円分体の整数環と判別式
はじめに
この記事では円分体の整数環と判別式の公式の証明を行います。
円分体とは有理数体$\Q$に1の原始$n$乗根$\z_n$を付加した体$k=\Q(\z_n)$のことを言います。
その整数環$\O_k=\Q(\z_n)\cap\ol{\Z}$について以下の定理が成り立ちます。
$\dis{\O_k=\Z[\z_n]=\{\sum_{k=0}^{\varphi(n)-1}a_k\z_n^k|a_k\in\Z\}}$
ここで$\varphi(n)$はEulerのtotient関数です。
またこの判別式$D_k=\det(\Tr(\z_n^{i-1}\z_n^{j-1}))$については以下の公式が成り立ちます。
($(a_{i,j})$は行列$(a_{i,j})_{i,j}=(a_{i,j})_{\substack{1\leq i\\1\leq j}}$の意、サイズについては適宜判断のこと)
$\dis D_k=(-1)^{\frac{\varphi(n)}{2}}\frac{n^{\varphi(n)}}{\prod_{p|n}p^{{\frac{\varphi(n)}{p-1}}}}$
証明のあらすじ
まず議論を簡単にするために代数体$K,L$の整数環$R,S$と積$KL$の整数環$T$の間に
$\dis RS\subset T\subset \frac{1}{\gcd(D_K,D_L)}RS$
特に$\gcd(D_K,D_L)=1$のとき$T=RS$
なる関係があることを示します。
次に$d_n=\det(\Tr(\z_n^{i-1}\z_n^{j-1}))$とおいてそれが上記の公式1を満たすことを示します。
最後に$n$が素数冪$p^e$の場合について$\O_k=\Z[\z_n]$となることを示し、公式1,2からこれが一般の自然数$n$について成り立つことを確かめます。
積の整数環
$K,L$を$[K:{\mathbb{Q}}]=m,[L:{\mathbb{Q}}]=n,[KL:{\mathbb{Q}}]=mn$なる代数体とし、$R={\mathcal{O}}_{K}=[\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m],S={\mathbb{O}}_L=[\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n],T={\mathcal{O}}_{KL}$とおく。
このとき$\{\alpha_i\beta_j\}_{i,j}$は$KL$上の基底となることに注意する。
いま任意の$\gamma\in T\subset KL$に
$${\gamma=\sum_{i,j}\frac{c_{i,j}}{r}\alpha_i\beta_j\;(\gcd(\{\gcd_{i,j}c_{i,j}\},r)=1)}$$
なる$c_{i,j},r\in{\mathbb{Z}}$が存在し、このとき$x_i=\sum_j\frac{c_{i,j}}{r}\beta_j$とおき$L$の元を固定する$KL$上の共役写像$\sigma_i\;(i=1,2,\ldots,m)$をとると、${\displaystyle}\sigma_i(\gamma)=\sum_kx_k\sigma_i(\alpha_k)$つまり$(\sigma_i(\gamma))_i=(\sigma_i(\alpha_j))_{i,j}(x_i)_i$となる。
ここで$\delta=\det(\sigma_i(\alpha_j)),e=D_K$とおくと$(x_i)_i=(\sigma_i(\alpha_j))_{i,j}^{-1}(\sigma_i(\gamma))_i,\;e=\delta^2$より${\displaystyle}x_i={\frac{\gamma_i}{\delta}}=\frac{\gamma_i\delta}{e}$なる$\gamma_i\in\overline{{\mathbb{Z}}}$がとれて、
$${\displaystyle}\gamma_i\delta=ex_i=\sum_{j}\frac{ec_{i,j}}{r}\beta_j\in (\overline{{\mathbb{Z}}}\cap K)=R$$
となるので${\displaystyle}\frac{ec_{i,j}}{r}\in{\mathbb{Z}}$、$c_{i,j},r$の取り方から$r|e$、同様にして$r|D_L$つまり$\g\in\frac{1}{\gcd(D_K,D_L)}RS$となり$\gamma$は任意であったので${\displaystyle}T\subset \frac{1}{\gcd(D_K,D_L)}RS$が成り立つ。
$RS\subset T$は自明であるので以上より公式2を得る。
判別式の導出
$n\geq3$において$\zeta_n^{(i)}\;(i=1,2,\ldots,\varphi(n))$を$\z_n=\z_n^{(1)}$の共役元とし
