積分解説23

2020/11/24に白茶さんが出題した問題です。

$$ \displaystyle \int_0^\infty \int_0^\infty \int_0^\infty \frac{xyz^3}{e^{x+y+z}-1}dxdydz $$

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\infty \int_0^\infty \int_0^\infty \frac{xyz^3}{e^{x+y+z}-1}dxdydz\\ &=&\int_0^\infty \int_0^\infty \int_0^\infty xyz^3\sum_{k=1}^\infty e^{-(x+y+z)k}dxdydz\\ &=&\sum_{k=1}^\infty\int_0^\infty xe^{-kx}dx\int_0^\infty ye^{-ky}dy\int_0^\infty z^3e^{-kz}dz\\ &=&\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}\frac1{k^2}\frac{\Gamma(4)}{k^4}\\ &=&6\zeta(8) \end{eqnarray*} $

よって、この問題の解答は$6\z(8)$となります。

投稿日：2020年11月28日

更新日：2020年11月29日