平行な2直線間の距離

$ax+by+cz+d=0$上に異なる点$P,Q$をとり, その位置ベクトルを$\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}$とする.
ここで, Oを原点とおき, $\overrightarrow{p}=(x_0,y_0,z_0),\overrightarrow{q}=(x_1,y_1,z_1)$とする. このとき$a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0=-d$かつ$a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1=-d$である.
さて, $(a,b,c)\cdot \overrightarrow{u}=(a,b,c)\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q})=a(x_1-x_0)+b(y_1-y_0)+c(y_1-z_0)=-d+d=0.$ よって, あらゆる$ax+by+cz+d=0$上の点$P,Q$について $(a,b,c)\perp PQ$であるので, $(a,b,c)\perp$[$ax+by+cz+d=0$が表す平面].

点$(x_0,y_0,z_0)$から平面$ax+by+cz+d=0$に垂線をひき, その垂線と平面との交点を$A(p,q,r)$とする.その垂線のベクトルは, $(a,b,c)$である($\because$ 補題4)から, 実数$k$を用いてOを原点とおいたベクトル方程式 $(x_0,y_0,z_0)+k(a,b,c)=(p,q,r)$が成り立つ. $k(a,b,c)=(p-x_0,q-y_0,r-z_0)\cdots \text{(A)}$となる.
ここで$A(p,q,r)$は$ax+by+cz+d=0$上の点なので, $ap+bq+cr+d=0\cdots \text{(B)}$.
$\text{(A)}$の左辺と$(a,b,c)$との内積をとると, $k(a,b,c)\cdot (a,b,c)=k(a^2+b^2+c^2)$.
一方 $\text{(A)}$の右辺と$(a,b,c)$との内積をとると, $(p-x_0,q-y_0,r-z_0)\cdot (a,b,c)=ap+bq+cr-a{x}_0-b{y}_0-c{z}_0=-a{x}_0-b{y}_0-c{z}_0-d$.
よって, ${\displaystyle k(a^2+b^2+c^2)=-a{x}_0-b{y}_0-c{z}_0-d\therefore k=\frac{-a{x}_0-b{y}_0-c{z}_0-d}{a^2+b^2+c^2}}$
さて, $(x_0,y_0,z_0)$と平面$ax+by+cz+d=0$の距離$D$は$|k(a,b,c)|$と等しい. よって,
${\displaystyle D=|k||(a,b,c)|=\left|\frac{-a{x}_0-b{y}_0-c{z}_0-d}{a^2+b^2+c^2}\right|\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$

発想と同様に考えて,
$ax+by+cz+e=0$上に点$(x_0,y_0,z_0)$をとる. このとき, $a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+e=0\cdots \text{(A)}$が成り立つ.
$(x_0,y_0,z_0)$と$ax+by+cz+d=0$との距離$D$は, ${\displaystyle D=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$($\because$定理3)
ここで$\text{(A)}$より, $a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0=-e$であるので, ${\displaystyle D=\frac{|d-e|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$