部分和の方法

Eulerの総和公式とAbelの総和公式

Mathlogでは練習を兼ねて初めての記事作成となる。

さて、与えられた数列 $(a_n)$ について $\sum _{n=M+1}^N{a}_n$、あるいは $\sum _{n=M+1}^N{a}_{n}f(n)$ のような形の和（たとえば調和級数 $\sum _{n=1}^{N}1/n$）の大きさを求める上で有効な方法として、Eulerの総和公式とAbelの総和公式がある。これは総和法における、部分積分の公式に相当するものとも言うべきもので、そのため部分和の方法とも呼ばれる。
（なお、日本語で部分和といった場合、単に一部分の和をとるという意味の subsum と部分積分の公式に相当する partial summation の2つの意味があるが、ここで部分和の方法というのは後者をさす）

たとえば、次のような関係が成り立つことが示せる。

より一般的には、次のような関係が成り立つ。

定理2の前段をAbelの総和公式、後段をEulerの総和公式という。Abelの総和公式についてはApostol, Theorem 4.2, Eulerの総和公式についてはApostol, Theorem 3.1も参照。Hardy-Wright, Theorem 421はAbelの総和公式の特殊な場合である。

まず、2つの数列 $(a_n),(b_n)(n\ge 1)$ について、
$$\sum _{n=M+1}^N{a}_n{b}_n$$
の形の和について考えたいとする。ただし、 $N>M>0$ とする。

$$A_0=0,A_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$$
とおくと
$$A_n=A_{n-1}+a_n(1\le n\le N)$$
つまり
$$a_n=A_n-A_{n-1}(1\le n\le N)$$
だから
$$S_N=\sum _{n=M+1}^N{b}_n(A_n-A_{n-1})$$
と変形できる。各 $A_n$ に対する係数を求めると
$$\begin{array}{rl}{S}_N=& -b_{M+1}{A}_M+(b_{M+1}-b_{M+2})A_{M+1}+(b_{M+2}-b_{M+3})A_{M+2}+\\ & \cdots +(b_{N-1}-b_N)A_{N-1}+b_N{A}_N\\ =& -b_M{A}_M+(b_M-b_{M+1})A_M+(b_{M+1}-b_{M+2})A_{M+1}+\\ & \cdots +(b_{N-1}-b_N)A_{N-1}+b_N{A}_N\\ =& b_N{A}_N-b_M{A}_M-\sum _{n=M}^{N-1}{A}_n(b_{n+1}-b_n)\end{array}\text{(1)}$$
が成り立つ。

ここで、$f(t)$ が $M<x<N$ で微分可能な関数で $b_n=f(n)$ となっているとき、先に定義したように
$$A(x)=\sum _{0\le k\le x}{a}_k$$
とおくと
$$b_{n+1}-b_n=f(n+1)-f(n)={\int }_n^{n+1}{f}^{\prime }(t)dt$$
かつ
$n\le t<n+1$ のとき $A(t)=A_n$
なので $\text{(1)}$ から
$$\sum _{n=M+1}^N{a}_{n}f(n)=f(N)A(N)-f(M)A(M)-{\int }_M^{N}A(t)f^{\prime }(t)dt$$
が成り立つ。

左辺は
$M<x\le M+1$ となる $x$ に置き換えても変化しない。また
$N\le y<N+1$ となる $y$ に対して
$$f(y)A(y)-f(N)A(N)=(f(y)-f(N))A(N)={\int }_N^{y}A(t)f^{\prime }(t)dt$$
である。よって $f(t)$ が $x<t<y$ で微分可能な関数ならば
$$\sum _{x<n\le y}{a}_{n}f(n)=f(y)A(y)-f(x)A(x)-{\int }_x^{y}A(t)f^{\prime }(t)dt$$
となって、定理2の前段が示された。

$M=\lfloor x\rfloor ,a_n=1(n=M+1,2,\dots ),0(n\le M)$ とおくと $A(t)=\lfloor t\rfloor -M$ で、とくに $M\le t<x$ のとき $A(t)=0$ であるから
$$\begin{array}{rl}\sum _{x<n\le y}f(n)=& (\lfloor y\rfloor -M)f(y)-{\int }_x^y(\lfloor t\rfloor -M)f^{\prime }(t)dt\\ =& \lfloor y\rfloor f(y)-Mf(x)-{\int }_x^y\lfloor t\rfloor f^{\prime }(t)dt\\ =& \lfloor y\rfloor f(y)-\lfloor x\rfloor f(x)-{\int }_x^{y}t{f}^{\prime }(t)dt+{\int }_x^y(t-\lfloor t\rfloor )f^{\prime }(t)dt\end{array}$$
だが
$${\int }_x^{y}t{f}^{\prime }(t)dt=yf(y)-xf(x)-{\int }_x^{y}f(t)dt$$
であるから
$$\begin{array}{rl}\sum _{x<n\le y}f(n)=& (\lfloor y\rfloor -y)f(y)-(\lfloor x\rfloor -x)f(x)\\ & +{\int }_x^{y}f(t)dt+{\int }_x^y(t-\lfloor t\rfloor )f^{\prime }(t)dt\end{array}$$
が成り立つので、定理2の後段も示される。
とくに $0<x<1$ とおくと
$$\sum _{n\le y}f(n)=f(1)-(y-\lfloor y\rfloor )f(y)+{\int }_1^{y}f(t)dt+{\int }_1^y(t-\lfloor t\rfloor )f^{\prime }(t)dt$$
となって、$y$ を $x$ に置き換えると定理1の関係式となる。

