第一種楕円積分とレムニスケート

初めに

よのです. 今回は第一種楕円積分を定義していこうと思います.

適宜, 内容の補充はしていきたいと思います.

レムニスケート

前回扱った楕円は「二点間からの距離の和が一定」, 双曲線は「二点間からの距離の差が一定」, 放物線は「二点間からの距離が一定」となる点の軌跡であった.

二定点$A=(-a,0), B=(a,0)$として点$P=(x,y)$と二定点の距離の積が$l^2$(一定)となる軌跡の方程式を計算する.
\begin{align*} PA・PB &=\sqrt{(x+a)^2+y^2}\sqrt{(x-a)^2+y^2} \\ &=\sqrt{x^2+y^2+2ax+a^2}\sqrt{x^2+y^2-2ax+a^2} \\ &=\sqrt{r^2+2ar\cos\phi+a^2}\sqrt{r^2-2ar\cos\phi+a^2} &(極座標表示)\\　 &=\sqrt{(r^2+a^2)^2-4a^2r^2\cos^2\phi} \\ &=\sqrt{r^4+a^4-2a^2r^2\cos2\phi} \end{align*}
よって$\sqrt{r^4+a^4-2a^2r^2\cos2\phi}=l^2$となるので両辺を2乗して$r^4+a^4-2a^2r^2\cos\phi=l^4$
この曲線をCassiniの卵形と呼ぶ.

極座標表示の左辺と右辺を比べてもらうと第一象限では$0\lt\phi\lt\displaystyle \frac{\pi}{4}$のみに存在する.
この範囲で$\cos2\phi$は1から0に単調減少するので$\cos2\phi=(\cos\psi)^2$となる$\phi$が[$0,\displaystyle\frac{\pi}{2}$]内で一つ決まる.
これを用いると極座標表示は$r=\sqrt{2}a\cos\psi$となる.
またこれらから$x$と$y$はそれぞれ$x^2=a^2\cos^2\psi(1+\cos^2\psi)$, $y^2=a^2\cos^2\psi(1-\cos^2\psi)$となるので
$x=\sqrt2a\cos\psi\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{2}\sin^2\psi}$, $y=a\cos\psi\sin\psi=\displaystyle\frac{a}{2}\sin2\psi$となる.

レムニスケートの弧長

パラメタ$\psi$の幾何学的意味は置いておく.(図の書き方を知らないから書きたいけど書けない)
パラメタ表示が出来たので, 後は$\psi$で微分して曲線の公式に代入するだけである.
\begin{align*} \frac{dx}{d\psi}=\sqrt2a\frac{\sin\psi}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{2}\sin^2\psi}}\bigg(-\frac{3}{2}+\sin^2\psi\bigg), \frac{dy}{d\psi}=a\cos2\psi=a(1-2\sin^2\psi) \end{align*}
より
\begin{align*} \bigg(\frac{dx}{d\psi}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy}{d\psi}\bigg)^2=\frac{a^2}{1-\displaystyle\frac{1}{2}\sin^2\psi} \end{align*}
これを弧長の公式に代入すると, $\psi$が$0$から$\theta$まで動く時の弧長は
\begin{align*} a\displaystyle\int_{0}^{\theta}\frac{d\psi}{\sqrt{\displaystyle1-\frac{1}{2}\sin^2\psi}} \end{align*}

よって積分区間の上端を$\displaystyle\frac{\pi}{2}$とすると第一象限の長さとなり, これを4倍するとレムニスケートの全周を得られる(図形の対称性).

これも初等関数では表せないので, 新しく積分を定義しよう.

この2つを第一種楕円積分と呼び, パラメタ$k$をモジュラスと呼ぶ.

これらを用いると, レムニスケートの弧長は
\begin{align*} (0\leq\psi\leq\theta)の部分=aF\bigg(\displaystyle\frac{1}{\sqrt2},\theta\bigg), \\ 全周=4aK\bigg(\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}\bigg) \end{align*}
となる

代数的表示

第二種楕円積分の時と同様に, $\sin\psi$を被積分関数からなくす. $z=\sin\psi$と置くと
\begin{align*} F(k,\theta)=\displaystyle\int_{0}^{\sin\theta}\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-k^2z^2)}}\\ K(k)=\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-k^2z^2)}} \end{align*}
となる

最後に

このCassiniはCassiniの間隙等の土星関連の研究で有名なGiovanni Cassiniの方ですかね. 息子のJacques Cassiniとともに有名ですよね.
最後まで見ていただきありがとうございました.