級数から連分数を作る

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$\cfrac{4}{\pi}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{9}{2+\cfrac{25}{2+\cfrac{49}{\ddots}}}}$　　$\cfrac{1}{\ln2}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{9}{1+\cfrac{16}{\ddots}}}}$

この記事でこれらの式を示したいと思います

級数を連分数にする方法の一つ(有名？)

無限級数$a_1+a_1a_2+a_1a_2a_3+\dots$を考えます。

　$a_1+a_1a_2+a_1a_2a_3+a_1a_2a_3a_4\dots$

$=a_1(1+a_2+a_2a_3+a_2a_3a_4\dots)$

$\displaystyle=\cfrac{a_1}{\cfrac{1}{1+a_2+a_2a_3+a_2a_3a_4\dots}}$

$=\cfrac{a_1}{1-\cfrac{a_2+a_2a_3+a_2a_3a_4\dots}{1+a_2+a_2a_3+a_2a_3a_4\dots}}$

$=\cfrac{a_1}{1-\cfrac{a_2(1+a_3+a_3a_4\dots)}{1+a_2(1+a_3+a_3a_4\dots)}}$

$=\cfrac{a_1}{1-\cfrac{a_2}{\cfrac{1+a_2(1+a_3+a_3a_4\dots)}{1+a_3+a_3a_4\dots}}}$

$=\cfrac{a_1}{1-\cfrac{a_2}{a_2+\cfrac{1}{1+a_3+a_3a_4\dots}}}$

この一番右下の形が上から3つ目にも出てきているので同じことができます。

$=\cfrac{a_1}{1-\cfrac{a_2}{a_2+1-\cfrac{a_3+a_3a_4\dots}{1+a_3+a_3a_4\dots}}}$

$=\cfrac{a_1}{1-\cfrac{a_2}{a_2+1-\cfrac{a_3}{a_3+1-\cfrac{a_4+a_4a_5\dots}{1+a_4+a_4a_5\dots}}}}$

$=\cfrac{a_1}{1-\cfrac{a_2}{a_2+1-\cfrac{a_3}{a_3+1-\cfrac{a_4}{\ddots}}}}$

$a_1+a_1a_2+a_1a_2a_3+\dots=\cfrac{a_1}{1-\cfrac{a_2}{a_2+1-\cfrac{a_3}{a_3+1-\cfrac{a_4}{\ddots}}}}$

$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}=\ln2$を上の方法で連分数にする。
$\displaystyle a_1=\frac{1}{1},a_2=\frac{-1}{2},a_3=\frac{-2}{3},a_4=\frac{-3}{4}\dots$となるので
$\ln2=\cfrac{\frac{1}{1}}{1-\cfrac{\frac{-1}{2}}{\frac{-1}{2}+1-\cfrac{\frac{-2}{3}}{\frac{-2}{3}+1-\cfrac{\frac{-3}{4}}{\ddots}}}}$

$=\cfrac{1}{1-\cfrac{-1}{-1+2-\cfrac{\frac{-4}{3}}{\frac{-2}{3}+1-\cfrac{\frac{-3}{4}}{\ddots}}}}$

$=\cfrac{1}{1-\cfrac{-1}{-1+2-\cfrac{-4}{-2+3-\cfrac{\frac{-9}{4}}{\ddots}}}}$

$=\cfrac{1}{1-\cfrac{-1}{-1+2-\cfrac{-4}{-2+3-\cfrac{-9}{-3+4-\cfrac{\frac{-16}{5}}{\ddots}}}}}$

$=\cfrac{1}{1-\cfrac{-1}{-1+2-\cfrac{-4}{-2+3-\cfrac{-9}{-3+4-\cfrac{-16}{\ddots}}}}}$

$=\cfrac{1}{1-\cfrac{-1}{1-\cfrac{-4}{1-\cfrac{-9}{1-\cfrac{-16}{\ddots}}}}}$

$=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{9}{1+\cfrac{16}{\ddots}}}}}$
連分数の形をきれいにするために逆数を取ると、
$\cfrac{1}{\ln2}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{9}{1+\cfrac{16}{\ddots}}}}$
を得る。

$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{2k+1}=\frac{\pi}{4}$を連分数にする。

$\displaystyle a_1=1　a_2=\frac{-1}{3}　a_3=\frac{-3}{5}　a_4=\frac{-5}{7}\dotsなので$

$\cfrac{\pi}{4}=\cfrac{1}{1-\cfrac{\frac{-1}{3}}{\frac{-1}{3}+1-\cfrac{\frac{-3}{5}}{\frac{-3}{5}+1-\cfrac{\frac{-5}{7}}{\ddots}}}}$

$=\cfrac{1}{1-\cfrac{-1}{-1+3-\cfrac{-9}{-3+5-\cfrac{-25}{\ddots}}}}$

$=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{9}{2+\cfrac{25}{2+\cfrac{49}{\ddots}}}}}$

連分数をきれいにするために両辺逆数を取って
$\cfrac{4}{\pi}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{9}{2+\cfrac{25}{2+\cfrac{49}{\ddots}}}}$
を得る。