例

たとえば
$$\sum _{1\le n\le x}\frac{1}{n}=\log x+\frac{\lfloor x\rfloor }{x}-{\int }_1^x\frac{t-\lfloor t\rfloor }{t^2}dt,$$
$$\sum _{1\le n\le x}\frac{\log n}{n}={\log }^{2}x+\frac{(x-\lfloor x\rfloor )\log x}{x^2}-{\int }_1^x\frac{(t-\lfloor t\rfloor )(\log t-1)}{t^2}dt,$$
$$\sum _{1\le n\le x}\log n=\lfloor x\rfloor \log x-x+1-{\int }_1^x\frac{t-\lfloor t\rfloor }{t}dt$$
が成り立つ。$0\le t-\lfloor t\rfloor <1$ に注意すれば、これらのことから
$$\sum _{1\le n\le x}\frac{1}{n}=\log x+\gamma +O\left(\frac{1}{x}\right),$$
$$\sum _{1\le n\le x}\frac{\log n}{n}={\log }^{2}x+C+O\left(\frac{\log x}{x}\right),$$
$$\sum _{1\le n\le x}\log n=x\log x-x+O(\log x)$$
といった評価が得られる。$O$記号に関しては、具体的な定数を求めることも難しくはないがやや面倒である。さらに $s>1$ ならば
$$\sum _{x<n\le y}\frac{1}{n^s}=\frac{x-\lfloor x\rfloor }{x^s}-\frac{y-\lfloor y\rfloor }{y^s}+{\int }_x^y\frac{dt}{t^s}-{\int }_x^y\frac{s(t-\lfloor t\rfloor )}{t^{s+1}}dt$$
であるが、 $y\to +\mathrm{\infty }$ とすると
$$\sum _{n>x}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{(s-1)x^{s-1}}+\frac{x-\lfloor x\rfloor }{x^s}-{\int }_x^{\mathrm{\infty }}\frac{s(t-\lfloor t\rfloor )}{t^{s+1}}dt$$
となるので
$$\begin{array}{rl}\sum _{1\le n\le x}\frac{1}{n^s}=& \zeta (s)-\frac{1}{(s-1)x^{s-1}}-\frac{x-\lfloor x\rfloor }{x^s}+{\int }_x^{\mathrm{\infty }}\frac{s(t-\lfloor t\rfloor )}{t^{s+1}}dt\\ =& \zeta (s)-\frac{1}{(s-1)x^{s-1}}+O\left(\frac{1}{x^s}\right)\end{array}$$
が成り立つ。

また $S$ を整数の集合で、 $x$ 以下の $S$ の要素の個数を $A(x)$ とすると
$$A(x)=\frac{x}{\log x}+O\left(\frac{x}{{\log }^{2}x}\right)$$
が成り立つとする。このとき $R(x)=A(x)-x/\log x$ とおくと
$$\begin{array}{rl}\sum _{n\in S,n\le x}\frac{1}{n}=& \frac{A(x)}{x}+{\int }_1^x\frac{A(t)}{t^2}dt\\ =& \frac{1}{\log x}+\frac{1}{{\log }^{2}x}+{\int }_1^e\frac{A(t)}{t^2}dt+{\int }_e^x\frac{dt}{t\log t}+{\int }_e^{x}R(t)dt\end{array}$$
となるが
$$\begin{array}{r}{\int }_x^{\mathrm{\infty }}R(t)dt=O\left({\int }_x^{\mathrm{\infty }}\frac{dt}{t{\log }^{2}t}\right)=O\left(\frac{1}{\log x}\right)\end{array}$$
なので
$$C={\int }_1^e\frac{A(t)}{t^2}dt+{\int }_e^{\mathrm{\infty }}R(t)dt$$
とおくと
$$\begin{array}{rl}\sum _{n\in S,n\le x}\frac{1}{n}=& {\int }_e^x\frac{dt}{t\log t}+{\int }_e^{\mathrm{\infty }}R(t)dt+{\int }_1^e\frac{A(t)}{t^2}dt+\frac{1}{\log x}+\frac{1}{{\log }^{2}x}-{\int }_x^{\mathrm{\infty }}R(t)dt\\ =& \log \log x+C+O\left(\frac{1}{\log x}\right)\end{array}$$
となって、$S$ の要素の逆数の和の近似式が得られる。とくに、$S$ が素数全体の集合の場合、素数定理から素数の逆数の和の近似式が得られる。その意味で、上の近似式は素数の逆数の和の近似式（Mertensの第二定理）の一般化である。もちろん、素数の場合には素数定理を使わない、より初等的な証明もある。

参考文献

G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman, foreword by Andrew Wiles, 6th ed., Oxford, 2008.

Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1976, doi: https://doi.org/10.1007/978-1-4757-5579-4