OMC11

OMC11を解いてみたので勝手に解説をしていきます。

A問題

一昨年の人口を$a$人とすると、去年の人口は$\displaystyle\frac{27}{25}a$,今年の人口は$\displaystyle\frac{9}{8}a$となり、これらが全て整数となるので$a$は$200$の倍数であり、全ての年の人口が$1550$人以上$1950$人以下という条件から$a=1600$がわかり、去年の人口は$1728$人なので答えは$1728$です。

B問題

$6$本のラムネ瓶を$2$本に交換してもラムネ瓶の本数を$4$で割った余りは変わらないので$n$は$4$の倍数です。$81^2\equiv81\ (\mathrm{mod}720)$なので答えは$81$です。

C問題

$\sqrt{a^2+2^83^{10}5^{12}}=b$とおきます。
$b^2-a^2=2^83^{10}5^{12}$であり、$b-a$と$b+a$の偶奇が一致するので$(b-a,b+a)$の組として考えられるもののうち$a+b>0$であるものは$1001$通りあります。
$b+a$と$b-a$を入れ替えると$a$の符号が変わるので、$1001$組のうち、$a>0$と$a<0$のものがそれぞれ$500$組、$a=0$となるものが$1$組あります。
聞かれているのは$a$が非負整数であるときなので答えは$501$になります。

D問題

直線$AB$に対して$C$と対称な点を$C'$、$BC$に対して$A$と対称な点を$A'$、$AC$に対して$B$と対称な点を$B'$とし、三角形$ABC'$,$A'B'C$の内心をそれぞれ$I_1,I_2$とします。
また、直線$BC$に対して$R$と対称な点を$R'$とします。
$IP=I_1P$,$QR=QR'$,$RI=R'I_2$となるので$IP+PQ+QR+RI$が最小になるのは$P,Q,R'$が$I_1I_2$上にある場合で、その最小値は$I_1I_2$となります。
$C$を原点、$AC$を$x$軸、$BC$を$y$軸とすると、$I$の座標は$\displaystyle\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2},\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)$なので、$I_1$の座標は$(\sqrt{3}-1,1)$,$I_2$の座標は$\displaystyle\left(-\frac{\sqrt{3}-1}{2},-\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)$となります。
よって、$\displaystyle I_1I_2=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}-3}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2} \\=\sqrt{10-4\sqrt{3}}$
となります。
従って、答えは $10+48=58$

E問題

まず、$n-\mathrm{ord}_2(n!)$が$n$を$2$進数表記したときの$1$の数になることを確認します。($\mathrm{ord}_p(n)$は$n$が$p$で何回割り切れるかを表します)
${}_nC_k$が奇数になるということは$\mathrm{ord}_2({}_nC_k)=0$ということなので、
$\mathrm{ord}_2({}_nC_k) \\=\mathrm{ord}_2(n!)-\mathrm{ord}_2(k!)-\mathrm{ord}_2((n-k)!)=0$
これより、$f(n)$は$2$の($n$を$2$進数で表したときの$1$の数)乗となることがわかります。
$5^{16}\equiv1\ (\mathrm{mod16})$より、
$10^{16}+7\cdot2^{17}=...1111...$
$10^{16}-2^{16}=...0000...$
(両者の...の部分は同じ)
となるので、
$\log_2f(10^{16}+7\cdot2^{17})-\log_2f(10^{16}-2^{16})=4$となるので、答えは$2^4=16$です。

F問題

$AB=5\sin a$,$AD=5\sin b$とおきます。$(0< a,b<\frac{\pi}{2})$
$AC=6$なので、$\displaystyle\sin^2a+\sin^2b=\frac{36}{25}$
$\displaystyle\cos(a+b)\cos(a-b)=-\frac{11}{25}$
$AEF$の面積が$\frac{3}{2}$になるので、
$\displaystyle(\sin a-\cos b)(\sin b-\cos a)=\frac{3}{25}$
$\displaystyle\cos(a-b)(1-\sin(a+b))=\frac{3}{25}$
$\sin(a+b)=x$と置いて$2$次方程式を解くと$\displaystyle\sin(a+b)=\frac{56}{65}$となり、$\displaystyle\cos(a-b)=\frac{13}{15}$です。
よって、求める面積は
$\displaystyle25\sin a\sin b-\frac{25}{2}(\sin a(\sin b-\cos a)+\sin b(\sin a-\cos b)) \\\displaystyle=\frac{25}{2}\sin(a+b)\cos(a-b)=\frac{28}{3}$
となります。
よって、答えは$31$です。