三角関数の直交性

三角関数の直交性の公式

　三角関数には、以下のような性質があり、これを三角関数の直交性と言う。

(1)

$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos \left(mx\right)\cos \left(nx\right)dx={\delta }_{mn}$$

(2)

$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)dx={\delta }_{mn}$$

(3)

$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos \left(mx\right)\sin \left(nx\right)dx=0$$

(4)

$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }1\cdot \cos \left(nx\right)dx={\delta }_{n0}$$

(5)

$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }1\cdot \sin \left(nx\right)dx=0$$
この時
$${\delta }_{mn}=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}1(m=n)\\ 0(m\ne n)\end{array}\end{array}$$
となる。(クロネッカーのデルタ記号)

三角関数の直交性の証明

前提事項

三角関数の加法定理は次のように表される。
$$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\beta \right)\pm \cos \left(\alpha \right)sin(\beta )$$
$$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \left(\alpha \right)\cos \left(\beta \right)\mp \sin \left(\alpha \right)sin(\beta )$$

(1)の証明

　まず、余弦の加法定理について、$\cos (\alpha +\beta )$と$\cos (\alpha -\beta )$を加算してみると、
$$\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )=2(\cos \left(\alpha \right)\cos \left(\beta \right))+\sin \left(\alpha \right)\sin \left(\beta \right)-\sin \left(\alpha \right)\sin \left(\beta \right)=2\cos \left(\alpha \right)\cos \left(\beta \right)$$
となる。式$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos \left(mx\right)\cos \left(nx\right)dx$を解く時、被積分関数$\cos \left(mx\right)\cos \left(nx\right)$は$2\cos \left(mx\right)\cos \left(nx\right)$の$\frac{1}{2}$となることに留意する。よって、
$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos \left(mx\right)\cos \left(nx\right)dx=\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos \{(n+m)x\}dx+\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos \{(n-m)x\}dx$$
となる。
$n=m$の時$n+m=2n$、$n-m=0$となる為、
$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos \left(nx\right)\cos \left(nx\right)dx=\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos \left(2nx\right)dx+\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }1dx=\pi$$
元の式は$\frac{1}{\pi }$になるので、$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos \left(mx\right)\cos \left(nx\right)dx (n=m)$の解は$1$となる。
$n\ne m\ne 0$の時、
$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos \left(nx\right)\cos \left(mx\right)dx=\frac{1}{2(n+m)}[\sin \{(n+m)x\}{]}_{-\pi }^{\pi }+\frac{1}{2(n-m)}[\sin \{(n-m)x\}{]}_{-\pi }^{\pi }$$
となる。$[\sin \{(n\pm m)x\}]$について、$x=\pm \pi$の時$0$となる為、$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos \left(mx\right)\cos \left(nx\right)dx (n\ne m)$の解は$0$となる。

(2)の証明

　(1)の証明で使用した加法定理の加算であるが、ここでは減算し、$2\sin \left(\alpha \right)\sin \left(\beta \right)$を導く。すると、先程の式と変わった部分は正弦か余弦かになる。$n=m$の時、
$${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin \left(nx\right)\sin \left(nx\right)dx=-\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin \left(2nx\right)dx+\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }1dx=\pi$$
となる。よって解は1となる。
$n\ne m\ne 0$の時は、
$${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin \left(nx\right)\sin \left(mx\right)dx=\frac{1}{2(n+m)}[-\cos \{(n+m)x\}{]}_{-\pi }^{\pi }-\frac{1}{2(n-m)}[-\cos \{(n-m)x\}{]}_{-\pi }^{\pi }$$
となり、解は$0$となる。

(3)の証明

　まず、正弦の加法定理について、$\sin (\alpha +\beta )$と$\sin (\alpha -\beta )$を加算してみると、
$$\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=2(\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\beta \right))+\cos \left(\alpha \right)\sin \left(\beta \right)-\cos \left(\alpha \right)\sin \left(\beta \right)=2\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\beta \right)$$
となる。よって、
$$\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin \{(n+m)x\}dx+\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin \{(n-m)x\}dx$$
となる為、解は$0$となる。( ${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin \left(nx\right)dx$は$0$になる。 )
よって、
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos \left(mx\right)\sin \left(nx\right)dx=0$$
となる。

他

(4)(5)の証明は、正弦及び余弦の積分について述べているのみであり、注意点は$-\pi$から$\pi$の範囲であることのみである。よって、ここで詳しく証明はしない。