級数から連分数を作る

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$\frac{4}{π} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{9}{2 + \frac{25}{2 + \frac{49}{⋱}}}}$ 　　 $\frac{1}{\ln 2} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{4}{1 + \frac{9}{1 + \frac{16}{⋱}}}}$

この記事でこれらの式を示したいと思います

級数を連分数にする方法の一つ(有名？)

無限級数

a_{1} + a_{1} a_{2} + a_{1} a_{2} a_{3} + \dots

を考えます。

　 $a_{1} + a_{1} a_{2} + a_{1} a_{2} a_{3} + a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \dots$

$= a_{1} (1 + a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{2} a_{3} a_{4} \dots)$

$= \frac{a_{1}}{\frac{1}{1 + a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{2} a_{3} a_{4} \dots}}$

$= \frac{a_{1}}{1 - \frac{a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{2} a_{3} a_{4} \dots}{1 + a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{2} a_{3} a_{4} \dots}}$

$= \frac{a_{1}}{1 - \frac{a_{2} (1 + a_{3} + a_{3} a_{4} \dots)}{1 + a_{2} (1 + a_{3} + a_{3} a_{4} \dots)}}$

$= \frac{a_{1}}{1 - \frac{a_{2}}{\frac{1 + a_{2} (1 + a_{3} + a_{3} a_{4} \dots)}{1 + a_{3} + a_{3} a_{4} \dots}}}$

$= \frac{a_{1}}{1 - \frac{a_{2}}{a_{2} + \frac{1}{1 + a_{3} + a_{3} a_{4} \dots}}}$

この一番右下の形が上から3つ目にも出てきているので同じことができます。

$= \frac{a_{1}}{1 - \frac{a_{2}}{a_{2} + 1 - \frac{a_{3} + a_{3} a_{4} \dots}{1 + a_{3} + a_{3} a_{4} \dots}}}$

$= \frac{a_{1}}{1 - \frac{a_{2}}{a_{2} + 1 - \frac{a_{3}}{a_{3} + 1 - \frac{a_{4} + a_{4} a_{5} \dots}{1 + a_{4} + a_{4} a_{5} \dots}}}}$

$= \frac{a_{1}}{1 - \frac{a_{2}}{a_{2} + 1 - \frac{a_{3}}{a_{3} + 1 - \frac{a_{4}}{⋱}}}}$

$a_{1} + a_{1} a_{2} + a_{1} a_{2} a_{3} + \dots = \frac{a_{1}}{1 - \frac{a_{2}}{a_{2} + 1 - \frac{a_{3}}{a_{3} + 1 - \frac{a_{4}}{⋱}}}}$

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k} = \ln 2$ を上の方法で連分数にする。
$a_{1} = \frac{1}{1}, a_{2} = \frac{- 1}{2}, a_{3} = \frac{- 2}{3}, a_{4} = \frac{- 3}{4} \dots$ となるので
$\ln 2 = \frac{\frac{1}{1}}{1 - \frac{\frac{- 1}{2}}{\frac{- 1}{2} + 1 - \frac{\frac{- 2}{3}}{\frac{- 2}{3} + 1 - \frac{\frac{- 3}{4}}{⋱}}}}$

$= \frac{1}{1 - \frac{- 1}{- 1 + 2 - \frac{\frac{- 4}{3}}{\frac{- 2}{3} + 1 - \frac{\frac{- 3}{4}}{⋱}}}}$

$= \frac{1}{1 - \frac{- 1}{- 1 + 2 - \frac{- 4}{- 2 + 3 - \frac{\frac{- 9}{4}}{⋱}}}}$

$= \frac{1}{1 - \frac{- 1}{- 1 + 2 - \frac{- 4}{- 2 + 3 - \frac{- 9}{- 3 + 4 - \frac{\frac{- 16}{5}}{⋱}}}}}$

$= \frac{1}{1 - \frac{- 1}{- 1 + 2 - \frac{- 4}{- 2 + 3 - \frac{- 9}{- 3 + 4 - \frac{- 16}{⋱}}}}}$

$= \frac{1}{1 - \frac{- 1}{1 - \frac{- 4}{1 - \frac{- 9}{1 - \frac{- 16}{⋱}}}}}$

$= \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{4}{1 + \frac{9}{1 + \frac{16}{⋱}}}}}$
連分数の形をきれいにするために逆数を取ると、
$\frac{1}{\ln 2} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{4}{1 + \frac{9}{1 + \frac{16}{⋱}}}}$
を得る。