を使わない、より初等的な証明もある。

参考文献

G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman, foreword by Andrew Wiles, 6th ed., Oxford, 2008.

Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1976, doi: https://doi.org/10.1007/978-1-4757-5579-4