級数から連分数を作る
$\cfrac{4}{\pi}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{9}{2+\cfrac{25}{2+\cfrac{49}{\ddots}}}}$ $\cfrac{1}{\ln2}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{9}{1+\cfrac{16}{\ddots}}}}$
この記事でこれらの式を示したいと思います
級数を連分数にする方法の一つ(有名？)
無限級数$a_1+a_1a_2+a_1a_2a_3+\dots$を考えます。$a_1+a_1a_2+a_1a_2a_3+a_1a_2a_3a_4\dots$
$=a_1(1+a_2+a_2a_3+a_2a_3a_4\dots)$
$\displaystyle=\cfrac{a_1}{\cfrac{1}{1+a_2+a_2a_3+a_2a_3a_4\dots}}$
$=\cfrac{a_1}{1-\cfrac{a_2+a_2a_3+a_2a_3a_4\dots}{1+a_2+a_2a_3+a_2a_3a_4\dots}}$
$=\cfrac{a_1}{1-\cfrac{a_2(1+a_3+a_3a_4\dots)}{1+a_2(1+a_3+a_3a_4\dots)}}$
$=\cfrac{a_1}{1-\cfrac{a_2}{\cfrac{1+a_2(1+a_3+a_3a_4\dots)}{1+a_3+a_3a_4\dots}}}$
$=\cfrac{a_1}{1-\cfrac{a_2}{a_2+\cfrac{1}{1+a_3+a_3a_4\dots}}}$
この一番右下の形が上から3つ目にも出てきているので同じことができます。
$=\cfrac{a_1}{1-\cfrac{a_2}{a_2+1-\cfrac{a_3+a_3a_4\dots}{1+a_3+a_3a_4\dots}}}$
$=\cfrac{a_1}{1-\cfrac{a_2}{a_2+1-\cfrac{a_3}{a_3+1-\cfrac{a_4+a_4a_5\dots}{1+a_4+a_4a_5\dots}}}}$
$=\cfrac{a_1}{1-\cfrac{a_2}{a_2+1-\cfrac{a_3}{a_3+1-\cfrac{a_4}{\ddots}}}}$
$a_1+a_1a_2+a_1a_2a_3+\dots=\cfrac{a_1}{1-\cfrac{a_2}{a_2+1-\cfrac{a_3}{a_3+1-\cfrac{a_4}{\ddots}}}}$
$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}=\ln2$を上の方法で連分数にする。
$\displaystyle a_1=\frac{1}{1},a_2=\frac{-1}{2},a_3=\frac{-2}{3},a_4=\frac{-3}{4}\dots$となるので
$\ln2=\cfrac{\frac{1}{1}}{1-\cfrac{\frac{-1}{2}}{\frac{-1}{2}+1-\cfrac{\frac{-2}{3}}{\frac{-2}{3}+1-\cfrac{\frac{-3}{4}}{\ddots}}}}$
$=\cfrac{1}{1-\cfrac{-1}{-1+2-\cfrac{\frac{-4}{3}}{\frac{-2}{3}+1-\cfrac{\frac{-3}{4}}{\ddots}}}}$
$=\cfrac{1}{1-\cfrac{-1}{-1+2-\cfrac{-4}{-2+3-\cfrac{\frac{-9}{4}}{\ddots}}}}$
$=\cfrac{1}{1-\cfrac{-1}{-1+2-\cfrac{-4}{-2+3-\cfrac{-9}{-3+4-\cfrac{\frac{-16}{5}}{\ddots}}}}}$
$=\cfrac{1}{1-\cfrac{-1}{-1+2-\cfrac{-4}{-2+3-\cfrac{-9}{-3+4-\cfrac{-16}{\ddots}}}}}$
$=\cfrac{1}{1-\cfrac{-1}{1-\cfrac{-4}{1-\cfrac{-9}{1-\cfrac{-16}{\ddots}}}}}$
$=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{9}{1+\cfrac{16}{\ddots}}}}}$
連分数の形をきれいにするために逆数を取ると、
$\cfrac{1}{\ln2}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{9}{1+\cfrac{16}{\ddots}}}}$
を得る。
$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{2k+1}=\frac{\pi}{4}$を連分数にする。
$\displaystyle a_1=1 a_2=\frac{-1}{3} a_3=\frac{-3}{5} a_4=\frac{-5}{7}\dotsなので$
$\cfrac{\pi}{4}=\cfrac{1}{1-\cfrac{\frac{-1}{3}}{\frac{-1}{3}+1-\cfrac{\frac{-3}{5}}{\frac{-3}{5}+1-\cfrac{\frac{-5}{7}}{\ddots}}}}$
$=\cfrac{1}{1-\cfrac{-1}{-1+3-\cfrac{-9}{-3+5-\cfrac{-25}{\ddots}}}}$
$=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{9}{2+\cfrac{25}{2+\cfrac{49}{\ddots}}}}}$
連分数をきれいにするために両辺逆数を取って
$\cfrac{4}{\pi}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{9}{2+\cfrac{25}{2+\cfrac{49}{\ddots}}}}$
を得る。
最後に
この方法は第n項と第n+1項の比が分かれば使えるのでお好きな級数で試してみてください！