$d_n=\det(\Tr(\z_n^{i-1}\z_n^{j-1}))=\det({(\zeta_n^{(i)})}^{j-1})^2=\prod_{i< j}(\zeta_n^{(i)}-\zeta_n^{(j)})^2$とおくと、
$(\zeta_n^{(i)}-\zeta_n^{(j)})^2=-(\zeta_n^{(i)}-\zeta_n^{(j)})(\zeta_n^{(j)}-\zeta_n^{(i)})$なので
$$\begin{eqnarray}
d_n
&=&(-1)^{\frac{\varphi(n)(\varphi(n)-1)}{2}}\prod_{i\neq j}(\zeta_n^{(i)}-\zeta_n^{(j)})
=(-1)^{\frac{\varphi(n)}{2}}\prod_{i\neq j}(\zeta_n^{(i)}-\zeta_n^{(j)})
\\ &=&(-1)^{\frac{\varphi(n)}{2}}{\N}\left(\prod_{j\neq1}(\zeta_n-\zeta_n^{(j)})\right)
=(-1)^{\frac{\varphi(n)}{2}}{\N}(\Phi_n'(\zeta_n))\end{eqnarray}$$
となる。ここで$\Phi_n(x)$は$n$次の円分多項式である。
$\dis\Phi_n(x)=\prod_{d|n}(1-x^{{\frac{n}{d}}})^{\mu(d)}$が成り立つ。ここで$\mu(n)$はメビウス関数である。
円分多項式の定義$\dis\Phi_n(x)=\prod_{(k,n)=1}(x-\z_n^k)$より
$x^n-1=\prod_{d|n}\Phi_d(x)$であってこれにメビウスの反転公式を適応すると
$\Phi_n(x)=\prod_{d|n}(x^{n/d}-1)^{\mu(d)}=(-1)^{\sum_{d|n}\mu(d)}\prod_{d|n}(1-x^{n/d})^{\mu(d)}$となり、
$n\geq3$より$\sum_{d|n}\mu(d)=0$なので主張を得る。
素数$p$と互いに素な自然数$k$について$\dis\Phi_{p^ek}(x)=\frac{\Phi_k(x^{p^e})}{\Phi_k(x^{p^{e-1}})}$が成り立つ。
$d=p^id'$とおくと
$\dis\Phi_{p^ek}(x)=\prod_{d|p^ek}(x^{\frac{p^ek}{d}}-1)=\prod_{d'|k}\prod^k_{i=0}(x^{p^{e-i}\frac{k}{d'}}-1)^{\mu(p^id')}$と表せれ、
$p$と$k$が互いに素であることとから$\mu(pd')=-\mu(d')$および$i\geq2$で$\mu(p^id)=0$なので
$\dis\Phi_{p^ek}(x)=\frac{\prod_{d'|k}(x^{p^e\cdot\frac{k}{d'}}-1)^{\mu(d')}}{\prod_{d'|k}(x^{p^{e-1}\cdot\frac{k}{d'}}-1)^{\mu(d')}}=\frac{\Phi_{k}(x^{p^e})}{\Phi_k(x^{p^{e-1}})}$を得る。
いま補題2から
$\displaystyle\Phi_n'(\zeta_n)=(\prod_{d|n}(1-x^{{\frac{n}{d}}})^{\mu(d)})'\bigg|_{x=\zeta_n}
=-n\zeta_n^{-1}\prod_{\substack{d|n\\d\neq1}}(1-\zeta_d)^{\mu(d)}$であって、
また補題3とメビウス関数の定義から$d$が合成数ならば$\Phi_d(1)^{\mu(d)}=1$に注意すると
$\displaystyle{\N}(\Phi'(\z_n))=(-n)^{\varphi(n)}\prod_{\substack{d|n\\d\neq1}}\prod^{\varphi(n)}_{i=1}(1-\zeta_d^{(i)})^{\mu(d)}
=n^{\varphi(n)}\prod_{\substack{d|n\\d\neq1}}\Phi_d(1)^{\mu(d)\frac{\varphi(n)}{\varphi(d)}}
=n^{\varphi(n)}\prod_{\substack{p|n}}p^{-\frac{\varphi(n)}{p-1}}$
以上より$\dis d_n=(-1)^{\frac{\varphi(n)}{2}}\frac{n^{\varphi(n)}}{\prod_{p|n}p^{{\frac{\varphi(n)}{p-1}}}}$を得る。
整数環の導出
以下$n=p^e$とする。このとき$\Phi_n(x)=\sum^{p-1}_{k=0}x^{p^{e-1}k}$より
$(p)=(\Phi_n(1))=(\prod_i(1-\zeta_n^{(i)}))=(1-\zeta_n)^{\varphi(n)}$が成り立つ。
