すごい級数のお話

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この記事では, すごい級数についてお話したいと思います.

今から書くことはネットにあったpdf ( Borwein兄弟さんの Strange Series and High Precision Fraud というものです ) とかなり内容が被ってしまうのですが, とてもすごいと思ったので書かせて頂きます. 著作権的にあれだったら注意して頂きたいです.

ちなみにこのpdfには, この記事で書くものの他にもいろいろ面白い級数とかが載っていたので, 良かったら見てみてください.

a_{n}

を

n

の十進表記の各桁の和とするとき,

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n (n + 1)} = \frac{10}{9} \log 10

(証明)

まず, 次が成立します.

$\sum_{n = 0}^{\infty} x^{a_{n}} z^{n} = \prod_{n = 0}^{\infty} (1 + x z^{10^{n}} + x^{2} z^{2 \cdot 10^{n}} + \dots + x^{9} z^{9 \cdot 10^{n}})$

これは, 両辺の $z$ の係数を比べると分かると思います. 右辺で掛け合わせるときに, $x$ の肩の数字は足されるのがポイントなんですね.

即ち, 等比数列の和なので, $f (x) = \frac{1 - x^{10}}{1 - x}$ とおいて
$\sum_{n = 0}^{\infty} x^{a_{n}} z^{n} = \prod_{n = 0}^{\infty} f (x z^{10^{n}})$

となります.

$x = 1$ とすると, $\prod_{n = 0}^{\infty} f (z^{10^{n}}) = \frac{1}{1 - z}$ となります.

次に, 上の式を $x$ で微分してみます. 右辺は対数微分(または, 積の微分)を考えて,
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{a_{n} - 1} z^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} z^{10^{n}} \frac{f^{'}}{f} (x z^{10^{n}}) \cdot \prod_{n = 0}^{\infty} f (x z^{10^{n}})$
となります. ただし $\frac{f^{'}}{f} (x) = \frac{f^{'} (x)}{f (x)}$ です.

この式で $x = 1$ とすることで,
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n} = \frac{1}{1 - z} \sum_{n = 0}^{\infty} z^{10^{n}} \frac{f^{'}}{f} (z^{10^{n}})$
両辺に $z - 1$ を掛けて $z$ で割って,
$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (z^{n - 1} - z^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} z^{10^{n} - 1} \frac{f^{'}}{f} (z^{10^{n}})$
となります.

この両辺を $z : 0 \to 1$ と積分します.
$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{1} z^{10^{n} - 1} \frac{f^{'}}{f} (z^{10^{n}}) d z & = & \frac{1}{10^{n}} \int_{0}^{1} \frac{f^{'}}{f} (t) d t \\ = & \frac{1}{10^{n}} {[\log \frac{1 - t^{10}}{1 - t}]}_{0}^{1} \\ = & \frac{\log 10}{10^{n}} \end{array}$
( $t = z^{10^{n}}$ としました) なので,

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\log 10}{10^{n}}$
即ち
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n (n + 1)} = \frac{10}{9} \log 10$
を得ました.