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大学数学基礎解説
積分解説23
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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{d}[0]{\displaystyle}
\newcommand{f}[0]{<}
\newcommand{i}[1]{\int_0^{#1}}
\newcommand{l}[0]{\left(}
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{qed}[0]{~~~~~~~~~~\square}
\newcommand{r}[0]{\right)}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha}
\newcommand{v}[0]{\varnothing}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
\newcommand{z}[0]{\zeta}
$$
2020/11/24に白茶さんが出題した問題です。
https://mathlog.info/articles/913
$$ \displaystyle \int_0^\infty \int_0^\infty \int_0^\infty \frac{xyz^3}{e^{x+y+z}-1}dxdydz $$
[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\infty \int_0^\infty \int_0^\infty \frac{xyz^3}{e^{x+y+z}-1}dxdydz\\ &=&\int_0^\infty \int_0^\infty \int_0^\infty xyz^3\sum_{k=1}^\infty e^{-(x+y+z)k}dxdydz\\ &=&\sum_{k=1}^\infty\int_0^\infty xe^{-kx}dx\int_0^\infty ye^{-ky}dy\int_0^\infty z^3e^{-kz}dz\\ &=&\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}\frac1{k^2}\frac{\Gamma(4)}{k^4}\\ &=&6\zeta(8) \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$6\z(8)$となります。
投稿日：2020年11月28日
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