ただし$2$つめの等号では以下の事実を用いた。
それぞれ$n$と互いに素な$i,j$について$\dis\frac{\z_n^i-1}{\z_n^j-1}$は$\Z[\z_n]$の単数となる。
任意の$i,j$について$\dis\frac{\z_n^i-1}{\z_n^j-1}$が$\Z[\z_n]$に属することを示せばよい。
いま$i,j$の取り方から$kj\equiv i\pmod{n}$なる自然数$k$がとれてこのとき$\z_n^i=\z_n^{kj}$となるので
$\dis\frac{\z_n^i-1}{\z_n^j-1}=\frac{(\z_n^j)^k-1}{\z_n^j-1}=\sum_{l=0}^{k-1}(\z_n^j)^l\in\Z[\z_n]$を得る。
また自然な準同型${\mathbb{Z}}/p{\mathbb{Z}}\to {\mathcal{O}}_k/(1-\zeta_n)(k+p\Z\mapsto k+(1-\z_n))$を考えると
$|{\mathcal{O}}_k/(1-\zeta_n)|=|\N(1-\zeta_n)|=\Phi_n(1)=p=|{\mathbb{Z}}/p{\mathbb{Z}}|$なのでこれは同型写像となる。
つまり任意の$\alpha\in{\mathcal{O}}_k$にある$a\in{\mathbb{Z}}$が存在して$\alpha\equiv a\mod{(1-\zeta_n)}$が成り立つので
$\alpha\in({\mathbb{Z}}+(1-\zeta_n))\subseteq({\mathbb{Z}}[\zeta_n]+(1-\zeta_n))$、$\alpha$は任意であったので結局${\mathcal{O}}_k={\mathbb{Z}}[\zeta_n]+(1-\zeta_n)$が成り立つ。
また$(1-\zeta_n)=(1-\zeta_n){\mathcal{O}}_k=(1-\zeta_n){\mathbb{Z}}[\zeta_n]+(1-\zeta_n)^2$なので
${\mathcal{O}}_k={\mathbb{Z}}[\zeta_n]+((1-\zeta_n){\mathbb{Z}}[\zeta_n]+(1-\zeta)^2)={\mathbb{Z}}[\zeta_n]+(1-\zeta_n)^2$となり、
同様にして任意の自然数$m$に対し${\mathcal{O}}_k={\mathbb{Z}}[\zeta_n]+(1-\zeta_n)^m$が成り立ち、$m\mapsto m\varphi(n)$で${\mathcal{O}}_k={\mathbb{Z}}[\zeta_n]+(p^m)$がわかる。
いま$D(\mathfrak{a})=D_k\mathrm{N}(\mathfrak{a})^2=D_k|{\mathcal{O}}_k/\mathfrak{a}|^2$と同様に$d_n=D_k|{\mathcal{O}}_k/{\mathbb{Z}}[\zeta_n]|^2$が成り立ち、(ただし$\Z[\z_n]$が$\O_k$のイデアルであるかはまだわからないので${\mathcal{O}}_k/{\mathbb{Z}}[\zeta_n]$は加法群としての商の意である。)特に$d_n$は$p$のべきであったので$|{\mathcal{O}}_k/{\mathbb{Z}}[\zeta_n]|$も$p$のべきである。
よって$|{\mathcal{O}}_k/{\mathbb{Z}}[\zeta_n]|=p^m$とおくと任意の$\alpha\in{\mathcal{O}}_k$に$p^m\alpha\in{\mathbb{Z}}[\zeta_n]$が成り立つので$(p^m)\subset{\mathbb{Z}}[\zeta_n]$つまり${\mathbb{Z}}[\zeta_n]+(p^m)={\mathbb{Z}}[\zeta_n]$となり${\mathcal{O}}_k={\mathbb{Z}}[\zeta_n]+(p^m)={\mathbb{Z}}[\zeta_n]$を得る。
以上より$n=p^e$において$D_k=d_n$であり、公式1から一般に$d_n$の素因数は$n$を割り切るので$\gcd(m,n)=1$ならば$\gcd(d_m,d_n)$つまり公式2から$\Q[\z_{mn}]$の整数環は$\Z[\z_m]\Z[\z_n]=\Z[\z_{mn}]$というようにして一般の自然数$n$に対して$\O_k=\Z[\z_n]$および$D_k=d_n$を得る。
参考文献
- 円分多項式の変形について
105：円分多項式の係数と鈴木の定理 - INTEGERS (非公開化済み)
Zsigmondyの定理 - INTEGERS - ノルムや判別式の変形について
代数的整数論 - 中川仁 - その他・証明全般
Cyclotomic Extention - Robert B. Ash