積分解説23

2020/11/24に白茶さんが出題した問題です。

https://mathlog.info/articles/913

[解説]

$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{xy{z}^3}{e^{x+y+z}-1}dxdydz\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}xy{z}^3\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(x+y+z)k}dxdydz\\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-kx}dx{\int }_0^{\mathrm{\infty }}y{e}^{-ky}dy{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{z}^3{e}^{-kz}dz\\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}\frac{1}{k^2}\frac{\mathrm{\Gamma }(4)}{k^4}\\ & =& 6\zeta (8)\end{array}$

よって、この問題の解答は$6\zeta (8)$となります。