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積分解説23

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{i}[1]{\int_0^{#1}} \newcommand{l}[0]{\left(} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{qed}[0]{~~~~~~~~~~\square} \newcommand{r}[0]{\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha} \newcommand{v}[0]{\varnothing} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

2020/11/24に白茶さんが出題した問題です。

https://mathlog.info/articles/913

$$ \displaystyle \int_0^\infty \int_0^\infty \int_0^\infty \frac{xyz^3}{e^{x+y+z}-1}dxdydz $$

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\infty \int_0^\infty \int_0^\infty \frac{xyz^3}{e^{x+y+z}-1}dxdydz\\ &=&\int_0^\infty \int_0^\infty \int_0^\infty xyz^3\sum_{k=1}^\infty e^{-(x+y+z)k}dxdydz\\ &=&\sum_{k=1}^\infty\int_0^\infty xe^{-kx}dx\int_0^\infty ye^{-ky}dy\int_0^\infty z^3e^{-kz}dz\\ &=&\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}\frac1{k^2}\frac{\Gamma(4)}{k^4}\\ &=&6\zeta(8) \end{eqnarray*} $

よって、この問題の解答は$6\z(8)$となります。

投稿日:20201128

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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