大学数学基礎解説

みゆさんがTwitterで出していた問題について

今回は、みゆさんがTwitterで出していた問題( こちら )について話そうと思います。
~~最近なぜか三項間漸化式ばかり解いていた~~自分は、この式を見た時に、何かのn乗引く何かのn乗というものを三項間漸化式でよく見たなあ、と思いました。実際、こんな定理が成り立ちます。

異なる2解 $α, β (α, β \in C)$ を持つ $x$ の二次方程式を $x^{2} + s x + t = 0$ としたとき、以下の条件を満たす数列 ${a_{n}}$ の一般項は $a_{n} = α^{n - 1} - β^{n - 1}$ となる。

$a_{n + 2} + s a_{n + 1} + t a_{n} = 0$
$a_{1} = 0, a_{2} = α - β$

条件より、漸化式は
$\begin{aligned} a_{n + 2} - β a_{n + 1} & = α (a_{n + 1} - β a_{n}) \dots (1) \\ a_{n + 2} - α a_{n + 1} & = β (a_{n + 1} - α a_{n}) \dots (2) \end{aligned}$
と変形できるので、
$\begin{aligned} a_{n + 1} - β a_{n} & = (a_{2} - β a_{1}) α^{n - 1} \dots (3) \\ a_{n + 1} - α a_{n} & = (a_{2} - α a_{1}) β^{n - 1} \dots (4) \end{aligned}$
と書ける。
$(3) - (4)$ より $(α - β) a_{n} = (a_{2} - β a_{1}) α^{n - 1} - (a_{2} - α a_{1}) β^{n - 1}$ であり、 $a_{1} = 0, a_{2} = α - β$ なので、 $(α - β) a_{n} = (α - β) (α^{n - 1} - β^{n - 1})$ となるが、 $α \neq β$ より
$a_{n} = α^{n - 1} - β^{n - 1}$
が得られた。

今回の問題では $a_{n} = (a + b)^{n - 1} - (a - b)^{n - 1}$ となりそうなので、 $α = a + b, β = a - b$ として考えます。( $b = 0$ のときは明らかなので $b \neq 0$ とします)
すると、先ほどの証明に出てきた $(1)$ がまさしく今回言っていることに他なりません!つまり、 $(1)$ の( $n$ を $n + 1$ に置き換えた)式に $a_{n} = (a + b)^{n - 1} - (a - b)^{n - 1}$ を代入すると
${(a + b)^{n + 1} - (a - b)^{n + 1}} - (a - b) {(a + b)^{n} - (a - b)^{n}} = (a + b) ({(a + b)^{n} - (a - b)^{n}} - (a - b) {(a + b)^{n - 1} - (a - b)^{n - 1}})$
となって、 $(a + b)$ を掛けることが、 $n$ を $n + 1$ に置き換えることと同じことが分かりました。実はここに出てくる $(3)$ は、みゆさんが実際にこの式を導いたときの解き方に出てくる式です。( こちら )
そういえば、三項間漸化式と言えばこんなものが…これを使って考えてみるのも面白そうですね。

結論、太郎君は正しかった

投稿日：2020年11月29日

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